ФУ́НКЦИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 33. Москва, 2017, стр. 665-666

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: По материалам одноимённой статьи И. П. Натансона и Ю. В. Сидорова из Математического энциклопедического словаря

ФУ́НКЦИЯ (от лат. functio – ис­пол­не­ние, осу­ще­ст­в­ле­ние), од­но из ос­нов­ных по­ня­тий ма­те­ма­ти­ки, оз­на­чаю­щее за­ви­си­мость од­них пе­ре­мен­ных ве­ли­чин от дру­гих. Сло­во «ве­ли­чи­на» в этом оп­ре­де­ле­нии по­ни­ма­ет­ся в са­мом ши­ро­ком смыс­ле: это мо­жет быть име­но­ван­ное чис­ло, от­вле­чён­ное чис­ло (дей­ст­ви­тель­ное или ком­плекс­ное), неск. чи­сел (т. е. точ­ка про­стран­ст­ва) и во­об­ще эле­мент лю­бо­го мно­же­ст­ва.

Действительная функция одного действительного переменного

В про­стей­шем слу­чае, ко­гда ве­ли­чи­на – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, по­ня­тие «Ф.» оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Пусть ка­ж­до­му чис­лу $x$ из за­дан­но­го мно­же­ст­ва $E$ по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие чис­ло $y$, обо­зна­чае­мое $y=f(x)$ (чи­та­ет­ся «иг­рек ра­вен эф от икс»). То­гда го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $E$ за­да­на функ­ция $y=f(x)$, $x∈E$. При этом упот­реб­ля­ют­ся сле­дую­щие тер­ми­ны: $x$ – не­за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или ар­гу­мент; $y$ – за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или функ­ция; $E$ – мно­же­ст­во зна­че­ний, ко­то­рые мо­жет при­ни­мать $x$, – об­ласть оп­ре­де­ле­ния, или об­ласть за­да­ния Ф. (об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. мо­жет быть мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, ин­тер­вал, от­ре­зок и т. п.). Сло­ва «по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие» оз­на­ча­ют, что ука­зан оп­ре­де­лён­ный спо­соб, по ко­то­ро­му для ка­ж­до­го $x∈E$ на­хо­дит­ся зна­че­ние $y=f(x)$. Этот спо­соб в дан­ном слу­чае обо­зна­чен сим­во­лом $f$. Для обо­зна­че­ния Ф. при­ме­ня­ют­ся и др. бу­к­вы, напр. $y=g(x)$, $y=F(x)$$s=h(t)$, $v=φ(s)$.

Во всех слу­ча­ях, ко­гда упот­реб­ля­ет­ся тер­мин «Ф.», под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, ес­ли не ого­во­ре­но про­тив­ное, од­но­знач­ная Ф., т. е. та­кое со­от­вет­ст­вие, при ко­то­ром ка­ж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та $x$ со­от­вет­ст­ву­ет толь­ко од­но зна­че­ние Ф. $y$. Ес­ли од­но­му и то­му же зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ст­ву­ет нес­коль­ко (быть мо­жет, да­же бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во) зна­че­ний $y$, то $y=f(x)$ на­зы­ва­ет­ся мно­го­знач­ной функ­ци­ей ар­гу­мен­та $x$.

