Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ТРЕУГО́ЛЬНИК

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 32. Москва, 2016, стр. 378

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ТРЕУГО́ЛЬНИК, мно­го­уголь­ник с тре­мя сто­ро­на­ми и тре­мя вер­ши­на­ми; фи­гу­ра, об­ра­зо­ван­ная тре­мя точ­ка­ми, не ле­жа­щи­ми на од­ной пря­мой, и тре­мя со­еди­няю­щи­ми их от­рез­ка­ми. Эти точ­ки $A$, $B$, $C$ на­зы­ва­ют вер­ши­на­ми Т., а от­рез­ки $AB$, $BC$, $CA$, со­еди­няю­щие эти точ­ки, – сто­ро­на­ми Т. (рис. 1). Дли­на лю­бой сто­ро­ны Т. мень­ше сум­мы длин двух дру­гих его сто­рон. Сум­ма длин сто­рон Т. на­зы­ва­ет­ся его пе­ри­мет­ром. Ино­гда по к.-л. со­об­ра­же­ни­ям вы­де­ля­ет­ся од­на из сто­рон, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся ос­но­ва­ни­ем Т., то­гда две дру­гие на­зы­ва­ют­ся бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми Т. В за­ви­си­мо­сти от со­от­но­ше­ния длин сто­рон вы­де­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ние (или пра­виль­ные) Т. (все сто­ро­ны рав­ны) и рав­но­бед­рен­ные Т. (две бо­ко­вые сто­ро­ны рав­ны).

Три уг­ла, ка­ж­дый из ко­то­рых об­ра­зо­ван дву­мя лу­ча­ми, ис­хо­дя­щи­ми из вер­ши­ны Т. и про­хо­дя­щи­ми че­рез две дру­гие вер­ши­ны, на­зы­ва­ют­ся внут­рен­ни­ми уг­ла­ми Т. Сум­ма ве­ли­чин внут­рен­них уг­лов Т. рав­на 180°. Раз­ли­ча­ют Т. ост­ро­уголь­ные (все уг­лы ост­рые), ту­по­уголь­ные (один угол ту­пой) и пря­мо­уголь­ные (один угол пря­мой). В пря­мо­уголь­ном Т. две сто­ро­ны, при­ле­гаю­щие к пря­мо­му уг­лу, на­зы­ва­ют­ся ка­те­та­ми, а тре­тья – ги­по­те­ну­зой.

Т. раз­би­ва­ет плос­кость на две об­лас­ти – вы­пук­лую – внут­рен­нюю часть Т., и не­вы­пук­лую – внеш­нюю часть Т. Ино­гда при оп­ре­де­ле­нии Т. к не­му от­но­сят и его внут­рен­нюю часть.

Рав­ны­ми (кон­гру­энт­ны­ми) на­зы­ва­ют­ся Т., сто­ро­ны и уг­лы ко­то­рых со­от­вет­ст­вен­но рав­ны. В рав­ных Т. про­тив со­от­вет­ст­вен­но рав­ных сто­рон ле­жат рав­ные уг­лы. Два Т. рав­ны, ес­ли три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ст­вен­но рав­ны трём сто­ро­нам дру­го­го Т.; или ес­ли две сто­ро­ны и угол ме­ж­ду ни­ми од­но­го Т. со­от­вет­ст­вен­но рав­ны сто­ро­нам и уг­лу ме­ж­ду ни­ми дру­го­го Т.; или ес­ли сто­ро­на и при­ле­гаю­щие к ней уг­лы од­но­го Т. со­от­вет­ст­вен­но рав­ны сто­ро­не и при­ле­гаю­щим к ней уг­лам дру­го­го тре­уголь­ни­ка.

Два Т. на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли от­но­ше­ния длин со­от­вет­ст­вую­щих сто­рон рав­ны и уг­лы, за­клю­чён­ные ме­ж­ду про­пор­цио­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, так­же рав­ны. Два Т. по­доб­ны, ес­ли три сто­ро­ны од­но­го Т. про­пор­цио­наль­ны трём сто­ро­нам дру­го­го Т. (с од­ним и тем же ко­эф­фи­ци­ен­том про­пор­цио­наль­но­сти); или ес­ли две сто­ро­ны од­но­го Т. про­пор­цио­наль­ны двум сто­ро­нам дру­го­го Т. и уг­лы, за­клю­чён­ные ме­ж­ду эти­ми сто­ро­на­ми, рав­ны; или ес­ли два уг­ла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ст­вен­но рав­ны двум уг­лам дру­го­го.

