РИ́МАНОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 28. Москва, 2015, стр. 518-519

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: По материалам статьи А. Д. Александрова и Ю. Ф. Борисоваиз БСЭ-3

РИ́МАНОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ, мно­го­мер­ное обоб­ще­ние гео­мет­рии на по­верх­но­сти, пред­став­ляю­щее со­бой тео­рию ри­ма­но­вых про­странств, т. е. та­ких про­странств, где в ма­лых об­лас­тях при­бли­жён­но име­ет ме­сто евк­ли­до­ва гео­мет­рия (с точ­но­стью до ма­лых выс­ше­го по­ряд­ка по срав­не­нию с раз­ме­ром об­лас­ти). Р. г. по­лу­чи­ла своё назв. по име­ни Б. Ри­ма­на, за­ло­жив­ше­го её ос­но­вы в 1854.

Понятие о римановой геометрии

Про­стей­ший при­мер ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва да­ёт лю­бая глад­кая по­верх­ность. Дей­ст­ви­тель­но, в дос­та­точ­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти лю­бой точ­ки она сов­па­да­ет (с точ­но­стью до ве­ли­чин выс­ше­го по­ряд­ка ма­ло­сти) с ка­са­тель­ной плос­ко­стью в этой точ­ке, по­это­му в та­кой ок­ре­ст­но­сти со­от­но­ше­ния длин на по­верх­но­сти бу­дут та­ки­ми же, как на плос­ко­сти (с точ­но­стью до ма­лых выс­ших по­ряд­ков). Т. о., в ма­лых об­лас­тях по­верх­но­сти име­ет ме­сто (с точ­но­стью до ма­лых выс­ших по­ряд­ков) евк­ли­до­ва гео­мет­рия. Напр., при из­ме­ре­ни­ях на уча­ст­ках зем­ной по­верх­но­сти, ма­лых по срав­не­нию с раз­ме­ра­ми зем­но­го ша­ра, мож­но с ус­пе­хом при­ме­нять обыч­ную пла­ни­мет­рию, од­на­ко ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний на боль­ших уча­ст­ках об­на­ру­жи­ва­ют су­ще­ст­вен­ное от­кло­не­ние от за­ко­нов пла­ни­мет­рии. То есть по­верх­ность, рас­смат­ри­вае­мая с точ­ки зре­ния из­ме­ре­ний, про­во­ди­мых на ней, ока­зы­ва­ет­ся дву­мер­ным про­стран­ст­вом, внут­рен­няя гео­мет­рия ко­то­ро­го, бу­ду­чи евк­ли­до­вой в бес­ко­неч­но ма­лом, в це­лом не яв­ля­ет­ся евк­ли­до­вой; к то­му же, как пра­ви­ло, та­кое про­стран­ст­во не­од­но­род­но по сво­им гео­мет­рич. свой­ст­вам. Внутренняя гео­мет­рия по­верх­но­сти есть не что иное, как Р. г. в слу­чае двух из­ме­ре­ний, а по­верх­ность, рас­смат­ри­вае­мая с точ­ки зре­ния её внутренней гео­мет­рии, есть дву­мер­ное ри­ма­но­во про­стран­ст­во.

