Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ТОПОЛОГИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 32. Москва, 2016, стр. 288-289

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ТОПОЛОГИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО, мно­же­ст­во X, для то­чек и под­мно­жеств ко­то­ро­го оп­ре­де­ле­но от­но­ше­ние бли­зо­сти, или пре­дель­ное от­но­ше­ние. От­но­ше­ние бли­зо­сти δ об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми, при­ни­мае­мы­ми в ка­че­ст­ве ак­си­ом:

ни­ка­кая точ­ка не близ­ка к пус­то­му мно­же­ст­ву;

xδ{x} для всех xX;

ес­ли хδА и АB⊂X, то xδB;

ес­ли xδ(A⋃B), то xδA или xδB;

ес­ли yδA для всех yB и xδB, то xδA.

В Т. п. вво­дит­ся по­ня­тие замк­ну­то­го мно­же­ст­ва как та­ко­го, ко­то­рое со­дер­жит все близ­кие к не­му точ­ки. От­кры­тым мно­же­ст­вом на­зы­ва­ют­ся до­пол­не­ния до замк­ну­тых мно­жеств, они со­став­ля­ют то­по­ло­гию про­стран­ст­ва X. Точ­ки, близ­кие к мно­же­ст­ву A, на­зы­ва­ют­ся так­же точ­ка­ми при­кос­но­ве­ния мно­же­ст­ва A в дан­ном про­стран­ст­ве, они об­ра­зу­ют за­мы­ка­ние [A] мно­же­ст­ва A.

Важ­ней­ший ча­ст­ный слу­чай Т. п. об­ра­зу­ют мет­ри­че­ские про­стран­ст­ва. В ча­ст­но­сти, чи­сло­вая пря­мая, евк­ли­до­во про­стран­ст­во лю­бо­го чис­ла из­ме­ре­ний, разл. функ­цио­наль­ные про­стран­ст­ва яв­ля­ют­ся при­ме­ра­ми мет­ри­че­ских и, сле­до­ва­тель­но, Т. п. Су­ще­ст­ву­ет мно­го спо­со­бов вво­дить в дан­ное мно­же­ст­во то­по­ло­гию, т. е. пре­вра­тить его в Т. п.; напр., в слу­чае мет­рич. про­странств то­по­ло­гия вво­дит­ся с по­мо­щью по­ня­тия рас­стоя­ния или мет­ри­ки. В очень мно­гих слу­ча­ях то­по­ло­гия в дан­ное мно­же­ст­во X вво­дит­ся по­сред­ст­вом ок­ре­ст­но­стей: для ка­ж­до­го эле­мен­та (для ка­ж­дой точ­ки) мно­же­ст­ва X не­ко­то­рые его под­мно­же­ст­ва вы­де­ля­ют в ка­че­ст­ве ок­ре­ст­но­стей дан­ной точ­ки. В пред­по­ло­же­нии, что ок­ре­ст­но­сти оп­ре­де­ле­ны, точ­ка x объ­яв­ля­ет­ся точ­кой при­кос­но­ве­ния мно­же­ст­ва A, ес­ли ка­ж­дая ок­ре­ст­ность точ­ки x со­дер­жит хо­тя бы од­ну точ­ку мно­же­ст­ва A.

Чрез­вы­чай­ная общ­ность по­ня­тия Т. п. ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся те­ми или ины­ми ус­ло­вия­ми, на­ла­гае­мы­ми на пре­дель­ные от­но­ше­ния. Эти ус­ло­вия на­зы­ва­ют­ся ак­сио­ма­ми Т. п. В ка­че­ст­ве ак­си­ом Т. п. мож­но при­нять сле­дую­щие ус­ло­вия, на­ла­гае­мые на опе­ра­цию за­мы­ка­ния: за­мы­ка­ние сум­мы двух мно­жеств есть сум­ма за­мы­ка­ний этих мно­жеств; ка­ж­дое мно­же­ст­во со­дер­жит­ся в сво­ём за­мы­ка­нии; за­мы­ка­ние за­мы­ка­ния лю­бо­го мно­же­ст­ва A сов­па­да­ет с за­мы­ка­ни­ем мно­же­ст­ва A; за­мы­ка­ние пус­то­го мно­же­ст­ва пус­то.