От­ре­зок пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из вер­ши­ны Т. на пря­мую, со­дер­жа­щую про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, от вер­ши­ны до этой пря­мой, на­зы­ва­ет­ся вы­сотой Т. (дли­ну это­го пер­пен­ди­ку­ля­ра так­же на­зы­ва­ют вы­со­той Т.). Три вы­со­ты Т. пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой ор­то­цен­тром Т. От­ре­зок пря­мой, со­еди­няю­щий вер­ши­ну Т. с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся ме­диа­ной Т. Три ме­диа­ны Т. пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой цен­трои­дом Т. Цен­тро­ид де­лит ме­диа­ны в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны. От­ре­зок бис­сек­три­сы внут­рен­не­го уг­ла Т. от вер­ши­ны до про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны на­зы­ва­ет­ся бис­сек­три­сой Т. Три бис­сек­три­сы внут­рен­них уг­лов Т. пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, яв­ляю­щей­ся цен­тром ок­руж­но­сти, впи­сан­ной в Т. (см. ни­же). Бис­сек­три­са внут­рен­не­го уг­ла де­лит про­ти­во­по­лож­ную уг­лу сто­ро­ну на от­рез­ки, про­пор­цио­наль­ные дру­гим сто­ро­нам. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не Т. и про­хо­дя­щая че­рез её се­ре­ди­ну, на­зы­ва­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром Т. Три се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, яв­ляю­щей­ся цен­тром опи­сан­ной ок­руж­но­сти (см. ни­же). На рис. 1 по­ка­за­ны от­рез­ки: $AO$ – бис­сек­три­са уг­ла при вер­ши­не $A$, $AM$ – ме­диа­на, $AH$ – вы­со­та, $ML$ – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр.

От­ре­зок, со­еди­няю­щий се­ре­ди­ны двух сто­рон Т., на­зы­ва­ет­ся его сред­ней ли­нией. Ок­руж­ность, ка­саю­щая­ся всех трёх сто­рон Т., на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ной ок­руж­но­стью. На рис. 2 по­ка­за­на ок­руж­ность $k$, впи­сан­ная в Т. $ABC$, её ра­ди­ус ра­вен $OD=OE=OF$. Ок­руж­ность, про­хо­дя­щая че­рез все вер­ши­ны Т., на­зы­ва­ет­ся опи­сан­ной ок­руж­но­стью. На рис. 3 по­ка­за­на ок­руж­ность $K$, ко­то­рая опи­сана око­ло Т. $ABC$, её ра­ди­ус ра­вен $OA=OB=OC$.

Не­ко­то­рые ос­нов­ные свя­зи ме­ж­ду эле­мен­та­ми Т. со­сто­ят в сле­дую­щем. Пусть $a$, $b$, $c$ – сто­ро­ны Т. (а так­же их дли­ны), $A$, $B$, $C$ – про­ти­во­ле­жа­щие им уг­лы. Для ка­ж­до­го Т. спра­вед­ли­вы ко­си­ну­сов тео­ре­ма, тан­ген­сов тео­ре­ма и тео­ре­ма си­ну­сов:$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin b}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$где $R$ – ра­ди­ус опи­сан­ной ок­руж­но­сти.

Ве­ли­чи­на пло­ща­ди$$S=\frac{ah_a}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\\=2R^2\sin A\sin B\sin C=\\=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$где $h_a$ – вы­со­та, опу­щен­ная на сто­ро­ну $a$ (или её про­дол­же­ние), $p=(a+b+c)/2$ – по­лу­пе­ри­метр, $r$ – ра­ди­ус впи­сан­ной ок­руж­но­сти.

Ра­ди­ус впи­сан­ной ок­руж­но­сти$$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\\=(p-a)\tan\frac{A}{2}=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}=\frac{S}{2}.$$

Ре­ше­ние Т. со­сто­ит в на­хо­ж­де­нии не­из­вест­ных сто­рон и уг­лов Т. по его из­вест­ным сто­ро­нам и уг­лам.

Вернуться к началу