Пе­ре­не­се­ние этих по­ня­тий на мно­го­мер­ные про­стран­ст­ва при­во­дит к об­щей Р. г. Имен­но, рас­смат­ри­ва­ет­ся аб­ст­ракт­ное про­стран­ст­во $n$ из­ме­ре­ний, в ко­то­ром за­да­ёт­ся за­кон из­ме­ре­ния рас­стоя­ний, сов­па­даю­щий вбли­зи ка­ж­дой точ­ки с обыч­ным евк­ли­до­вым с точ­но­стью до бес­ко­неч­но ма­лых выс­ших по­ряд­ков. В ос­но­ве Р. г. ле­жат три идеи. Пер­вая из них – при­зна­ние то­го, что во­об­ще воз­мож­на гео­мет­рия, от­лич­ная от евк­ли­до­вой, бы­ла впер­вые раз­ви­та Н. И. Ло­ба­чев­ским. Вто­рая – иду­щие от К. Га­ус­са по­ня­тие внутренней гео­мет­рии по­верх­но­стей и её ана­ли­тич. ап­па­рат в ви­де квад­ра­тич­ной фор­мы, оп­ре­де­ляю­щей ли­ней­ный эле­мент по­верх­но­сти. Тре­тья идея – по­ня­тие о $n$-мер­ном про­стран­ст­ве, вы­дви­ну­тое и раз­ра­бо­тан­ное в про­стей­ших слу­ча­ях ря­дом гео­мет­ров в 1-й пол. 19 в. Б. Ри­ман, со­еди­нив и обоб­щив эти идеи, ввёл, во-пер­вых, об­щее по­ня­тие о про­стран­ст­ве как о не­пре­рыв­ной со­во­куп­но­сти лю­бо­го ро­да од­но­тип­ных объ­ек­тов, ко­то­рые яв­ля­ют­ся точ­ка­ми это­го про­стран­ст­ва. Во-вто­рых, он пе­ре­нёс на эти аб­ст­ракт­ные про­стран­ст­ва пред­став­ле­ние об из­ме­ре­нии длин бес­ко­неч­но ма­лы­ми ша­га­ми, т. е. дал об­щее пред­став­ле­ние о мет­ри­ке, оп­ре­де­ляе­мой фор­му­лой$$ds=f(x^1, ..., x^n; dx^1, ..., dx^n).$$Ри­ман ис­сле­до­вал мет­ри­ку, за­да­вае­мую фор­му­лой (2) (см. ни­же), чем и по­ло­жил на­ча­ло Р. г.; кро­ме то­го, он на­ме­тил воз­мож­ные свя­зи Р. г. со свой­ст­ва­ми ре­аль­но­го про­стран­ст­ва. Та­ко­во крат­кое со­дер­жа­ние его лек­ции «О ги­по­те­зах, ле­жа­щих в ос­но­ва­нии гео­мет­рии», про­чи­тан­ной в 1854 и опуб­ли­ко­ван­ной лишь по­сле его смер­ти, в 1868. По­ми­мо это­го, Ри­ман в др. ра­бо­те дал при­ло­же­ние ана­ли­тич. ап­па­ра­та сво­ей тео­рии к за­да­че о рас­про­стра­не­нии те­п­ла в ани­зо­троп­ном те­ле. Эта ра­бо­та так­же из­да­на лишь по­сле его смер­ти, в 1869. Сле­ду­ет от­ме­тить, что Р. г. воз­ник­ла и раз­ви­ва­лась в ра­бо­тах Ри­ма­на в свя­зи с фи­зи­кой. По­сле пуб­ли­ка­ции ри­ма­нов­ских ра­бот его идеи при­влек­ли вни­ма­ние ря­да ма­те­ма­ти­ков, ко­то­рые раз­ви­ва­ли даль­ше ана­ли­тич. ап­па­рат Р. г. и ус­та­нав­ли­ва­ли в ней но­вые тео­ре­мы гео­мет­рич. ха­рак­те­ра. Да­ны так­же при­ме­не­ния Р. г., напр., в ме­ха­ни­ке. Важ­ным ша­гом бы­ло соз­да­ние итал. ма­те­ма­ти­ка­ми Г. Рич­чи-Ку­ба­ст­ро и Т. Ле­ви-Чи­ви­той на ру­бе­же 20 в. тен­зор­но­го ис­чис­ле­ния, ко­то­рое ока­за­лось наи­бо­лее под­хо­дя­щим ана­ли­тич. ап­па­ра­том для раз­ра­бот­ки Р. г. Ре­шаю­щее же зна­че­ние име­ло при­ме­не­ние Р. г. в соз­да­нии об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти, ко­то­рая бы­ла три­ум­фом не толь­ко аб­ст­ракт­ной гео­мет­рии и её ана­ли­тич. ап­па­ра­та, но и идей о свя­зи гео­мет­рии и фи­зи­ки, вы­дви­ну­тых Н. И. Ло­ба­чев­ским и Б. Ри­ма­ном. Это при­ве­ло к бур­но­му раз­ви­тию Р. г. и её раз­но­об­раз­ных обоб­ще­ний. Ны­не Р. г. вме­сте с её об­об­ще­ния­ми яв­ля­ет­ся об­шир­ной об­ла­стью гео­мет­рии, ко­то­рая про­дол­жа­ет ус­пеш­но раз­ви­вать­ся в разл. на­прав­ле­ни­ях.

