Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЭЛЕМЕНТА́РНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 35. Москва, 2017, стр. 340-341

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЭЛЕМЕНТА́РНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, часть гео­мет­рии, вхо­дя­щая в эле­мен­тар­ную ма­те­ма­ти­ку. Гра­ни­цы Э. г. не яв­ля­ют­ся стро­го очер­чен­ны­ми. По­ми­мо той час­ти гео­мет­рии, ко­то­рая изу­ча­ет­ся в сред­ней шко­ле, в Э. г. вклю­ча­ет­ся об­шир­ный ма­те­ри­ал, ле­жа­щий вне школь­ных про­грамм (напр., ак­сио­ма­ти­ка, сфе­рич. гео­мет­рия). Э. г. есть ис­то­ри­че­ски и, со­от­вет­ст­вен­но, ло­ги­че­ски пер­вая гла­ва гео­мет­рии (по­сколь­ку из неё раз­ви­лись др. гео­мет­рич. на­прав­ле­ния); в сво­их ос­но­вах она сло­жи­лась в Древ­ней Гре­ции, и из­ло­же­ние её ос­нов да­ют уже «На­чала» Евк­ли­да. Та­кое ис­то­рич. оп­ре­де­ле­ние за­ко­но­мер­но, но и оно так­же не уточ­ня­ет об­ще­го со­дер­жа­ния и ха­рак­те­ра Э. г., тем бо­лее что её раз­ви­тие про­дол­жа­ет­ся и ны­не.

В Древ­ней Гре­ции ис­сле­до­ва­ли не толь­ко мно­го­уголь­ни­ки, ок­руж­ность, мно­го­гран­ни­ки и др. фи­гу­ры, рас­смат­ри­вае­мые в школь­ном кур­се, но так­же ко­нич. се­че­ния (эл­липс, ги­пер­бо­ла, па­ра­бо­ла) и ряд дру­гих, бо­лее слож­ных, кри­вых и фи­гур. Од­на­ко ка­ж­дый раз кри­вая (фи­гу­ра) за­да­ва­лась кон­крет­ным гео­мет­рич. по­строе­ни­ем, толь­ко та­кие кри­вые (фи­гу­ры) счи­та­лись гео­мет­ри­че­ски­ми, т. е. мо­гу­щи­ми быть пред­ме­том гео­мет­рии. Эта точ­ка зре­ния бы­ла от­вер­г­ну­та в 17 в. Р. Де­кар­том при соз­да­нии им ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии и пол­но­стью пре­одо­ле­на вме­сте с раз­ви­ти­ем ана­ли­за, ко­гда пред­ме­том ма­те­ма­ти­ки ста­ли лю­бые (по край­ней ме­ре лю­бые ана­ли­ти­че­ские) функ­ции и кри­вые. В этом ис­то­ри­че­ски яс­но обо­зна­чен­ном пе­ре­ходе от кон­крет­но оп­ре­де­лён­ных кри­вых (ок­руж­ность, эл­липс и т. д.) и функ­ций (дан­ная сте­пень х, си­нус и т. п.) к лю­бым кри­вым и функ­ци­ям и со­сто­ит ло­гич. пе­ре­ход от эле­мен­тар­ной ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти от Э. г., к выс­шей. Та­кой под­ход со­вер­шен­но ис­клю­ча­ет рас­смот­ре­ние лю­бых ана­ли­тич. кри­вых и по­верх­но­стей, ко­то­рые со­став­ля­ют уже пред­мет диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии, лю­бых вы­пук­лых тел, ко­то­рые слу­жат пред­ме­том гео­мет­рии вы­пук­лых тел, и т. п. Вме­сте с тем ка­ж­дая дан­ная кри­вая, ка­ж­дое дан­ное вы­пук­лое те­ло и т. п., оп­ре­де­лён­ные тем или иным по­строе­ни­ем или кон­крет­ным свой­ст­вом (напр., эл­липс, ци­линдр), мо­гут стать пред­ме­том Э. г. Сле­до­ва­тель­но, Э. г. ха­рак­те­ри­зу­ет­ся в смыс­ле её пред­ме­та тем, что в ней рас­смат­ри­ва­ют­ся не во­об­ще лю­бые фи­гу­ры, но ка­ж­дый раз те или иные дос­та­точ­но оп­ре­де­лён­ные фи­гу­ры.

