Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СВЁРТКА ФУ́НКЦИЙ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 29. Москва, 2015, стр. 526

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




СВЁРТКА ФУ́НКЦИЙ $f$ и $g$, но­вая функ­ция $$h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) dy.$$ Опе­ра­ция над функ­ция­ми, за­да­вае­мая этим ин­те­гра­лом, так­же на­зы­ва­ет­ся свёрт­кой и обо­зна­ча­ет­ся $f*g$. Ес­ли $f$ и $g$ – плот­но­сти рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$, то $h$ яв­ля­ет­ся плот­но­стью рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей сум­мы $X+Y$. С. ф. рас­пре­де­ле­ния $F$ и $G$ на­зы­ва­ет­ся функ­ция $$H(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(x-y) dG(y),\tag{*}$$ где ин­те­грал по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Стил­ть­е­са. Опе­ра­ция, за­да­вае­мая этим ин­те­гра­лом, обо­зна­ча­ет­ся $F*G$ и так­же на­зы­ва­ет­ся свёрт­кой. Ес­ли $F$ и $G$ – функ­ции рас­пре­де­ле­ния не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$, то $H(x)=(F*G)(x)$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния сум­мы $X+Y$. Ес­ли $Y$ при­ни­ма­ет толь­ко зна­че­ния $y_1, y_2, ...$ с ве­ро­ят­но­стя­ми $q_1, q_2, ...,$ то ин­те­грал в (*) сво­дит­ся к сум­ме $$H(x) = \sum_{k \geqslant 1} q_k F(x-y_k).$$ и Опе­ра­ции свёрт­ки ком­му­та­тив­ны и ас­со­циа­тив­ны, по­это­му ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся, напр., мно­го­крат­ная свёрт­ка $F^{*n}$ оди­на­ко­вых функ­ций рас­пре­де­ле­ния $F$, ко­то­рая яв­ля­ет­ся функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния сум­мы $X_1+...+X_n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин с об­щей функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $F$, и спра­вед­ли­во, напр., ра­вен­ст­во $$F^{*n} - G^{*n} = \sum_{j=0}^{n-1} F^{*(n-j-1)} * G^{*j} * (F-G),$$ ко­то­рое яв­ля­ет­ся ана­ло­гом со­от­вет­ст­вую­ще­го ра­вен­ст­ва для сте­пе­ней чи­сел.

Вы­чис­ле­ния свёр­ток, осо­бен­но мно­го­крат­ных, свя­за­ны с очень боль­ши­ми труд­но­стя­ми, ко­то­рые де­ла­ют эти вы­чис­ле­ния прак­ти­че­ски не­воз­мож­ны­ми. По­это­му для изу­че­ния рас­пре­де­ле­ний сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин обыч­но ис­поль­зу­ют­ся об­ход­ные пу­ти, на ко­то­рых свёрт­ки не вы­чис­ля­ют­ся. Один из та­ких пу­тей свя­зан с ис­поль­зо­ва­ни­ем ха­рак­те­ри­сти­че­ских функ­ций. С. ф. ино­гда на­зы­ва­ют ком­по­зи­ци­ей.

Вернуться к началу