Определение риманова пространства

К стро­го­му оп­ре­де­ле­нию ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва мож­но по­дой­ти сле­дую­щим об­ра­зом. По­ло­же­ние точ­ки про­стран­ст­ва $n$ из­ме­ре­ний оп­ре­де­ля­ет­ся $n$ ко­ор­ди­на­та­ми $x^1, ..., x^n$. Евк­ли­до­во $n$-мер­ное про­стран­ст­во ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что в нём оп­ре­де­ле­но рас­стоя­ние ме­ж­ду лю­бы­ми дву­мя точ­ка­ми X, Y, при­чём в над­ле­жа­ще вы­бран­ных ко­ор­ди­на­тах оно вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой$$s(X, Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(Δx^i)^2}$$где $Δx^i$ – раз­но­сти ко­ор­ди­нат то­чек $X$, $Y$. Со­от­вет­ст­вен­но ри­ма­но­во про­стран­ст­во ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что в нём в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки $A$ мо­гут быть вве­де­ны ко­ор­ди­на­ты $x^1, ..., x^n$ так, что рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $X$, $Y$, близ­ки­ми к $A$, вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой$$s(X, Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(Δx^i)^2}+ε,\tag{1}$$где $ε$ та­ко­во, что $\frac{ε}{s(X,Y))}\rightarrow 0$, ко­гда точки $X$, $Y$ при­бли­жа­ют­ся к $A$. От­сю­да сле­ду­ет, что в про­из­воль­ных ко­ор­ди­натах рас­стоя­ние ме­ж­ду близ­ки­ми точ­ка­ми с ко­ор­ди­на­та­ми $(x^i)$ и $(x^i+dx^i)$, или, что то же са­мое, диф­фе­рен­ци­ал дли­ны ду­ги кри­вой, за­да­ёт­ся фор­му­лой$$ds=\sqrt{\sum_{i,j}g_{ij}dx^i dx^i},\tag{2}$$где ко­эф­фи­ци­ен­ты $g_{ij}=g_{ij}(x^1, ..., x^n)$ суть функ­ции ко­ор­ди­нат [в спец. ко­орди­на­тах $ds=\sqrt{\sum_i (dx^i)^2}$, а при пе­ре­ходе к про­из­воль­ным ко­ор­ди­на­там сум­ма $\sum_i (dx^i)^2$ пре­вра­ща­ет­ся в по­ло­жи­тельную квад­ра­тич­ную фор­му об­ще­го ви­да]. Об­рат­но, пусть в ка­ж­дой точ­ке $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва за­да­на по­ло­жи­тель­ная квад­ра­тич­ная фор­ма$$\sum_{i,j} g_{ij}dx^i gx^j.\tag{3}$$Ес­ли оп­ре­де­лить дли­ну кри­вой как ин­те­грал от $$\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}dx^i gx^j}$$вдоль этой кри­вой и рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $X$, $Y$ как ми­ни­мум (точ­ную ниж­нюю грань) длин кри­вых, со­еди­няю­щих эти точ­ки, то про­стран­ст­во ока­жет­ся ри­ма­но­вым в смыс­ле дан­но­го вы­ше оп­ре­де­ле­ния. Го­во­рят, что фор­ма (3) за­да­ёт мет­ри­ку (за­кон из­ме­ре­ния рас­стоя­ний) ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва; вы­ра­же­ние (2) на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным эле­мен­том $ds$ про­стран­ст­ва. Оп­ре­де­ле­ние дли­ны как ин­те­гра­ла от $ds$ со­от­вет­ст­ву­ет из­ме­ре­нию длин «бес­ко­неч­но ма­лы­ми ша­га­ми» (как это от­ме­чал ещё Б. Ри­ман). Т. о., ри­ма­но­во про­стран­ст­во мож­но ана­ли­ти­че­ски оп­ре­де­лить как та­кое, в ко­то­ром в ка­ж­дой точ­ке за­да­на квад­ра­тич­ная фор­ма (3). Воз­мож­ность пре­об­ра­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат при­во­дит к то­му, что од­но и то же ри­ма­но­во про­стран­ст­во в раз­ных ко­ор­ди­на­тах име­ет раз­ные вы­ра­же­ния этой мет­рич. фор­мы, од­на­ко её ве­ли­чи­на (вслед­ст­вие сво­его гео­мет­рич. смыс­ла квад­ра­та эле­мен­та дли­ны ду­ги) при пре­об­ра­зо­ва­нии ко­ор­ди­нат от $x^i$ к $\tilde x^i$ ос­та­ёт­ся не­из­мен­ной:$$\sum_{i,j} g_{ij}dx^i gx^j= \sum_{i,j} \tilde g_{ij}d\tilde x^i g\tilde x^j.$$Так как за­да­ние квад­ра­тич­ной фор­мы рав­но­силь­но за­да­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов $g_{ij}$ с ука­за­ни­ем за­ко­на их пре­об­ра­зо­ва­ния, то ри­ма­но­во про­стран­ст­во мож­но оп­ре­де­лить как по­ле два­ж­ды ко­ва­ри­ант­но­го сим­мет­рич­но­го ($g_{ij}=g_{ji}$) тен­зо­ра $g_{ij}$; его на­зы­ва­ют мет­рич. тен­зо­ром. Ес­ли при этом до­пус­тить, что фор­ма (3) мо­жет при­ни­мать и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния, то по­лу­ча­ет­ся обоб­ще­ние Р. г., при­ме­няе­мое в тео­рии от­но­си­тель­но­сти.

