Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СФЕРИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 31. Москва, 2016, стр. 485

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




СФЕРИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раз­дел гео­мет­рии, изу­чаю­щий гео­мет­рич. об­ра­зы, на­хо­дя­щие­ся на сфе­ре, по­доб­но то­му как пла­ни­мет­рия изу­ча­ет гео­мет­рич. об­ра­зы, на­хо­дя­щие­ся на плос­ко­сти.

Вся­кая плос­кость, пе­ре­се­каю­щая сфе­ру, да­ёт в се­че­нии не­ко­то­рую ок­руж­ность; ес­ли се­ку­щая плос­кость про­хо­дит че­рез центр O сфе­ры, то в се­че­нии по­лу­ча­ет­ся т. н. боль­шой круг. Че­рез ка­ж­дые две точ­ки A и B на сфе­ре (рис., 1), кро­ме слу­чая диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных то­чек, мож­но про­вес­ти един­ст­вен­ный боль­шой круг. Боль­шие кру­ги сфе­ры яв­ля­ют­ся её гео­де­зи­че­ски­ми ли­ния­ми и по­то­му в С. г. иг­ра­ют роль, ана­ло­гич­ную ро­ли пря­мых в пла­ни­мет­рии. Од­на­ко в то вре­мя как от­ре­зок пря­мой яв­ля­ет­ся крат­чай­шим пу­тём ме­ж­ду его кон­ца­ми, ду­га боль­шо­го кру­га на сфе­ре бу­дет крат­чай­шей лишь в слу­чае, ко­гда она ко­ро­че до­пол­ни­тель­ной ду­ги. Во мно­гих дру­гих от­но­ше­ни­ях С. г. так­же от­лич­на от пла­ни­мет­рии; так, напр., в С. г. не су­ще­ст­ву­ет па­рал­лель­ных гео­де­зи­че­ских: два боль­ших кру­га все­гда пе­ре­се­ка­ют­ся, при­чём в двух точ­ках.

Дли­ну от­рез­ка AB на сфе­ре, т. е. ду­гу AmB (рис., 1) боль­шо­го кру­га, из­ме­ряют со­от­вет­ст­вую­щим, про­пор­цио­наль­ным ей, цен­траль­ным уг­лом AOB. Угол ABC (рис., 2), об­ра­зо­ван­ный на сфе­ре ду­га­ми боль­ших кру­гов, из­ме­ря­ют уг­лом A'BC' ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми к со­от­вет­ст­вую­щим ду­гам в точ­ке пе­ре­се­че­ния B или дву­гран­ным уг­лом, об­ра­зо­ван­ным плос­ко­стя­ми OBA и OBC.

При пе­ре­се­че­нии двух боль­ших кру­гов на сфе­ре об­ра­зуют­ся че­ты­ре сфе­рич. дву­уголь­ни­ка (рис., 3). Сфе­рич. дву­уголь­ник оп­ре­де­ля­ет­ся за­да­ни­ем сво­его уг­ла. Пло­щадь сфе­рич. дву­уголь­ни­ка оп­ре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле S=2R2A, где R – ра­ди­ус сфе­ры, A – угол дву­уголь­ни­ка, вы­ра­жен­ный в ра­диа­нах.

Три боль­ших кру­га, не пе­ре­се­каю­щих­ся в од­ной па­ре диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных то­чек, об­ра­зу­ют на сфе­ре во­семь сфе­рич. тре­уголь­ни­ков (рис., 4). Зная эле­мен­ты (уг­лы и сто­ро­ны) од­но­го из них, мож­но оп­ре­де­лить эле­мен­ты всех ос­таль­ных. По­это­му обыч­но рас­смат­ри­ва­ют со­от­но­ше­ния ме­ж­ду эле­мен­та­ми лишь од­но­го тре­уголь­ни­ка, при­том то­го, все сто­ро­ны ко­то­ро­го мень­ше по­ло­ви­ны боль­шо­го кру­га (та­кие тре­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся эй­ле­ро­вы­ми). Сто­ро­ны a, b, c сфе­рич. тре­уголь­ни­ка из­ме­ря­ют­ся пло­ски­ми уг­ла­ми трёх­гран­но­го уг­ла OABC (рис., 5), уг­лы A, B, C – дву­гран­ны­ми уг­ла­ми то­го же трёх­гран­но­го уг­ла. Свой­ст­ва сфе­рич. тре­уголь­ни­ков во мно­гом от­ли­ча­ют­ся от свойств тре­уголь­ни­ков на плос­ко­сти (пря­мо­ли­ней­ных тре­уголь­ни­ков). Так, к из­вест­ным трём слу­ча­ям ра­вен­ст­ва пря­мо­ли­ней­ных тре­уголь­ни­ков для тре­уголь­ни­ков на сфе­ре до­бав­ля­ет­ся чет­вёр­тый: два тре­уголь­ни­ка рав­ны, ес­ли рав­ны их со­от­вет­ст­вую­щие уг­лы (по­доб­ных тре­уголь­ни­ков на сфе­ре не су­ще­ст­ву­ет).

Рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми счи­та­ют­ся те, ко­то­рые мо­гут быть со­вме­ще­ны по­сле пе­ре­дви­же­ния по сфе­ре. По­это­му рав­ные сфе­рич. тре­уголь­ни­ки име­ют рав­ные эле­мен­ты и оди­на­ко­вую ори­ен­та­цию. Тре­уголь­ни­ки, имею­щие рав­ные эле­мен­ты и разл. ори­ен­та­цию, на­зы­ва­ют сим­мет­рич­ны­ми, та­ко­вы, напр., тре­уголь­ни­ки АС'С и BCC' (рис., 6).

Во вся­ком эй­ле­ро­вом сфе­рич. тре­уголь­ни­ке ка­ж­дая сто­ро­на мень­ше сум­мы и боль­ше раз­но­сти двух дру­гих; сум­ма всех сто­рон все­гда мень­ше 2π. Сум­ма уг­лов сфе­рич. тре­уголь­ни­ка все­гда мень­ше 3π и боль­ше π. Раз­ность s-π=ε, где s – сум­ма уг­лов сфе­рич. тре­уголь­ни­ка, на­зы­ва­ют сфе­рич. из­быт­ком. Пло­щадь сфе­рич. тре­уголь­ни­ка есть S=R2ε, где R – ра­ди­ус сфе­ры. О со­от­но­ше­ни­ях ме­ж­ду уг­ла­ми и сто­ро­на­ми сфе­рич. тре­уголь­ни­ка и об ис­то­рии их изу­че­ния см. в ст. Сфе­ри­че­ская три­го­но­мет­рия.

Вернуться к началу