Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ТЕ́НЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 32. Москва, 2016, стр. 31-32

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ТЕ́НЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, ма­те­ма­тич. дис­ци­п­ли­на, изу­чаю­щая тен­зо­ры, их свой­ст­ва и пра­ви­ла дей­ст­вий над ни­ми. Т. и. яв­ля­ет­ся раз­ви­ти­ем и обоб­ще­ни­ем век­тор­но­го ис­чис­ле­ния и тео­рии мат­риц. Т. и. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся в диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии, в тео­рии ри­ма­но­вых про­странств, тео­рии от­но­си­тель­но­сти, элек­тро­ди­на­ми­ке и др. об­лас­тях нау­ки.

Для опи­са­ния мн. фи­зич. яв­ле­ний и гео­мет­рич. объ­ек­тов обыч­но вво­дит­ся та или иная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, что по­зво­ля­ет опи­сы­вать разл. объ­ек­ты при по­мо­щи од­но­го или не­сколь­ких чи­сел, а со­от­но­ше­ния ме­ж­ду объ­ек­та­ми – ра­вен­ст­ва­ми, свя­зы­ваю­щи­ми эти чис­ла или сис­те­мы чи­сел. Не­ко­то­рые из ве­ли­чин, на­зы­вае­мые ска­ляр­ны­ми (напр., в фи­зи­ке – мас­са, тем­пе­ра­ту­ра и др.), опи­сы­ва­ют­ся од­ним чис­лом, не из­ме­няю­щим­ся при пе­ре­хо­де от од­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат к дру­гой. Дру­гие ве­ли­чи­ны – век­тор­ные (си­ла, ско­рость и т. д.) опи­сы­ва­ют­ся тре­мя чис­ла­ми (ком­по­нен­та­ми век­то­ра), при­чём при пе­ре­хо­де от од­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат к дру­гой ком­по­нен­ты век­то­ра пре­об­ра­зу­ют­ся по из­вест­но­му за­ко­ну (см. Де­кар­то­ва сис­те­ма ко­ор­ди­нат). На­ря­ду со ска­ляр­ны­ми и век­тор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми во мно­гих во­про­сах фи­зи­ки и гео­мет­рии встре­ча­ют­ся ве­ли­чи­ны бо­лее слож­но­го строе­ния. Эти ве­ли­чи­ны, на­зы­вае­мые тен­зор­ны­ми, опи­сы­ва­ют­ся в ка­ж­дой сис­те­ме ко­ор­ди­нат не­сколь­ки­ми чис­ла­ми (ком­по­нен­та­ми тен­зо­ра), при­чём за­кон пре­об­ра­зо­ва­ния этих чи­сел при пе­ре­хо­де от од­ной сис­темы ко­ор­ди­нат к дру­гой слож­нее, чем для век­то­ров (под­роб­нее см. ни­же). Од­ним из клас­сич. при­ме­ров тен­зо­ра яв­ля­ет­ся тен­зор инер­ции, за­да­вае­мый со­во­куп­но­стью чи­сел $J_{ij}$$i$, $j=1, 2, 3$, где $J_{ii}$ – осе­вой мо­мент инер­ции от­но­си­тель­но оси $x_i$, а $J_{ij}$$i≠j$, – цен­тро­беж­ные мо­мен­ты инер­ции, взя­тые с об­рат­ным зна­ком. При пе­ре­хо­де от од­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат к дру­гой осе­вые мо­мен­ты инер­ции $J_{ii}$ ме­ня­ют­ся, при­чём зна­ние их ве­ли­чин в од­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат не по­зво­ля­ет най­ти их в др. сис­те­ме ко­ор­ди­нат. По­это­му $J_{ii}$ не мо­гут рас­смат­ри­вать­ся как фи­зич. ве­ли­чи­ны, имею­щие не­за­ви­си­мый от вы­бо­ра сис­те­мы ко­ор­ди­нат смысл. В то же вре­мя со­во­куп­ность всех чи­сел $J_{ij}$ име­ет смысл, не­за­ви­си­мый от вы­бо­ра сис­те­мы ко­ор­ди­нат, т. к. зна­ние всех чи­сел $J_{ij}$ в од­ной сис­те­ме пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­нат по­зво­ля­ет най­ти их в лю­бой др. сис­те­ме пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­нат по фор­му­ле$$J'_{kl}=α_k^r α_l^s J_{rs},$$где $‖α_kr‖$  – мат­ри­ца пе­ре­хо­да от од­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат к дру­гой; здесь, как при­ня­то в Т. и., опу­щен знак сум­мы и счи­та­ет­ся, что ес­ли один и тот же ин­декс встре­ча­ет­ся два­ж­ды (один раз вни­зу, а дру­гой на­вер­ху), то по не­му про­из­во­дит­ся сум­ми­ро­ва­ние, при­чём этот ин­декс при­ни­ма­ет все воз­мож­ные для не­го зна­че­ния (в при­ве­дён­ном при­ме­ре – зна­че­ния 1, 2, 3).