Про­стей­ший слу­чай ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва пред­став­ля­ет евк­ли­до­во про­стран­ст­во, к не­му при­мы­ка­ют два дру­гих ти­па ри­ма­но­вых про­странств, в ко­то­рых воз­мож­но дви­же­ние фи­гур с та­кой же сво­бо­дой, как в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве, при этом под дви­же­ни­ем по­ни­ма­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ние, не ме­няю­щее рас­стоя­ний ме­ж­ду точ­ка­ми. Гео­мет­рии этих про­странств – Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия и Ри­ма­на гео­мет­рия (не сме­ши­вать с об­щей ри­ма­но­вой гео­мет­ри­ей, см. Не­евк­ли­до­вы гео­мет­рии). Эти не­евк­ли­до­вы гео­мет­рии суть ча­ст­ные слу­чаи Р. г., свя­зан­ные, вме­сте с евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей, со слу­ча­ем наи­боль­шей воз­мож­ной од­но­род­но­сти ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва.

Некоторые понятия римановой геометрии

Ка­са­тель­ное евк­ли­до­во про­стран­ст­во. По оп­ре­де­ле­нию ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва, мет­ри­ка ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки сов­па­да­ет (с точ­но­стью до бес­ко­неч­но ма­лых по­ряд­ка вы­ше 1-го) с евк­ли­до­вой мет­ри­кой. Это по­зво­ля­ет со­пос­та­вить ка­ж­дой точ­ке $A$ дан­но­го ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва $R$ т. н. ка­са­тель­ное евк­ли­до­во про­стран­ст­во $E_A$, в ко­то­рое ото­бра­жа­ет­ся ок­ре­ст­ность $U$ точ­ки $A$ так, что от­но­си­тель­ное ис­ка­же­ние рас­стоя­ний стре­мит­ся к ну­лю при при­бли­же­нии к точ­ке $A$. Ана­ли­ти­че­ски это сво­дит­ся к сле­дую­ще­му: вбли­зи не­ко­то­рой точ­ки $A_0$ про­стран­ст­ва $E_A$ вво­дят­ся ко­ор­ди­на­ты так, что в них квад­рат ли­ней­но­го эле­мен­та $ds_0^2$ евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва $E_A$ вы­ра­жа­ет­ся та­кой же фор­мой $\sum_{i,j} g_{i,j}(A)dx^i dx^j$, ка­кой вы­ража­ет­ся квад­рат ли­ней­но­го эле­мен­та ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва $R$ в точ­ке $A$. Зна­че­ние по­ня­тия ка­са­тель­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва со­сто­ит в том, что, по­сколь­ку мож­но пре­неб­речь ма­лы­ми по­ряд­ка вы­ше 1-го, ок­ре­ст­ность точ­ки в ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве мож­но за­ме­нять об­ла­стью ка­са­тель­но­го про­стран­ст­ва.

Дли­на ду­ги $S$ кри­вой $x^i=x^i(t)$, $i=1, ..., n$, $t_1⩽t⩽t_2$, в ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве $R$ оп­ре­де­ля­ет­ся как ин­те­грал$$S=\int ds =\int\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j}=\\=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}dt$$вдоль этой кри­вой. Ес­ли лю­бые две точ­ки про­стран­ст­ва $R$ со­еди­ни­мы кри­вой, то $R$ ста­но­вит­ся мет­рич. про­стран­ст­вом, рас­стоя­ние $ρ(X,Y)$ ме­ж­ду дву­мя точ­ками оп­ре­де­ля­ет­ся как точ­ная ниж­няя грань длин кри­вых, со­еди­няю­щих эти точ­ки, и на­зы­ва­ет­ся внут­рен­ней мет­ри­кой ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва $R$.

