Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЭКСТРЕ́МУМ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 35. Москва, 2017, стр. 291-292

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЭКСТРЕ́МУМ (лат. extremum, букв. – край­нее), зна­че­ние не­пре­рыв­ной функ­ции, яв­ляю­щее­ся её мак­си­му­мом или ми­ни­му­мом. Точ­нее, не­пре­рыв­ная в точ­ке $x_0$ функ­ция $f(x)$ име­ет в $x_0$ мак­си­мум (ло­каль­ный мак­си­мум) или ми­ни­мум (ло­каль­ный ми­ни­мум), ес­ли су­ще­ст­ву­ет ок­ре­ст­ность ($x_0-δ$, $x_0+δ$) этой точ­ки, со­дер­жа­щая­ся в об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния $f(x)$, та­кая, что во всех точ­ках этой ок­ре­ст­но­сти вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $f(x_0) ⩾ f(x)$ (со­от­вет­ст­вен­но $f(x_0) ⩽ f(x))$. Ес­ли при этом су­ще­ст­ву­ет та­кая ок­ре­ст­ность, что в ней $f(x_0) > f(x)$ (или $f(x_0) < f(x))$ при $x_0≠x$, то го­во­рят о стро­гом ло­каль­ном мак­си­му­ме (или стро­гом ло­каль­ном ми­ни­му­ме), в про­тив­ном слу­чае – о не­стро­гом ло­каль­ном мак­си­му­ме (или не­стро­гом ло­каль­ном ми­ни­му­ме). На ри­сун­ке в точ­ке $A$ дос­ти­га­ет­ся стро­гий ло­каль­ный мак­си­мум, в точ­ке $B$ – не­стро­гий ло­каль­ный ми­ни­мум.

Точ­ка x0 на­зы­ва­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма (ми­ни­му­ма) функ­ции f(x) на мно­же­ст­ве X, ес­ли f(x0)f(x) (f(x0)f(x)) для всех x∈X. Ино­гда мак­си­мум (ми­ни­мум) на мно­же­ст­ве X на­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­ным (гло­баль­ным) мак­си­му­мом (аб­со­лют­ным ми­ни­му­мом) на этом мно­же­ст­ве, в от­ли­чие от ло­каль­но­го. Аб­со­лют­ный мак­си­мум (ми­ни­мум) функ­ции яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но и ло­каль­ным, од­на­ко ло­каль­ный мак­си­мум (ми­ни­мум) мо­жет быть мень­ше (боль­ше) аб­со­лют­но­го. При оты­ска­нии аб­со­лют­но­го мак­си­му­ма (ми­ни­му­ма) на­хо­дят ло­каль­ные мак­си­му­мы (ми­ни­му­мы), ес­ли они есть, и сре­ди них вы­би­ра­ют наи­боль­ший (наи­мень­ший). Для не­ко­то­рых мно­жеств X не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать зна­че­ния функ­ции на гра­ни­цах мно­же­ст­ва. Напр., функ­ция f(x)=x на от­рез­ке [0, 1] не име­ет ло­каль­ных экс­тре­му­мов. Макс. зна­че­ние этой функ­ции дос­ти­га­ет­ся в точ­ке 1 и рав­но 1, ми­ним. зна­че­ние дос­ти­га­ет­ся в точ­ке 0 и рав­но 0. В то же вре­мя эта функ­ция на ин­тер­ва­ле (0, 1) не име­ет ни мак­си­му­ма, ни ми­ни­му­ма.

Точ­ки мак­си­му­ма и ми­ни­му­ма на­зы­ва­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма. Для то­го что­бы функ­ция f(x) име­ла Э. в не­ко­торой точ­ке x0, не­об­хо­ди­мо, что­бы она бы­ла не­пре­рыв­ной в x0 и что­бы ли­бо f´(x0)=0 (точ­ка A на рисунке), ли­бо f´(x0) не су­ще­ст­во­ва­ла (точ­ка C на ри­сун­ке). Ес­ли при этом в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки x0 про­из­вод­ная f´(x) сле­ва от x0 по­ло­жи­тель­на, а спра­ва от­ри­ца­тель­на, то f(x) име­ет в точ­ке x0 мак­си­мум; ес­ли f´(x) сле­ва от x0 от­ри­ца­тель­на, а спра­ва по­ло­жи­тель­на, то – ми­ни­мум (пер­вое дос­та­точ­ное ус­ло­вие Э.). Ес­ли же f´(x) не ме­ня­ет зна­ка при пе­ре­хо­де че­рез точ­ку x0, то функ­ция f(x) не име­ет Э. в точ­ке x0 (точ­ки D, E, F на ри­сунке). Ес­ли f(x) в точ­ке x0 име­ет n после­до­ва­тель­ных про­из­вод­ных, при­чём f´(x0)=f''(x0)=...=f(n–1)(x0)=0, а f(n)(x0)0, то при n не­чёт­ном f(x) не име­ет Э. в точ­ке x0, а при n чёт­ном име­ет ми­ни­мум, ес­ли f(n)(x0)>0, и мак­си­мум, ес­ли f(n)(x0)<0.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся Э. функ­ции не­сколь­ких пе­ре­мен­ных. См. так­же Ин­фи­мум и су­пре­мум.

Вернуться к началу