Ото­бра­же­ние f Т. п. X в Т. п. Y на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ным, ес­ли оно со­хра­ня­ет пре­дель­ные от­но­ше­ния, т. е. ес­ли из то­го, что точ­ка а про­стран­ст­ва Х близ­ка к мно­же­ст­ву А⊂Х, сле­ду­ет, что точ­ка b=f(a) в про­стран­ст­ве Y близ­ка к мно­же­ст­ву B=f(A) – об­ра­зу мно­же­ст­ва A при ото­бра­же­нии f. Ес­ли да­но вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние f Т. п. X на Т. п. Y, при­чём и са­мо ото­бра­же­ние f, и об­рат­ное к не­му ото­бра­же­ние f-1 не­пре­рыв­ны, то f на­зы­ва­ют то­по­ло­ги­че­ским ото­бра­же­ни­ем X на Y (или го­мео­мор­физ­мом ме­ж­ду эти­ми про­стран­ст­ва­ми). Два Т. п. на­зы­ва­ют го­мео­морф­ны­ми ме­ж­ду со­бой, ес­ли од­но из них мож­но то­по­ло­ги­че­ски ото­бра­зить на дру­гое.

Для то­го что­бы по­лу­чить то­по­ло­гию дан­но­го Т. п., нет на­доб­но­сти рас­смат­ривать в ка­че­ст­ве ок­ре­ст­но­стей дан­ной точ­ки x все от­кры­тые мно­же­ст­ва, со­дер­жа­щие эту точ­ку; дос­та­точ­но взять от­кры­тые мно­же­ст­ва, яв­ляю­щие­ся эле­мен­та­ми к.-л. ба­зы дан­но­го Т. п. При этом ба­зой Т. п. X на­зы­ва­ет­ся вся­кая сис­те­ма от­кры­тых мно­жеств про­стран­ст­ва Х, об­ла­даю­щая тем свой­ст­вом, что лю­бое от­кры­тое мно­же­ст­во про­стран­ст­ва Х есть сум­ма не­ко­то­рых мно­жеств, яв­ляю­щих­ся эле­мен­та­ми этой сис­те­мы. Напр., если за про­стран­ст­во Х взять чи­сло­вую пря­мую, то од­ной из баз это­го про­стран­ст­ва яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех ин­тер­ва­лов с ра­цио­наль­ны­ми кон­ца­ми. Этот при­мер по­ка­зы­ва­ет, что не­счёт­ное Т. п. мо­жет иметь ба­зу, со­стоя­щую из счёт­но­го мно­же­ст­ва эле­мен­тов. Та­кие про­стран­ст­ва на­зы­ва­ют про­стран­ст­ва­ми со счёт­ной ба­зой.

Вме­сто то­го что­бы оп­ре­де­лять Т. п. по­сред­ст­вом от­но­ше­ния бли­зо­сти или по­ня­тия за­мы­ка­ния, мож­но оп­ре­де­лить Т. п. как мно­же­ст­во, в ко­то­ром не­ко­то­рые под­мно­же­ст­ва вы­де­ле­ны как от­кры­тые, при­чём вы­пол­не­ны сле­дую­щие ус­ло­вия: пе­ре­се­че­ние ко­неч­но­го чис­ла и сум­ма лю­бо­го мно­же­ст­ва от­кры­тых мно­жеств суть от­кры­тые мно­же­ст­ва; всё мно­же­ст­во X и пус­тое мно­же­ст­во от­кры­ты. На­зы­вая ок­ре­ст­но­стью дан­ной точ­ки ка­ж­дое со­дер­жа­щее эту точ­ку от­кры­тое мно­же­ст­во, при­хо­дят к по­ня­тию то­чек при­кос­но­ве­ния и за­мы­ка­ния лю­бо­го мно­же­ст­ва, что да­ёт тот же класс Т. п., о ко­то­ром го­во­ри­лось вы­ше.

Лит. см. при ст. То­по­ло­гия.

Вернуться к началу