Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СУММИ́РОВАНИЕ РЯДО́В

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 31. Москва, 2016, стр. 421-422

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. Я. Виленкин

СУММИ́РОВАНИЕ РЯДО́В, по­строе­ние обоб­щён­ных сумм ря­дов, ко­то­рые яв­ля­ют­ся рас­хо­дя­щи­ми­ся. Рас­хо­дя­щие­ся ря­ды час­то встре­ча­ют­ся на прак­ти­ке (напр., в тео­рии элек­тро­маг­нит­но­го по­ля и в др. раз­де­лах совр. фи­зи­ки); они мо­гут по­лу­чать­ся при пе­ре­мно­же­нии ус­лов­но схо­дя­щих­ся ря­дов, при раз­ло­же­нии функ­ции в ряд Фу­рье, при диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии и ин­тег­ри­ро­ва­нии функ­цио­наль­ных ря­дов. Во мно­гих слу­ча­ях для рас­хо­дя­щих­ся ря­дов мож­но най­ти сум­му в обоб­щён­ном смыс­ле, об­ла­даю­щую не­ко­то­ры­ми свой­ст­ва­ми обыч­ной сум­мы схо­дя­ще­го­ся ря­да. При сум­ми­ро­ва­нии рас­хо­дя­щих­ся ря­дов обыч­но тре­бу­ет­ся, что­бы из то­го, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ сум­ми­ру­ет­ся к $S$, а ряд $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ сум­ми­ру­ет­ся к $T$, сле­до­ва­ло бы, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty} (λa_n+μb_n)$ сум­ми­ру­ет­ся к $λS+μT$, где $λ$, $μ$ – про­из­воль­ные числа, а ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сум­ми­ру­ет­ся к $S-a_0$. Кро­ме то­го, ча­ще все­го рас­смат­ри­ва­ются ре­гу­ляр­ные ме­то­ды сум­ми­ро­ва­ния, т. е. ме­то­ды, сум­ми­рую­щие ка­ж­дый схо­дя­щий­ся ряд к его обыч­ной сум­ме.

В боль­шин­ст­ве ме­то­дов С. р. рас­хо­дя­щий­ся ряд рас­смат­ри­ва­ет­ся в не­ко­то­ром смыс­ле как пре­дел не­ко­то­ро­го схо­дя­ще­го­ся ря­да, а имен­но, ка­ж­дый член ря­да $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \tag{1}$$ ум­но­жа­ет­ся на мно­жи­тель $λ_n(t)$ так, что­бы по­сле ум­но­же­ния по­лу­чил­ся сходя­щий­ся ряд $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n λ_n(t) \tag{2}$$ с сум­мой $σ(t)$. При этом мно­жи­те­ли $λ_n(t)$ вы­би­ра­ют­ся так, что­бы при ка­ж­дом фик­си­ро­ван­ном $n$ пре­дел $λ_n(t)$ при не­ко­то­ром не­пре­рыв­ном или дис­крет­ном из­ме­не­нии па­ра­мет­ра $t$ рав­нял­ся 1. То­гда чле­ны ря­да (2) стре­мят­ся к со­от­вет­ст­вую­щим чле­нам ря­да (1). Ес­ли при этом $σ(t)$ име­ет пре­дел, то этот пре­дел на­зы­ва­ет­ся обоб­щён­ной сум­мой ря­да (1), со­от­вет­ст­вую­щей дан­но­му вы­бо­ру мно­жи­те­лей $λ_n(t)$ (или дан­но­му ме­то­ду сум­ми­ро­ва­ния).

