Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СТАТИСТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ СЛУЧА́ЙНЫХ ПРОЦЕ́ССОВ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 31. Москва, 2016, стр. 200

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. М. Яглом

СТАТИСТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ СЛУЧА́Й­НЫХ ПРОЦЕ́ССОВ, раз­дел ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки, по­свя­щён­ный ме­то­дам об­ра­бот­ки и ис­поль­зо­ва­ния ста­ти­стич. дан­ных, от­но­ся­щих­ся к слу­чай­ным про­цес­сам. Зна­че­ние $x(t)$ слу­чай­но­го про­цес­са $X(t)$, по­лу­чае­мое в хо­де од­но­го ис­пы­та­ния, на­зы­ва­ет­ся реа­ли­за­ци­ей (ина­че – вы­бо­роч­ной функ­ци­ей или тра­ек­то­ри­ей) про­цес­са $X(t)$. Дан­ные о $X(t)$, ис­поль­зуе­мые при ста­ти­стич. ана­ли­зе это­го про­цес­са, обыч­но пред­став­ля­ют со­бой све­де­ния о зна­че­ни­ях од­ной или не­сколь­ких реа­ли­за­ций $x(t)$ в те­че­ние оп­ре­де­лён­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни или же о зна­че­ни­ях к.-л. ве­ли­чин, свя­зан­ных с про­цес­сом $X(t)$ [напр., о зна­че­ни­ях реа­ли­за­ций про­цес­са $Y(t)$, яв­ляю­ще­го­ся сум­мой $X(t)$ и не­ко­то­ро­го шу­ма $N(t)$, соз­дан­но­го внеш­ни­ми по­ме­ха­ми].

Весь­ма важ­ным для при­ло­же­ний клас­сом за­дач С. а. с. п. яв­ля­ют­ся за­да­чи об­на­ру­же­ния сиг­на­ла на фо­не шу­ма, иг­раю­щие боль­шую роль в ра­дио­ло­ка­ции. С ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния эти за­да­чи сво­дят­ся к про­вер­ке ста­ти­стич. ги­по­тез: здесь по на­блю­дён­ным зна­че­ни­ям не­ко­то­рой функ­ции тре­бу­ет­ся за­клю­чить, спра­вед­ли­ва ли ги­по­те­за о том, что эта функ­ция – реа­ли­за­ция сум­мы шу­ма $N(t)$ и ин­те­ре­сую­ще­го на­блю­да­те­ля сиг­на­ла $X(t)$, или же спра­вед­ли­ва ги­по­те­за о том, что она – реа­ли­за­ция лишь шу­ма $N(t)$. В слу­ча­ях, ко­гда фор­ма сиг­на­ла $X(t)$ не яв­ля­ет­ся пол­но­стью из­вест­ной, за­да­чи об­на­ру­же­ния час­то вклю­чают в се­бя за­да­чи ста­ти­стич. оцен­ки не­из­вест­ных па­ра­мет­ров сиг­на­ла; так, напр., в за­да­чах ра­дио­ло­ка­ции очень важ­на за­да­ча об оцен­ке вре­ме­ни по­яв­ле­ния сиг­на­ла, оп­ре­де­ляю­ще­го рас­стоя­ние до объ­ек­та, по­ро­див­ше­го этот сиг­нал.

За­да­чи ста­ти­стич. оцен­ки па­ра­мет­ров воз­ни­ка­ют и то­гда, ко­гда по дан­ным на­блю­де­ний за зна­че­ния­ми про­цес­са $X(t)$ в те­че­ние оп­ре­де­лён­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни тре­бу­ет­ся оце­нить зна­че­ния к.-л. па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t)$ или же, напр., оце­нить зна­че­ние в мо­мент вре­ме­ни $t=t_1$ са­мо­го про­цес­са $X(t)$ в слу­чае, ко­гда $t_1$ ле­жит за пре­де­ла­ми ин­тер­ва­ла на­блю­де­ний за этим про­цес­сом.

