Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ФУНКЦИОНА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 33. Москва, 2017, стр. 661-662

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ФУНКЦИОНА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние, в ко­то­ром не­из­вест­ным яв­ля­ет­ся эле­мент к.-л. ба­на­хо­ва про­стран­ст­ва $X$, кон­крет­но­го (функ­цио­наль­но­го) или аб­ст­ракт­но­го, т. е. урав­не­ние ви­да $$P(x)=y,\tag{*}$$где $P(x)$ – не­ко­то­рый, во­об­ще го­во­ря, не­ли­ней­ный опе­ра­тор, пе­ре­во­дя­щий эле­мен­ты ба­на­хо­ва про­стран­ст­ва $X$ в эле­мен­ты ба­на­хо­ва про­стран­ст­ва $Y$. Ес­ли Ф. у. со­дер­жит ещё и чи­сло­вой (или об­щий функ­цио­наль­ный) па­ра­метр λ, то вме­сто (*) пи­шут $P(x; λ)=y$, где $x∈X$, $y∈Y$, $λ∈Λ$, $Λ$ – про­стран­ст­во па­ра­мет­ров.

Урав­не­ния­ми ви­да (*) яв­ля­ют­ся кон­крет­ные или аб­ст­ракт­ные диф­фе­рен­циаль­ные урав­не­ния обык­но­вен­ные и с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, ин­те­граль­ные урав­не­ния, ин­тег­ро-диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния и бо­лее слож­ные урав­не­ния ма­те­ма­тич. ана­ли­за, а так­же сис­те­мы ал­геб­ра­ич. урав­не­ний ко­неч­ные и бес­ко­неч­ные, урав­не­ния в ко­неч­ных раз­но­стях и др.

Ес­ли ре­ше­ния Ф. у. яв­ля­ют­ся эле­мен­та­ми про­стран­ст­ва опе­ра­то­ров, то та­кие Ф. у. на­зы­ва­ют­ся опе­ра­тор­ны­ми урав­не­ния­ми.

Под Ф. у. в уз­ком смыс­ле по­ни­ма­ют урав­не­ния, в ко­то­рых ис­ко­мые функ­ции свя­за­ны с из­вест­ны­ми функ­ция­ми од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных при по­мо­щи опе­ра­ции об­ра­зо­ва­ния слож­ной функ­ции (ком­по­зи­ции функ­ций). Сис­те­мы Ф. у. в не­ко­то­рых слу­ча­ях удоб­но за­пи­сы­ва­ют­ся в крат­кой за­пи­си в ви­де век­тор­но­го или мат­рич­но­го функ­цио­наль­но­го урав­не­ния.

Од­ни из про­стей­ших Ф. у. – урав­не­ния Ко­ши$$f(x+y)=f(x)+f(y),\\ f(x+y)=f(x)f(y),\\ f(xy)=f(x)f(y),$$ не­пре­рыв­ные ре­ше­ния ко­то­рых име­ют, со­от­вет­ст­вен­но, вид$$f(x)=Cx, f(x)=e^{Cx}, f(x)=x^C.$$

Ре­ше­ния Ф. у. в уз­ком смыс­ле и сис­тем та­ких урав­не­ний мо­гут быть как кон­крет­ны­ми функ­ция­ми, так и клас­са­ми функ­ций, за­ви­ся­щи­ми от про­из­воль­ных па­ра­мет­ров или про­из­воль­ных функ­ций.

Точ­ные ре­ше­ния в ви­де ана­ли­тич. вы­ра­же­ний по­лу­ча­ют­ся лишь для не­мно­гих ти­пов Ф. у., по­это­му осо­бое зна­че­ние име­ют при­бли­жён­ные ме­то­ды ре­ше­ния. Для на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния об­щих Ф. у. ви­да (*) раз­вит ряд об­щих ме­то­дов, напр. ме­тод бес­ко­неч­ных сте­пен­ных ря­дов и ме­тод по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний. Су­ще­ст­ву­ют спец. ме­то­ды ре­ше­ния кон­крет­ных Ф. у., в т. ч. чис­лен­ные ме­то­ды, напр. се­ток ме­тод.

Лит.: Са­мар­ский А. А. Вве­де­ние в тео­рию раз­но­ст­ных схем. М., 1971; Кан­то­ро­вич Л. В., Аки­лов Г. П. Функ­цио­наль­ный ана­лиз. 4-е изд. СПб., 2004; Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. 9-e изд. СПб., 2009. Т. 1–3.

Вернуться к началу