Напр., ес­ли по­ло­жить $λ_n=1$ при $n ⩽ t$ и $λ_n(t)=0$ при $n > t$ и $t→∞$, то по­лу­чит­ся обыч­ное оп­ре­де­ле­ние сум­мы ря­да; при $λ_n(t)=t^n$, $0 < t < 1$, и $t→1$ по­лу­ча­ет­ся ме­тод сум­ми­ро­ва­ния Абе­ля – Пу­ас­со­на. Час­то за­да­ёт­ся не ре­зуль­тат ум­но­же­ния чле­нов ря­да (1) на $λ_n(t)$, а со­от­вет­ст­вен­ное из­ме­не­ние час­тич­ных сумм ря­да. Напр., в ме­то­де сум­ми­ро­ва­ния Че­за­ро сред­них ариф­ме­ти­че­ских по­ла­га­ют $$S=\lim_{m→∞}σ_m,$$где $$σ_m=\frac{S_0+...+S_m}{m+1},\\S_k=a_0+...+a_k.$$ Этот ме­тод со­от­вет­ст­ву­ет вы­бо­ру $λ_n(m)=(m-n+1)/(m+1)$ при $n ⩽ m$ и $λ_n(m)=0$ при $m > n$. Ес­ли по­ло­жить $$A_n^0=S_n,\,A_n^k=A_0^{k-1}+...+A_n^{k-1},\\ E_n^0=1,\,E_n^k=E_0^{k-1}+...+E_0^{k-1},$$ то в слу­чае, ко­гда су­ще­ст­ву­ет $$\lim_{n→∞} A_n^k/E_n^k=1,$$ го­во­рят, что ряд (1) сум­ми­ру­ет­ся к $A$ ме­то­дом Че­за­ро $k$-го по­ряд­ка. Рас­смат­ри­ва­ют­ся и ме­то­ды Че­за­ро дроб­ных по­ряд­ков. С рос­том $k$ воз­рас­та­ют воз­мож­но­сти ме­то­да Че­за­ро, т. е. рас­ши­ря­ет­ся мно­же­ст­во ря­дов, сум­ми­руе­мых этим ме­то­дом. Вся­кий ряд, сум­ми­руе­мый ме­то­дом Че­за­ро ка­ко­го-ли­бо по­ряд­ка, сум­ми­ру­ет­ся и ме­то­дом Абе­ля – Пу­ас­со­на и притом к той же сум­ме.

Ме­то­ды сум­ми­ро­ва­ния Че­за­ро и Абе­ля – Пу­ас­со­на при­ме­ня­ют­ся в тео­рии три­го­но­мет­рич. ря­дов для на­хо­ж­де­ния функ­ции по её ря­ду Фу­рье, т. к. ряд Фу­рье лю­бой не­пре­рыв­ной функ­ции сум­ми­ру­ет­ся к ней ме­то­дом Че­за­ро 1-го по­ряд­ка, а тем са­мым и ме­то­дом Абе­ля – Пу­ас­со­на. Г. Ф. Во­ро­ной пред­ло­жил ме­тод С. р., ча­ст­ны­ми слу­чая­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все ме­то­ды Че­за­ро: пусть $p_0=0$, $p_n ⩾ 0$, $n=1,2, ...$, $P_n=p_0+ ...+p_n$, то­гда обоб­щён­ной сум­мой ря­да (1), по Во­ро­но­му, на­зы­ва­ет­ся $$S=\lim_{m\rightarrow \infty} \frac{p_m S_0+...+p_0 S_m}{P_m}.$$ Ме­тод сум­ми­ро­ва­ния Во­ро­но­го ре­гу­ля­рен, ес­ли $lim_{n→∞} p_n/P_n=0$.

Тео­рия рас­хо­дя­щих­ся ин­те­гра­лов ана­ло­гич­на тео­рии рас­хо­дя­щих­ся ря­дов. Напр., ес­ли ин­те­грал$$\int_0^{\infty} f(x)dx$$рас­хо­дит­ся и су­ще­ст­ву­ет пре­дел$$\lim_{N\rightarrow\infty} \int_0^N \left( 1-\frac{x}{N}\right)^λ f(x)dx=A,$$то го­во­рят, что пер­вый ин­те­грал сум­ми­ру­ем к $A$ ме­то­дом Че­за­ро по­ряд­ка $λ$.

Лит.: Хар­ди Г. Рас­хо­дя­щие­ся ря­ды. 3-е изд. М., 2009.

Вернуться к началу