Способы задания функции

Аналитический способ задания функции

Наи­бо­лее рас­про­стра­нён ана­ли­тич. спо­соб за­да­ния Ф., при ко­то­ром Ф. за­да­ёт­ся фор­му­лой, ус­та­нав­ли­ваю­щей, ка­кие вы­чис­ли­тель­ные опе­ра­ции на­до про­из­ве­сти над $x$, что­бы най­ти $y$. Напр., $y=2x+1$, $y=3x^2$, $y=\sqrt{x^2-1}$, $y=x/(x+1)$, $y=\cos\,x$. При этом счи­та­ет­ся, что об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех тех зна­че­ний $x$, при ко­то­рых вы­пол­ни­мы все опе­ра­ции, ука­зан­ные в фор­му­ле. Напр., об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. $y=3x^2$ яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. $y=\ln(x-1)$ – по­лу­пря­мая $x > 1$, об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. $y=\sqrt{1-x^2}$ от­ре­зок $–1 ⩽ x ⩽ 1$. Ф. мо­жет быть за­да­на раз­ны­ми фор­му­ла­ми на раз­ных час­тях об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния. Напр., Ф. $y=\cos\,x,$ $–π ⩽ x ⩽ 0$, $y=1$, $0 < x < 1$, $y=1/x$, $1 ⩽ x ⩽ 2$, за­да­на на от­рез­ке $–π ⩽ x ⩽2$ тре­мя раз­ны­ми фор­му­ла­ми.

Час­то ис­поль­зу­ет­ся за­да­ние Ф. с по­мо­щью пре­дель­но­го пе­ре­хо­да, в ча­ст­но­сти в ви­де схо­дя­ще­го­ся ря­да – бес­ко­неч­ной сум­мы или схо­дя­ще­го­ся бес­ко­неч­но­го про­из­ве­де­ния. Напр., $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\\ \sin\,x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \sin\,x=x\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right).$$

При ана­ли­тич. спо­со­бе за­да­ния Ф. мо­жет быть за­да­на яв­но, ко­гда да­но вы­ра­же­ние $y$ че­рез $x$, т. е. фор­му­ла име­ет вид $y=f(x)$, не­яв­но, ко­гда $x$ и $y$ свя­за­ны ме­ж­ду со­бой урав­не­ни­ем $F(x,y)=0$, а так­же па­ра­мет­ри­че­ски, ко­гда со­от­вет­ст­вую­щие друг дру­гу зна­че­ния $x$ и $y$ вы­ра­же­ны че­рез тре­тью пе­ре­мен­ную ве­ли­чи­ну $t$, на­зы­вае­мую па­ра­мет­ром. Так, функ­ция $y=\sqrt{1-x^2}$, $–1 ⩽ x ⩽ 1$, и име­ет­ся в ви­ду ариф­ме­тич. ко­рень, мо­жет быть за­да­на не­яв­но в ви­де $x^2+y^2-1=0$, или па­ра­мет­ри­че­ски в ви­де $x=\cos\,t$, $y=\sin\,t$ ,$0 ⩽ t ⩽ π$.

Ино­гда Ф. за­да­ёт­ся с по­мо­щью сло­вес­ной фор­му­ли­ров­ки; напр., функ­ция Ди­рих­ле рав­на 1, ес­ли $x$ – чис­ло ра­цио­наль­ное, и рав­на 0, ес­ли $x$ – чис­ло ир­ра­цио­наль­ное. Эту же функ­цию мож­но за­пи­сать в ви­де $$\lim_{n→∞} \lim_{m→∞}(\cos\,πxn!)^{2m}.$$

Графический способ задания функции

Рас­про­стра­нён гра­фич. спо­соб за­да­ния Ф. Гра­фи­ком Ф. $y=f(x)$, $y∈E$, на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во то­чек плос­ко­сти с пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми $(x,y)$, где $x∈E$, $y=f(x)$. Гра­фич. спо­соб за­да­ния Ф. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся на прак­ти­ке. Так, мн. про­цес­сы из­ме­не­ния од­ной ве­ли­чи­ны в за­ви­си­мо­сти от дру­гой ис­сле­ду­ют­ся с по­мо­щью кри­вых, за­пи­сан­ных с по­мо­щью са­мо­пи­шу­щих при­бо­ров. Хо­тя гра­фик Ф. и не да­ёт воз­мож­но­сти точ­но­го оп­ре­де­ле­ния чис­лен­ных зна­че­ний $x$ и $y$, он на­гляд­но от­ра­жа­ет ка­че­ст­вен­ное по­ве­де­ние Ф. (не­пре­рыв­ность, мо­но­тон­ность, мак­си­му­мы и ми­ни­му­мы, точ­ки пе­ре­ги­ба и т. д.) и по­это­му яв­ля­ет­ся важ­ным сред­ст­вом ис­сле­до­ва­ния функ­ции.

