Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ОЦЕ́НКА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 31. Москва, 2016, стр. 197

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. В. Прохоров

СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ОЦЕ́НКА, функ­ция от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний, пред­на­зна­чен­ная для оце­ни­ва­ния не­из­вест­ных па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей. Напр., ес­ли ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний $X_1$, $...$, $X_n$ – не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие од­но и то же нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с не­из­вест­ным ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $θ$, то вы­бо­роч­ное сред­нее – сред­нее ариф­ме­ти­че­ское ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний – $$\overline X = \frac{X_1+...+X_n}{n}$$и вы­бо­роч­ная ме­диа­на $μ_n=μ_n (X_1, ..., X_n)$ яв­ля­ют­ся С. о. не­из­вест­но­го па­ра­мет­ра $θ$. С. о., даю­щие чи­сло­вые при­бли­же­ния не­из­вест­но­го чис­ла, на­зы­ва­ют­ся то­чеч­ны­ми, толь­ко они и рас­смат­ри­ва­ют­ся в даль­ней­шем. О дру­гих С. о. см. в ст. До­ве­ри­тель­ный ин­тер­вал.

В ка­че­ст­ве С. о. к.-л. па­ра­мет­ра рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей ес­те­ст­вен­но вы­би­рать та­кую функ­цию $θ_n^*=θ_n^*(X_1, ..., X_n)$ от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний, ко­то­рая в не­ко­то­ром смыс­ле близ­ка к ис­тин­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра. При­ме­няя к.-л. ме­ру бли­зо­сти, мож­но срав­ни­вать раз­лич­ные С. о. Обыч­но ме­рой бли­зо­сти С. о. к ис­тин­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра слу­жит ве­ли­чи­на сред­не­го зна­че­ния квад­ра­та ошиб­ки $$\mathsf{E}_θ(θ_n^*-θ)^2=\mathsf{D}_θ θ_n^*+(θ-\mathsf{E}_θ θ_n^*)^2,$$вы­ра­жаю­щая­ся че­рез ма­те­ма­тич. ожи­да­ние оцен­ки $\mathsf{E}_θθ_n^*$ и её дис­пер­сию $\mathsf{D}_θθ_n^*$, вы­чис­лен­ные по рас­пре­де­ле­нию, за­ви­ся­ще­му от не­из­вест­но­го зна­че­ния $θ$. В клас­се всех не­сме­щён­ных оце­нок наи­луч­ши­ми с этой точ­ки зре­ния бу­дут С. о., имею­щие при за­дан­ном $n$ ми­ни­маль­ную воз­мож­ную дис­пер­сию при всех $θ$, та­кие С. о. на­зы­ва­ют­ся эф­фек­тив­ны­ми. Ука­зан­ная вы­ше С. о. $\overline X_n$ для па­ра­мет­ра $θ$ нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния яв­ля­ет­ся наи­луч­шей не­сме­щён­ной оцен­кой, по­сколь­ку дис­пер­сия лю­бой дру­гой не­сме­щён­ной оцен­ки бу­дет боль­ше $\mathsf{D}_θ \overline X_n=σ^2/n$, где $σ^2$ – дис­пер­сия ис­ход­но­го нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния (см. так­же Рао – Кра­ме­ра не­ра­вен­ст­во). В кон­крет­ных слу­ча­ях оты­ска­ние наи­луч­ших оце­нок об­лег­ча­ет­ся с по­мо­щью дос­та­точ­ных ста­ти­стик, т. к. наи­луч­шую не­сме­щён­ную оцен­ку нуж­но ис­кать в клас­се С. о., за­ви­ся­щих толь­ко от дос­та­точ­ных ста­ти­стик.

Имея в ви­ду по­строе­ние С. о. для боль­ших зна­че­ний $n$, изу­ча­ют так­же асим­пто­тич. свой­ст­ва оце­нок. Ес­те­ст­вен­но, напр., пред­по­ла­гать, что ве­ро­ят­ность от­кло­не­ний $θ_n^*$ от ис­тин­но­го зна­че­ния па­ра­мет­ра $θ$, пре­вос­хо­дя­щих лю­бое на­пе­рёд за­дан­ное чис­ло, бу­дет стре­мить­ся к ну­лю при $n→∞$. С. о. с та­ким свой­ст­вом на­зы­ва­ют­ся со­стоя­тель­ны­ми оцен­ка­ми. Не­сме­щён­ная С. о., дис­пер­сия ко­то­рой стре­мит­ся к ну­лю при $n→∞$, яв­ля­ет­ся со­стоя­тель­ной. Асим­пто­тич. срав­не­ние С. о. про­из­во­дят по от­но­ше­нию их асим­пто­тич. дис­пер­сий. Так, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское $\overline X_n$ в при­ве­дён­ном вы­ше при­ме­ре – наи­луч­шая и, сле­до­ва­тель­но, асим­пто­ти­че­ски наи­луч­шая С. о. для па­ра­мет­ра $θ$, то­гда как вы­бо­роч­ная ме­диа­на $μ_n$, яв­ляю­щая­ся так­же не­сме­щён­ной оцен­кой, не яв­ля­ет­ся асим­пто­ти­че­ски наи­луч­шей, т. к. пре­дел от­но­ше­ния $\mathsf{D}_θ \overline X_n$ к $\mathsf{D}_θμ_n$ при $n→∞$ ра­вен $2/π < 1$. Тем не ме­нее ис­поль­зо­ва­ние $μ_n$ име­ет свои по­ло­жи­тель­ные сто­ро­ны; напр., ес­ли ис­тин­ное рас­пре­де­ле­ние не яв­ля­ет­ся в точ­но­сти нор­маль­ным и при этом для не­го по-преж­не­му ма­те­ма­тич. ожи­да­ние сов­па­да­ет с ме­диа­ной, то дис­пер­сия $\overline X_n$ мо­жет силь­но воз­рас­ти, а дис­пер­сия $μ_n$ ос­та­нет­ся поч­ти той же, т. е. $μ_n$ об­ла­да­ет свой­ст­вом, на­зы­вае­мым ро­ба­ст­но­стью.

Один из рас­про­стра­нён­ных об­щих ме­то­дов по­лу­че­ния С. о. па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния – мак­си­маль­но­го прав­до­по­до­бия ме­тод.

См. так­же Не­па­ра­мет­ри­че­ские ме­то­ды ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки.

Лит.: Кен­далл М., Стьюарт А. Ста­ти­сти­че­ские вы­во­ды и свя­зи. М., 1973; Кра­мер Г. Ма­те­ма­ти­че­ские ме­то­ды ста­ти­сти­ки. 2-е изд. М., 1975.

Вернуться к началу