Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ФА́КТОРНЫЙ АНА́ЛИЗ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 33. Москва, 2017, стр. 183

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ФА́КТОРНЫЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел мно­го­мер­но­го ста­ти­стич. ана­ли­за, объ­е­ди­няю­щий ме­то­ды оцен­ки раз­мер­но­сти мно­же­ст­ва на­блю­дае­мых пе­ре­мен­ных по­сред­ст­вом ис­сле­до­ва­ния струк­ту­ры ко­ва­риа­ци­он­ных или кор­ре­ля­ци­он­ных мат­риц. Осн. пред­по­ло­же­ние Ф. а. за­клю­ча­ет­ся в том, что кор­ре­ля­ци­он­ные свя­зи ме­ж­ду боль­шим чис­лом на­блю­дае­мых пе­ре­мен­ных оп­ре­де­ля­ют­ся су­ще­ст­во­ва­ни­ем мень­ше­го чис­ла ги­по­те­тич. не­на­блю­дае­мых пе­ре­мен­ных, или фак­то­ров. В тер­ми­нах слу­чай­ных ве­ли­чин – ре­зуль­та­тов на­блю­дений $X_1$, $...$, $X_n$ об­щей мо­де­лью Ф. а. слу­жит ли­ней­ная мо­дель $$X_i=\sum_{j=1}^k a_{ij}f_j+b_iU_i+ε_i,\,i=1,...n,\tag{*}$$ где слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $f_j$ – об­щие фак­то­ры, слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $U_i$ – фак­то­ры, спе­ци­фи­че­ские для ве­ли­чин $X_i$ и не кор­ре­ли­ро­ван­ные с $f_j$, а $ε_i$ – слу­чай­ные ошиб­ки. Пред­по­ла­га­ет­ся, что $k < n$ за­да­но, слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $ε_i$ не­за­ви­си­мы ме­ж­ду со­бой и с ве­ли­чи­на­ми $f_j$ и $U_i$, $\sf{E}ε_i=0$, $\sf{D}ε_i=σ_i^2$. По­сто­ян­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_{ij}$ на­зы­ва­ют­ся фак­тор­ны­ми на­груз­ка­ми (на­груз­ка $i$-й пе­ре­мен­ной на $j$-й фак­тор). Зна­че­ния $a+{ij}$, $b_i$, счи­та­ют­ся не­из­вест­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, под­ле­жа­щи­ми оцен­ке. В ука­зан­ной фор­ме мо­дель Ф. а. от­ли­ча­ет­ся не­ко­то­рой не­оп­ре­де­лён­но­стью, т. к. $n$ пе­ре­мен­ных вы­ра­жа­ют­ся здесь че­рез $n+k$ дру­гих пе­ре­мен­ных. Од­на­ко урав­не­ния (*) за­клю­ча­ют в се­бе ги­по­те­зу о ко­ва­риа­ци­он­ной мат­ри­це, ко­то­рую мож­но про­ве­рить. Напр., ес­ли фак­то­ры $f_j$ не­кор­ре­ли­ро­ва­ны и $c_{ij}$ – эле­мен­ты мат­ри­цы ко­ва­риа­ций ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми $X_i$, то из урав­не­ний (*) сле­ду­ет вы­ра­же­ние для $c_{ij}$ че­рез фак­тор­ные на­груз­ки и дис­пер­сии оши­бок:$$c_{ij}=\sum_{l=1}^k a_{il} a_{jl},\,\,c_{ii}=\sum_{l=1}^k a^2_{il}+σ_i^2.$$ Т. о., об­щая мо­дель Ф. а. рав­но­силь­на ги­по­те­зе о том, что ко­ва­риа­ци­он­ная мат­ри­ца пред­став­ля­ет­ся в ви­де сум­мы мат­ри­цы $A=||a_{ij}||$ и диа­го­наль­ной мат­ри­цы $Λ$ с эле­мен­та­ми $σ_i^2$.

Про­це­ду­ра оце­ни­ва­ния в Ф. а. со­сто­ит из двух эта­пов: оцен­ки фак­тор­ной струк­ту­ры – чис­ла фак­то­ров, не­об­хо­ди­мо­го для объ­яс­не­ния кор­ре­ля­ци­он­ной свя­зи ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми $X_i$ и фак­тор­ной на­груз­ки, а за­тем оце­ни­ва­ния са­мих фак­то­ров по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний. Прин­ци­пи­аль­ные труд­но­сти при ин­тер­пре­та­ции на­бо­ра фак­то­ров со­сто­ят в том, что при $k > 1$ ни фак­тор­ные на­груз­ки, ни са­ми фак­то­ры не оп­ре­де­ля­ют­ся од­но­знач­но, т. к. в урав­не­ни­ях (*) фак­то­ры $f_j$ мо­гут быть за­ме­не­ны с по­мо­щью лю­бо­го ор­то­го­наль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния (вра­ще­ния). Это свой­ст­во мо­де­ли ис­поль­зу­ет­ся для пре­об­ра­зо­ва­ния фак­то­ров, ко­то­рое вы­би­ра­ет­ся так, что­бы на­блю­дае­мые ве­ли­чи­ны име­ли мак­си­маль­но воз­мож­ные на­груз­ки на один фак­тор и ми­ним. на­груз­ки на др. фак­то­ры. Су­ще­ст­ву­ют разл. прак­тич. спо­со­бы оцен­ки фак­тор­ных на­гру­зок в пред­по­ло­же­нии, что $X_1$, $...$, $X_n$ име­ют мно­го­мер­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с ко­ва­риа­ци­он­ной мат­ри­цей $C=||c_{ij}||$. В ча­ст­но­сти, ме­тод мак­си­маль­но­го прав­до­по­до­бия при­во­дит к един­ст­вен­ным оцен­кам для $C$, но для оце­нок $a_{ij}$ да­ёт урав­не­ния, ко­то­рым удов­ле­тво­ря­ет бес­ко­неч­ное чис­ло ре­ше­ний, оди­на­ко­во хо­ро­ших по ста­ти­стич. свой­ст­вам.

Лит.: Хар­ман Г. Со­вре­мен­ный фак­тор­ный ана­лиз. М., 1972.

Вернуться к началу