Угол ме­ж­ду дву­мя ис­хо­дя­щи­ми из од­ной точ­ки $A$ кри­вы­ми оп­ре­де­ля­ет­ся как угол ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми век­то­ра­ми к кри­вым в точ­ке $A$. Объ­ём $n$-мер­ной об­лас­ти $G$ ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва оп­ре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле$$V=\int {\dots\atop _G} \int\sqrt{g}dx^1\dots dx^n,$$где$$g = \left| \begin{matrix} g_{11} & \cdots & g_{1n} \\ \cdots & \cdots &\cdots \\ g_{n1} & \cdots & g_{nn} \end{matrix}\right|.$$

Ли­нии, ко­то­рые на дос­та­точ­но ма­лых уча­ст­ках яв­ля­ют­ся крат­чай­ши­ми из всех кри­вых с те­ми же кон­ца­ми, на­зы­ва­ют­ся гео­де­зи­че­ски­ми, они иг­ра­ют роль пря­мых в ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве $R$. Они яв­ля­ют­ся экс­тре­ма­ля­ми функ­цио­на­ла $$T=\int\sqrt{\sum_{i,j}g_{ij}dx^i dx^j}.$$Че­рез ка­ж­дую точ­ку ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва в лю­бом на­прав­ле­нии про­хо­дит гео­де­зи­че­ская, и при­том един­ст­вен­ная.

Приложения и обобщения римановой геометрии

Так как ри­ма­но­во про­стран­ст­во мож­но оп­ре­де­лить как по­ле два­ж­ды ко­ва­ри­ант­но­го сим­мет­рич­но­го тен­зо­ра, то вся­кую фи­зич. за­да­чу, сво­дя­щую­ся к изу­че­нию та­ко­го тен­зор­но­го по­ля, мож­но фор­му­ли­ро­вать как за­да­чу Р. г. В ча­ст­но­сти, к тен­зор­ным по­лям та­ко­го ти­па от­но­сят­ся разл. фи­зич. ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зую­щие уп­ру­гие, оп­ти­че­ские, тер­мо­ди­на­ми­че­ские, ди­элек­три­че­ские, пье­зо­маг­нит­ные и др. свой­ст­ва ани­зо­троп­ных тел. Так, за­да­ча о те­п­ло­про­вод­но­сти ани­зо­троп­но­го те­ла, ре­шён­ная Б. Ри­ма­ном (1861), яви­лась пер­вым при­ло­же­ни­ем ри­ма­но­вой гео­мет­рии.

Раз­ви­тие Р. г. в свя­зи с об­щей тео­ри­ей от­но­си­тель­но­сти и ме­ха­ни­кой сплош­ных сред по­ро­ди­ло разл. обоб­ще­ния её пред­ме­та, важ­ней­ши­ми из ко­то­рых яв­ля­ют­ся т. н. псев­до­ри­ма­но­вы про­стран­ст­ва. Та­ко­во, напр., со­глас­но тео­рии тя­го­те­ния, мно­го­об­ра­зие со­бы­тий (мно­го­об­ра­зие про­стран­ст­ва-вре­ме­ни) – че­ты­рёх­мер­ное про­стран­ст­во с за­дан­ной на нём зна­ко­не­оп­ре­де­лён­ной не­вы­ро­ж­ден­ной квад­ра­тич­ной фор­мой $$dσ^2=\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j.$$Эта фор­ма в ка­ж­дой точ­ке про­стран­ст­ва со­бы­тий мо­жет быть при­ве­де­на к ви­ду$$dσ^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2,$$ где $x$, $y$, $z$ – про­стран­ст­вен­ные ко­ор­ди­на­ты, $t$ – вре­мя. Один из дру­гих пу­тей обоб­ще­ния Р. г. свя­зан с рас­смот­ре­ни­ем бо­лее об­щих за­ко­нов оп­ре­де­ле­ния рас­стоя­ний, за­да­вае­мых в ви­де ли­ней­но­го эле­мен­та $ds$.

Лит.: Ри­ман Б. Соч. М.; Л., 1948; Схо­утен Я. А. Тен­зор­ный ана­лиз для фи­зи­ков. М., 1965; Гро­мол Д., Клин­ген­берг В., Мей­ер В. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия в це­лом. М., 1971; Ра­шев­ский П. К. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия и тен­зор­ный ана­лиз. 8-е изд. М., 2014. Ч. 1–2.

Вернуться к началу