Ряд за­дач С. а. с. п. от­но­сит­ся к за­дачам, свя­зан­ным с не­па­ра­мет­рич. ме­то­да­ми ста­ти­сти­ки; в ча­ст­но­сти, ко­гда по на­блю­де­ни­ям за те­че­ни­ем про­цес­са $X(t)$ тре­бу­ет­ся оце­нить не­ко­то­рые функ­ции, ха­рак­те­ри­зую­щие рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей зна­че­ний это­го про­цес­са [напр., плот­ность ве­ро­ят­но­сти ве­ли­чи­ны $X(t)$ или кор­ре­ля­ци­он­ную функ­цию $\mathsf{E}X(t)X(s)$ про­цес­са $X(t)$, или, в слу­чае ста­цио­нар­но­го слу­чай­но­го про­цес­са $X(t)$, его спек­траль­ную плот­ность $f(λ)$].

При ре­ше­нии за­дач С. а. с. п. все­гда не­об­хо­ди­мо ис­поль­зо­вать те или иные спец. пред­по­ло­же­ния о струк­ту­ре про­цес­са $X(t)$, т. е. ог­ра­ни­чить класс рас­смат­ри­вае­мых слу­чай­ных про­цес­сов. Ча­с­то пред­по­ла­га­ет­ся, что про­цесс $X(t)$ста­цио­нар­ный слу­чай­ный про­цесс, в этом слу­чае, зная зна­че­ние един­ст­вен­ной реа­ли­за­ции $x(t)$ на ко­неч­ном про­ме­жут­ке вре­ме­ни $0 ⩽ t ⩽ T$, мож­но по­лу­чить ряд ста­ти­стич. вы­во­дов о ве­ро­ят­но­ст­ных ха­рак­те­ри­сти­ках про­цес­са $X(t)$. В ча­ст­но­сти, сред­нее зна­че­ние$$\overline x_T=\frac{1}{T}\int_0^{T}x(t)dt$$в слу­чае ста­цио­нар­но­го слу­чай­но­го про­цес­са $X(t)$ яв­ля­ет­ся со­стоя­тель­ной оцен­кой ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $\mathsf{E}X(t)=m$; ана­ло­гич­но это­му вы­бо­роч­ная кор­ре­ля­ци­он­ная функ­ция$$B_T^*=\frac{1}{T-τ}\int_0^{T-τ}x(t)x(t+τ)dt,$$где $τ > 0$, при ши­ро­ких ус­ло­ви­ях яв­ля­ет­ся со­стоя­тель­ной оцен­кой кор­ре­ля­ци­он­ной функ­ции $\mathsf{E}X(t)X(t+τ)=B(τ)$. Од­на­ко пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье функ­ции $B_T^*$ – т. н. пе­рио­до­грам­ма $I_T(λ)$ про­цес­са $X(t)$, уже не да­ёт со­стоя­тель­ной оцен­ки спек­траль­ной плот­но­сти $f(λ)$, яв­ляю­щей­ся пре­об­ра­зо­ва­ни­ем Фу­рье функ­ции $B(τ)$; при боль­ших зна­че­ни­ях $T$ пе­рио­до­грам­ма $I_T(λ)$ ве­дёт се­бя край­не не­ре­гу­ляр­но и при $T→∞$ она не стре­мит­ся ни к ка­ко­му пре­де­лу. По­это­му С. а. с. п. вклю­ча­ет в се­бя ряд спец. приё­мов по­строе­ния со­сто­ят. оце­нок спек­траль­ной плот­но­сти $f(λ)$ по на­блю­дён­ным зна­че­ниям од­ной реа­ли­за­ции ста­цио­нар­но­го про­цес­са $X(t)$, боль­шин­ст­во из ко­то­рых ос­но­ва­но на ис­поль­зо­ва­нии сгла­жи­ва­ния пе­рио­до­грам­мы.

См. так­же Слу­чай­ных про­цес­сов про­гно­зи­ро­ва­ние, Слу­чай­ных про­цес­сов филь­т­ра­ция.

Лит.: Лип­цер Р. Ш., Ши­ря­ев А. Н. Ста­ти­сти­ка слу­чай­ных про­цес­сов. М., 1974; Ан­дер­сон Т. Ста­ти­сти­че­ский ана­лиз вре­мен­ных ря­дов. М., 1976; Брил­линд­жер Д. Вре­мен­ные ря­ды. Об­ра­бот­ка дан­ных и тео­рия. М., 1980.

Вернуться к началу