Пусть в трёх­мер­ном евк­ли­до­вом про­ст­ран­ст­ве за­да­ны два ба­зи­са $\{e_i\}$ и $\{e_if\}$, $i=1,2,3$, при­чём $e′_j=A_j^ie_i$, $e_i=B′_i^je_j$; $r$ раз ко­ва­ри­ант­ным и $s$ раз кон­тра­ва­ри­ант­ным тен­зо­ром на­зы­ва­ет­ся за­ви­ся­щая от ба­зи­са со­во­куп­ность $t$, со­стоя­щая из чи­сел $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ пре­об­ра­зую­щих­ся при из­ме­не­нии ба­зи­са по фор­му­лам $$t′_{m_1...m_s}^{k_1...k_r}=A_{m_1}^{j_1}...A_{m_s}^{j_s}B_{i_1}^{k_1}...B_{i_r}^{k_s}t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}.$$ Чис­ло $r+s$ на­зы­ва­ет­ся ва­лент­но­стью тен­зо­ра. При $s=0$ тен­зор $t$ на­зы­ва­ет­ся ко­ва­ри­ант­ным, при $r=0$ – кон­тра­ва­ри­ант­ным, при $r > 0$, $s > 0$ – сме­шан­ным. Чис­ла $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ на­зы­ва­ют­ся ком­по­нен­та­ми (ко­ор­ди­на­та­ми) тен­зо­ра $t$ в дан­ном ба­зи­се. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же тен­зо­ры ну­ле­вой ва­лент­но­сти (ска­ля­ры или ин­ва­ри­ан­ты), ко­то­рые в лю­бом ба­зи­се име­ют един­ст­вен­ную ком­по­нен­ту, не за­ви­ся­щую от ба­зи­са. До­слов­но также оп­ре­де­ля­ют­ся тен­зо­ры в $n$-мер­ном век­тор­ном про­стран­ст­ве над про­из­воль­ным по­лем.

Сум­мой двух тен­зо­ров $t^{ab}_{cde}$ и $q^{ab}_{cde}$ оди­на­ко­во­го строе­ния (т. е. имею­щих оди­на­ко­вое чис­ло верх­них и ниж­них ин­дек­сов) на­зы­ва­ет­ся тен­зор с ко­ор­ди­на­та­ми $$r_{cde}^{ab}=t^{ab}_{cde}+q^{ab}_{cde}.$$Про­из­ве­де­ни­ем двух тен­зо­ров $q^{ab}_{cde}$ и $q^{de}_{fhg}$ (быть мо­жет, раз­но­го строе­ния) на­зы­ва­ет­ся тен­зор с ко­ор­ди­на­та­ми $$r^{ade}_{bcfgh}=q^{ab}_{cde}q^{de}_{fhg}.$$ Рас­смат­ри­ва­ют­ся и др. опе­ра­ции над тен­зо­ра­ми. Напр., ре­зуль­та­том сво­ра­чи­ва­ния тен­зо­ра по ин­дек­сам $a$ и $b$ (верх­не­му и ниж­не­му) на­зы­ва­ет­ся тен­зор $t^{b}_{ce}=t^{ib}_{cie}$ ком­по­нен­ты ко­то­ро­го суть (здесь про­из­во­дит­ся сум­ми­ро­ва­ние по ин­дек­су $i$).