Табличный способ задания функции

При таб­лич­ном спо­со­бе за­да­ния Ф. за­да­ёт­ся в ви­де таб­ли­цы, в ко­то­рой для ка­ж­до­го зна­че­ния ар­гу­мен­та ука­зы­ва­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щее ему зна­че­ние Ф. Та­кой спо­соб за­да­ния Ф. час­то при­ме­ня­ет­ся в тех слу­ча­ях, ко­гда об­ласть оп­ре­де­ле­ния со­сто­ит из ко­неч­но­го чис­ла зна­че­ний.

Действительная функция нескольких действительных переменных

Ф. от двух пе­ре­мен­ных оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Рас­смат­ри­ва­ет­ся мно­же­ст­во $E$ упо­ря­до­чен­ных пар чи­сел $(x,y)$. Ес­ли ка­ж­дой па­ре $(x,y)∈E$ по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие дей­ст­ви­тель­ное чис­ло $z$, то го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $E$ оп­ре­де­ле­на Ф. $z=f(x,y)$ от двух пе­ре­мен­ных $x$ и $y$. Т. к. ка­ж­дой па­ре чи­сел $(x,y)$ со­от­вет­ст­ву­ет на плос­ко­сти точ­ка с ко­ор­ди­на­та­ми $(x,y)$, то Ф. $f(x,y)$ за­да­на на мно­же­ст­ве $E$ то­чек плос­ко­сти. Гра­фик Ф. $z=f(x,y)$ мож­но изо­бра­зить в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, где за­да­на пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат $(x,y,z)$, в ви­де мно­же­ст­ва то­чек $(x,y,f(x,y))$, про­ек­ции ко­то­рых на плос­кость $(x,y)$ при­над­ле­жат мно­же­ст­ву $E$. Напр., гра­фик функ­ции $z=\sqrt{1-x^2-y^2},$ $x^2+y^2 ⩽ 1$, и име­ет­ся в ви­ду ариф­ме­тич. ко­рень, изо­бра­жа­ет­ся верх­ней по­ло­ви­ной ша­ро­вой по­верх­но­сти ра­диу­са 1 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат.

Ана­ло­гич­но мож­но рас­смат­ри­вать мно­же­ст­во $E$, со­стоя­щее из упо­ря­до­чен­ных сис­тем $(x_1,x_2,...,x_n)$ из $n$ чи­сел, и Ф. $z=f(x_1,x_2,...,x_n)$ от $n$ пе­ре­мен­ных, оп­ре­де­лён­ную на мно­же­ст­ве $E$.

Общее понятие функции

Пусть за­да­ны мно­же­ст­ва $E$ и $E_1$ эле­мен­тов лю­бой при­ро­ды и пусть ка­ж­до­му эле­мен­ту $x∈E$ по­став­лен в со­от­вет­ст­вие эле­мент $y∈E_1$, обо­зна­чае­мый $y=f(x)$. То­гда го­во­рят, что за­да­на функ­ция $y=f(x)$, $x∈E$, что час­то за­пи­сы­ва­ет­ся как $f:\,E→E_1$.

При­ня­та сле­дую­щая тер­ми­но­ло­гия: $x$ – не­за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или ар­гу­мент; $E$ – об­ласть оп­ре­де­ле­ния Ф., ка­ж­дый эле­мент $x∈E$ – зна­че­ние ар­гу­мен­та; $y$ – за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или Ф., от ар­гу­мен­та $x$; $E_1$ – об­ласть зна­че­ний Ф., ка­ж­дый эле­мент $y∈E_1$ та­кой, что $y=f(x)$ для не­ко­то­ро­го зна­че­ния $x∈E$, на­зы­ва­ет­ся зна­че­ни­ем функ­ции.