Точ­нее, Э. г. ис­хо­дит из про­стей­ших фи­гур – точ­ка, от­ре­зок, пря­мая, угол, плос­кость, и ос­нов­но­го по­ня­тия о ра­вен­ст­ве от­рез­ков и уг­лов или во­об­ще о со­вме­ще­нии фи­гур при на­ло­же­нии, чем оп­ре­де­ля­ет­ся их ра­вен­ст­во. Кро­ме то­го, при стро­гом ак­сио­ма­тич. по­строе­нии Э. г. яв­но вы­де­ля­ют­ся по­ня­тия: «точ­ка ле­жит на пря­мой» или «на плос­ко­сти», «точ­ка ле­жит ме­ж­ду дву­мя дру­ги­ми». Пред­мет Э. г. со­став­ля­ют: 1) фи­гу­ры, оп­ре­де­ляе­мые ко­неч­ным чис­лом про­стей­ших фи­гур (как, напр., мно­го­уголь­ник оп­ре­де­ля­ет­ся ко­неч­ным чис­лом от­рез­ков, мно­го­гран­ник – ко­неч­ным чис­лом мно­го­уголь­ни­ков, а зна­чит, опять-та­ки от­рез­ков); 2) фи­гу­ры, оп­ре­де­лён­ные тем или иным свой­ст­вом, фор­му­ли­руе­мым в ис­ход­ных по­ня­ти­ях (напр., эл­липс с фо­ку­са­ми a, b есть гео­мет­рич. ме­сто та­ких то­чек x, что сум­ма от­рез­ков ax и bx рав­на дан­но­му от­рез­ку); 3) фи­гу­ры, оп­ре­де­лён­ные по­строе­ни­ем (как, напр., ко­нус стро­ит­ся про­ве­де­ни­ем пря­мых из дан­ной точ­ки О во все точ­ки к.-л. дан­ной ок­руж­но­сти, не ле­жа­щей с О в од­ной плос­ко­сти, а ко­нич. се­че­ние оп­ре­де­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем ко­ну­са плос­ко­стью). Фи­гу­ра, как бы слож­на она ни бы­ла, за­дан­ная по­доб­ным об­ра­зом, мо­жет стать пред­ме­том ис­сле­до­ва­ния в рам­ках Э. г. Что ка­са­ет­ся свойств та­ких фи­гур, то Э. г. ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся изу­че­ни­ем свойств, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют­ся на ос­но­ве ука­зан­ных про­стей­ших по­ня­тий. Свой­ст­ва эти суть пре­ж­де все­го вза­им­ное рас­по­ло­же­ние фи­гур, ра­вен­ст­во тех или иных эле­мен­тов фи­гу­ры, дли­на, пло­щадь, объ­ём. Со­от­вет­ст­вен­но оп­ре­де­ле­ния дли­ны ок­руж­но­сти, пло­ща­ди эл­лип­са, объ­ё­ма ша­ра и т. п. при­над­ле­жат Э. г. Од­на­ко об­щие по­ня­тия дли­ны, пло­ща­ди и объ­ё­ма ле­жат за пре­де­ла­ми Э. г., напр. тео­ре­ма о том, что сре­ди всех замк­ну­тых кри­вых дан­ной дли­ны наи­боль­шую пло­щадь ог­ра­ни­чи­ва­ет ок­руж­ность, хо­тя и го­во­рит о свой­ст­ве ок­руж­но­сти, не при­над­ле­жит Э. г., т. к. в ней фи­гу­ри­ру­ет по­ня­тие дли­ны лю­бой замк­ну­той кри­вой и ог­ра­ни­чи­вае­мой ею пло­ща­ди. В Э. г. рас­смат­ри­ва­ют­ся свой­ст­ва ка­са­тель­ной к ок­руж­но­сти, мож­но рас­смат­ри­вать и свой­ст­ва ка­са­тель­ных к эл­лип­су, ги­пер­бо­ле, па­ра­бо­ле, но об­щее по­ня­тие ка­са­тель­ной ле­жит за пре­де­ла­ми Э. г. Это ло­гич. раз­ли­чие в общ­но­сти по­ня­тий и сте­пе­ни аб­ст­рак­ции впол­не от­ве­ча­ет ис­то­рич. раз­ви­тию, ибо об­щие по­ня­тия дли­ны, пло­ща­ди, объ­ё­ма, так же как об­щее по­ня­тие ка­са­тель­ной к кри­вой, бы­ли по­сте­пен­но вы­ра­бо­та­ны толь­ко вме­сте с раз­ви­ти­ем ана­ли­за, а ука­зан­ная тео­ре­ма о макс. свой­ст­ве ок­руж­но­сти бы­ла стро­го до­ка­за­на толь­ко в сер. 19 в. Гео­мет­рии по­строе­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния, изу­чае­мые в Э. г., оп­ре­де­ля­ют­ся опять-та­ки кон­крет­ны­ми гео­мет­рич. пред­пи­са­ния­ми на ос­но­ве пер­вич­ных по­ня­тий гео­мет­рии.

