ТОПОЛОГИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ТОПОЛОГИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО, множество X, для точек и подмножеств которого определено отношение близости, или предельное отношение. Отношение близости δ обладает следующими свойствами, принимаемыми в качестве аксиом:
никакая точка не близка к пустому множеству;
xδ{x} для всех x∈X;
если хδА и А⊂B⊂X, то xδB;
если xδ(A⋃B), то xδA или xδB;
если yδA для всех y∈B и xδB, то xδA.
В Т. п. вводится понятие замкнутого множества как такого, которое содержит все близкие к нему точки. Открытым множеством называются дополнения до замкнутых множеств, они составляют топологию пространства X. Точки, близкие к множеству A, называются также точками прикосновения множества A в данном пространстве, они образуют замыкание [A] множества A.
Важнейший частный случай Т. п. образуют метрические пространства. В частности, числовая прямая, евклидово пространство любого числа измерений, разл. функциональные пространства являются примерами метрических и, следовательно, Т. п. Существует много способов вводить в данное множество топологию, т. е. превратить его в Т. п.; напр., в случае метрич. пространств топология вводится с помощью понятия расстояния или метрики. В очень многих случаях топология в данное множество X вводится посредством окрестностей: для каждого элемента (для каждой точки) множества X некоторые его подмножества выделяют в качестве окрестностей данной точки. В предположении, что окрестности определены, точка x объявляется точкой прикосновения множества A, если каждая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку множества A.
Чрезвычайная общность понятия Т. п. ограничивается теми или иными условиями, налагаемыми на предельные отношения. Эти условия называются аксиомами Т. п. В качестве аксиом Т. п. можно принять следующие условия, налагаемые на операцию замыкания: замыкание суммы двух множеств есть сумма замыканий этих множеств; каждое множество содержится в своём замыкании; замыкание замыкания любого множества A совпадает с замыканием множества A; замыкание пустого множества пусто.
Отображение f Т. п. X в Т. п. Y называется непрерывным, если оно сохраняет предельные отношения, т. е. если из того, что точка а пространства Х близка к множеству А⊂Х, следует, что точка b=f(a) в пространстве Y близка к множеству B=f(A) – образу множества A при отображении f. Если дано взаимно однозначное отображение f Т. п. X на Т. п. Y, причём и само отображение f, и обратное к нему отображение f-1 непрерывны, то f называют топологическим отображением X на Y (или гомеоморфизмом между этими пространствами). Два Т. п. называют гомеоморфными между собой, если одно из них можно топологически отобразить на другое.
Для того чтобы получить топологию данного Т. п., нет надобности рассматривать в качестве окрестностей данной точки x все открытые множества, содержащие эту точку; достаточно взять открытые множества, являющиеся элементами к.-л. базы данного Т. п. При этом базой Т. п. X называется всякая система открытых множеств пространства Х, обладающая тем свойством, что любое открытое множество пространства Х есть сумма некоторых множеств, являющихся элементами этой системы. Напр., если за пространство Х взять числовую прямую, то одной из баз этого пространства является множество всех интервалов с рациональными концами. Этот пример показывает, что несчётное Т. п. может иметь базу, состоящую из счётного множества элементов. Такие пространства называют пространствами со счётной базой.
Вместо того чтобы определять Т. п. посредством отношения близости или понятия замыкания, можно определить Т. п. как множество, в котором некоторые подмножества выделены как открытые, причём выполнены следующие условия: пересечение конечного числа и сумма любого множества открытых множеств суть открытые множества; всё множество X и пустое множество открыты. Называя окрестностью данной точки каждое содержащее эту точку открытое множество, приходят к понятию точек прикосновения и замыкания любого множества, что даёт тот же класс Т. п., о котором говорилось выше.