Мно­же­ст­во $E'$ зна­че­ний Ф. $y=f(x)$, $x∈E$, обо­зна­ча­ет­ся ино­гда сим­во­лом $f(E)$, т. е. $E'=f(E)$. Мно­же­ст­во зна­че­ний Ф. $E'$ яв­ля­ет­ся под­мно­же­ст­вом об­лас­ти зна­че­ний Ф.: $E'⊂E_1$, в ча­ст­но­сти, оно мо­жет сов­па­дать с $E_1$. Напр., для дей­ст­ви­тель­ных Ф. от од­но­го дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го об­ла­стью зна­че­ний яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, а мно­же­ст­вом зна­че­ний мо­жет быть лю­бое мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Так, для Ф. $y=3x$ мно­же­ст­вом зна­че­ний яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; мно­же­ст­вом зна­че­ний Ф. $y=x^2$ яв­ля­ет­ся по­лу­пря­мая $y⩾0$; мно­же­ст­вом зна­че­ний Ф. $y=\text{arctg}\,x$ – ин­тер­вал $–π/2 < y < π/2$.

Ф. $y=f(x)$, $x∈E$, за­да­ёт ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва $E$ на мно­же­ст­во её зна­че­ний $E'=f(E)$. Ес­ли $x∈E$ – фик­си­ров. зна­че­ние ар­гу­мен­та и $y=f(x)$, то $y$ на­зы­ва­ет­ся об­ра­зом эле­мен­та $x$, а $x$ – про­об­ра­зом эле­мен­та $y$. Мно­же­ст­во $E'$ на­зы­ва­ет­ся об­ра­зом мно­же­ст­ва $E$. Напр., Ф. $y=3x$ ото­бра­жа­ет мно­же­ст­во то­чек оси абс­цисс на мно­же­ст­во то­чек оси ор­ди­нат; Ф. $y=\ln\,x$ ото­бра­жа­ет по­лу­пря­мую $x > 0$ на всю ось ор­ди­нат; Ф. $y=\sqrt{1-x^2}$ ото­бра­жа­ет от­ре­зок $–1 ⩽ x ⩽ 1$ на от­ре­зок $0 ⩽ y ⩽ 1$.

Для Ф. $f(x)$ и $g(x)$ ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ют­ся ариф­ме­тич. опе­ра­ции: это Ф., при­ни­маю­щие (в тех слу­ча­ях, ко­гда это име­ет смысл) зна­че­ния $f(x)±g(x)$, $f(x)g(x)$, $f(x)/g(x)$.

Тер­мин «Ф.» ча­ще все­го ис­поль­зу­ет­ся толь­ко для обо­зна­че­ния чи­сло­вой Ф. от од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных (дей­ст­ви­тель­ных или ком­плекс­ных). В др. слу­ча­ях, как пра­ви­ло, ис­поль­зу­ют­ся спец. тер­ми­ны: опе­ра­тор, ото­бра­же­ние, пре­об­ра­зо­ва­ние, функ­цио­нал.

См. так­же Мо­но­тон­ная функ­ция, Не­пре­рыв­ная функ­ция, Пе­рио­ди­че­ская функ­ция, Спе­ци­аль­ные функ­ции, Чёт­ные и не­чёт­ные функ­ции, Эле­мен­тар­ные функ­ции.