Со­от­вет­ст­вен­но пред­ме­ту Э. г. ог­ра­ни­че­ны и её ме­то­ды; они за­ве­до­мо ис­клю­ча­ют поль­зо­ва­ние об­щи­ми по­ня­тия­ми про­из­воль­ной фи­гу­ры, пе­ре­мен­ной, функ­ции, ис­клю­ча­ют ссыл­ки на об­щие тео­ре­мы тео­рии пре­де­лов и т. п. Осн. ме­тод Э. г. – это вы­вод тео­рем пу­тём на­гляд­но­го рас­су­ж­де­ния, ос­но­ван­но­го ли­бо на ис­ход­ных по­сыл­ках – ак­сио­мах, ли­бо на уже из­вест­ных тео­ре­мах Э. г., с при­ме­не­ни­ем то­го или ино­го вспо­мо­гат. по­строе­ния, не упот­реб­ляю­ще­го об­щих по­ня­тий кри­вой, те­ла и др. При­вле­кае­мые в Э. г. вы­чис­лит. сред­ст­ва из ал­геб­ры и три­го­но­мет­рии до­пус­ка­ют, по су­ще­ст­ву, све­де­ние к та­ким по­строе­ни­ям. По­ня­тие пре­де­ла не ис­клю­ча­ет­ся из Э. г., по­сколь­ку оно фи­гу­ри­ру­ет в тео­ре­мах о дли­не ок­руж­но­сти, по­верх­но­сти ша­ра и др., бес­спор­но вклю­чае­мых в Э. г. Од­на­ко в ка­ж­дом та­ком слу­чае речь идёт о кон­крет­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти, за­дан­ной эле­мен­тар­но-гео­мет­рич. по­стро­е­ни­ем, и при­бли­же­ние к пре­де­лу ус­та­нав­ли­ва­ет­ся не­по­сред­ст­вен­но, без ссы­лок на об­щую тео­рию пре­де­лов. При­ме­ром мо­жет слу­жить оп­ре­де­ле­ние дли­ны ок­руж­но­сти по­сред­ст­вом рас­смот­ре­ния по­сле­до­ва­тель­но­сти впи­сан­ных и опи­сан­ных пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков. По­доб­ный при­ём в прин­ци­пе воз­мо­жен для лю­бой дан­ной кри­вой, но для про­из­воль­ной кри­вой во­об­ще ни­че­го по­доб­но­го сде­лать нель­зя, по­сколь­ку «кри­вая во­об­ще» не за­да­на кон­крет­но. Вслед­ст­вие это­го раз­ни­ца ме­ж­ду Э. г., во­об­ще эле­мен­тар­ной ма­те­ма­ти­кой и выс­шей со­сто­ит ско­рее не в том, что во вто­рой при­ме­ня­ет­ся по­ня­тие пре­де­ла, а в пер­вой – нет, а в сте­пе­ни общ­но­сти это­го по­ня­тия. Со­от­вет­ст­вен­но оп­ре­де­ле­нию ме­то­да Э. г. та или иная тео­рия мо­жет при­над­ле­жать Э. г. по фор­му­ли­ров­ке, но не по до­ка­за­тель­ст­ву.

Ко­рот­ко мож­но ска­зать, что Э. г. вклю­ча­ет те во­про­сы гео­мет­рии, ко­то­рые в сво­ей по­ста­нов­ке и ре­ше­нии не вклю­ча­ют об­щей кон­цеп­ции бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва, но лишь кон­ст­рук­тив­но оп­ре­де­лён­ные мно­же­ст­ва (гео­мет­рич. мес­та). Ко­гда го­во­рят, что евк­ли­до­ва гео­мет­рия ос­но­ва­на, ска­жем, на сис­те­ме ак­си­ом Гиль­бер­та или на иной, близ­кой по ха­рак­те­ру сис­те­ме ак­си­ом, то за­бы­ва­ют, что при вве­де­нии об­щих по­ня­тий кри­вой, вы­пук­ло­го те­ла, дли­ны и др. фак­ти­че­ски ис­поль­зу­ют спо­со­бы об­ра­зо­ва­ния по­ня­тий, во­все не пре­ду­смот­рен­ные в ак­сио­мах, а опи­раю­щие­ся на об­щую кон­цеп­цию мно­же­ст­ва, по­сле­до­ва­тель­но­сти и пре­де­ла, ото­бра­же­ния или функ­ций. То, что вы­во­дит­ся из ак­си­ом Гиль­бер­та без та­ких до­бав­ле­ний, и со­став­ля­ет эле­мен­тар­ную часть евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Это раз­гра­ни­че­ние мож­но уточ­нить в тер­ми­нах ма­те­ма­тич. ло­ги­ки. Вме­сте с тем, со­от­вет­ст­вен­но та­ко­му по­ни­ма­нию Э. г., мож­но го­во­рить об Э. г. n-мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, о Э. г. Ло­ба­чев­ско­го и др. При этом име­ют­ся в ви­ду те раз­де­лы, тео­ре­мы и вы­во­ды этих гео­мет­рич. тео­рий, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют­ся те­ми же чер­та­ми.

Лит.: На­ча­ла Евк­ли­да. М.; Л., 1948–1950. Кн. 1–15; Ада­мар Ж. Эле­мен­тар­ная гео­мет­рия. 4-е изд. М., 1957. Ч. 1; Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки с древ­ней­ших вре­мен до на­ча­ла XIX сто­ле­тия. М., 1970–1972. Т. 1–3; По­го­ре­лов А. В. Эле­мен­тар­ная гео­мет­рия. 3-е изд. М., 1977.

Вернуться к началу