Тен­зор­ным по­лем ($r$ раз ко­ва­ри­ант­ным и $s$ раз кон­тра­ва­ри­ант­ным) в об­лас­ти $U$ трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва на­зы­ва­ет­ся со­от­вет­ст­вие, со­пос­тав­ляю­щее ка­ж­дой точ­ке $x∈U$ тен­зор $t(x)$ ($r$ раз ко­ва­ри­ант­ный и $s$ раз кон­тра­ва­ри­ант­ный). Тен­зор­ное по­ле за­да­ёт­ся на­бо­ром функ­ций $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}(x)$ на ко­то­рые на­ла­гаются те или иные ус­ло­вия глад­ко­сти. Напр., рас­смат­ри­ва­ют­ся ска­ляр­ные по­ля ($r=s=0$), век­тор­ные по­ля ($r=0$, $s=1$), т. н. пфаф­фо­вы фор­мы ($r=1$, $s=0$). Тен­зор инер­ции, рас­смат­ри­вае­мый во всех точ­ках те­ла, да­ёт при­мер тен­зор­но­го по­ля ва­лент­но­сти 2. Ча­ст­ные про­из­вод­ные $\frac{d}{dx^{i_r+1}}t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ ком­по­нент тензор­но­го по­ля яв­ля­ют­ся ком­по­нен­та­ми $r+1$ раз ко­ва­ри­ант­но­го и $s$ раз кон­тра­ва­ри­ант­но­го тен­зор­но­го по­ля. Напр., при диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии ска­ляр­но­го по­ля $f$ по­лу­ча­ет­ся пфаф­фо­ва фор­ма $df$ с ком­по­нен­та­ми $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ (диф­фе­рен­ци­ал функ­ции $f$). В де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах эту фор­му мож­но рас­смат­ри­вать как век­тор­ное по­ле $\text{grad}\,f$, на­зы­вае­мое гра­ди­ен­том функ­ции $f$.

В тен­зор­ном ана­ли­зе рас­смат­ри­ва­ют­ся тен­зор­ные по­ля на про­из­воль­ных диф­фе­рен­ци­руе­мых мно­го­об­ра­зи­ях и диф­фе­рен­ци­аль­ные опе­ра­то­ры, дей­ст­вую­щие на та­ких по­лях.

Воз­ник­но­ве­ние Т. и. бы­ло под­го­тов­ле­но в 19 в. раз­ви­ти­ем тео­рии ал­геб­ра­ич. форм, с од­ной сто­ро­ны, и тео­рии квад­ра­тич­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных форм – с дру­гой. Ис­сле­до­ва­ния в об­лас­ти тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных квад­ра­тич­ных форм бы­ли не­по­сред­ст­вен­но свя­за­ны с диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­ри­ей: с гео­мет­ри­ей по­верх­но­стей (К. Га­усс) и с гео­мет­ри­ей мно­го­мер­ных мет­рич. про­странств (Б. Ри­ман). Совр. фор­му Т. и. при­да­ли итал. ма­те­ма­ти­ки Г. Рич­чи-Ку­ба­ст­ро и Т. Ле­ви-Чи­ви­та (1901), по­это­му Т. и. ино­гда на­зы­ва­ют ис­чис­ле­ни­ем Рич­чи. Идеи Рич­чи-Ку­ба­ст­ро пер­во­на­чаль­но не по­лу­чи­ли ши­ро­ко­го рас­про­стра­не­ния. Вни­ма­ние к ним воз­рос­ло по­сле по­яв­ле­ния об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти, ма­те­ма­тич. часть ко­то­рой це­ли­ком ос­но­ва­на на тен­зор­ном ис­чис­ле­нии.

Лит.: Схо­утен Я. А. Тен­зор­ный ана­лиз для фи­зи­ков. М., 1965; Ко­ст­ри­кин А. И., Ма­нин Ю. И. Ли­ней­ная ал­геб­ра и гео­мет­рия. 3-е изд. СПб., 2008; Ра­шев­ский П. А. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия и тен­зор­ный ана­лиз. 8-е изд. М., 2014.

Вернуться к началу