Исторический очерк

Как и ос­таль­ные по­ня­тия ма­те­ма­ти­ки, по­ня­тие Ф. сло­жи­лось не сра­зу, а про­шло дол­гий путь раз­ви­тия. По су­ще­ст­ву, речь о функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­сти и её гра­фич. изо­бра­же­нии идёт в ра­бо­те П. Фер­ма «Вве­де­ние и изу­че­ние пло­ских и те­лес­ных мест» (1636, опубл. в 1679). Изу­че­ние ли­ний по их урав­не­ни­ям в «Гео­мет­рии» Р. Де­кар­та (1637) так­же ука­зы­ва­ет на яс­ное пред­став­ле­ние о вза­им­ной за­ви­си­мо­сти двух пе­ре­мен­ных ве­ли­чин. У англ. ма­те­ма­ти­ка И. Бар­роу («Лек­ции по гео­мет­рии», 1670) в гео­мет­рич. фор­ме ус­та­нав­ли­ва­ет­ся вза­им­ная об­рат­ность дей­ст­вий диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния и ин­тег­ри­ро­ва­ния (ра­зу­ме­ет­ся, без упот­реб­ле­ния са­мих этих тер­ми­нов). Это сви­де­тель­ст­ву­ет о со­вер­шен­но от­чёт­ли­вом вла­де­нии по­ня­ти­ем Ф. В гео­мет­рич. и ме­ха­нич. ви­де это по­ня­тие мож­но най­ти и у И. Нью­то­на. Од­на­ко тер­мин «Ф.» впер­вые по­яв­ля­ет­ся лишь в 1692 у Г. Лейб­ни­ца, и при­том не со­всем в со­вре­мен­ном его по­ни­ма­нии. Лейб­ниц на­зы­ва­ет Ф. разл. от­рез­ки, свя­зан­ные с к.-л. кри­вой, напр. абс­цис­сы её то­чек. В пер­вом пе­чат­ном кур­се «Ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых» франц. ма­те­ма­ти­ка Г. Ло­пи­та­ля (1696) тер­мин «Ф.» не упот­реб­ля­ет­ся.

Пер­вое оп­ре­де­ле­ние Ф. в смыс­ле, близ­ком к со­вре­мен­но­му, встре­ча­ет­ся у И. Бер­нул­ли (1718): «Функ­ция – это ве­ли­чи­на, со­став­лен­ная из пе­ре­мен­ной и по­сто­ян­ной». В ос­но­ве это­го не впол­не от­чёт­ли­во­го оп­ре­де­ле­ния ле­жит идея за­да­ния Ф. ана­ли­тич. фор­му­лой. Та же идея вы­сту­па­ет и в оп­ре­де­ле­нии Л. Эйле­ра, дан­ном им во «Вве­де­нии в ана­лиз бес­ко­неч­ных» (1748): «Функ­ция пе­ре­мен­но­го ко­ли­че­ст­ва есть ана­ли­ти­че­ское вы­ра­же­ние, со­став­лен­ное ка­ким-ли­бо об­ра­зом из это­го пе­ре­мен­но­го ко­ли­че­ст­ва и чи­сел или по­сто­ян­ных ко­ли­честв». На про­тя­же­нии 18 в. от­сут­ст­во­ва­ло до­ста­точ­но яс­ное по­ни­ма­ние раз­ли­чия ме­ж­ду Ф. и её ана­ли­тич. вы­ра­же­ни­ем. С нач. 19 в. уже всё ча­ще и ча­ще оп­ре­де­ля­ют по­ня­тие Ф. без упо­ми­на­ния о её ана­ли­тич. вы­ра­же­нии. Та­кие оп­ре­де­ле­ния встре­ча­ют­ся в ра­бо­тах Ж. Фу­рье (1822), Д. Ди­рих­ле (1829, 1837), Н. И. Ло­ба­чев­ско­го (1834). Так сло­жи­лось совр. по­ня­тие Ф., сво­бод­ное от упо­ми­на­ния о её ана­ли­тич. за­да­нии.

Лит.: Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки с древ­ней­ших вре­мен до на­ча­ла XIX сто­ле­тия. М., 1970–1972. Т. 2–3; Куд­ряв­цев Л. Д. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 2-е изд. М., 1973. Т. 1–2; Ни­коль­ский С. М. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 2001; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2009. Ч. 1–2.

Вернуться к началу