Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ВЕРОЯ́ТНОСТЕЙ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 28. Москва, 2015, стр. 232-233

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ВЕРОЯ́ТНОСТЕЙ, од­но из ос­нов­ных по­ня­тий тео­рии ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки; за­да­ние Р. в. рав­но­силь­но за­да­нию ве­ро­ят­но­стей всех слу­чай­ных со­бы­тий, ко­то­рые мо­гут про­изой­ти в дан­ном слу­чай­ном яв­ле­нии.

Р. в. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, воз­мож­ные зна­че­ния $$x_1,x_2,...,x_n,...$$ ко­то­рой об­ра­зу­ют ко­неч­ную или бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность, за­да­ёт­ся ука­за­ни­ем этих зна­че­ний и со­от­вет­ст­вую­щих им ве­ро­ят­но­стей $\sf P \it \{X=xn\}$: $$p_1,p_2,...,p_n,...$$ ($p_n$ по­ло­жи­тель­ны и в сум­ме да­ют еди­ни­цу). Р. в. ука­зан­но­го ти­па на­зы­ва­ют­ся дис­крет­ны­ми, их при­ме­ра­ми яв­ля­ют­ся би­но­ми­аль­ное рас­пре­де­ле­ние и Пу­ас­со­на рас­пре­де­ле­ние.

Во мно­гих слу­ча­ях за­да­ние Р. в. ука­за­ни­ем воз­мож­ных зна­че­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны и со­от­вет­ст­вую­щих им ве­ро­ят­но­стей не­воз­мож­но. Напр., ес­ли слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ мо­жет при­ни­мать лю­бое зна­че­ние из от­рез­ка $[0,1]$, то Р. в. за­да­ёт­ся ука­за­ни­ем то­го, с ка­ки­ми ве­ро­ят­но­стя­ми $X$ мо­жет при­ни­мать зна­че­ния из лю­бо­го за­дан­но­го ин­тер­ва­ла, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку $[0,1]$, т. к. ве­ро­ят­ность ка­ж­до­го от­дель­но­го зна­че­ния мо­жет быть рав­на ну­лю. Ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кая функ­ция $p(x)$, что ве­ро­ят­ность по­па­да­ния $X$ в ин­тервал $(a,b)$ на пря­мой есть $$\sf P \it \{a\lt X \lt b\}=\int_a^b p(x)dx$$ для лю­бых $a\lt b$, при­чём $p(x)⩾0$ для всех $x$ и$$\int_{\infty}^{\infty} p(x)dx=1,$$ то Р. в. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ на­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­но не­пре­рыв­ным, а функ­ция $p(x)$ на­зы­ва­ет­ся плот­но­стью ве­ро­ят­но­сти. В слу­чае ко­гда слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ мо­жет при­ни­мать зна­че­ния толь­ко из от­рез­ка $[0,1]$ и все зна­че­ния из это­го от­рез­ка для неё рав­но­прав­ны, плот­ность ве­ро­ят­но­сти $p(x)=1$ для всех $x$ из $[0,1]$ и рав­на ну­лю в про­тив­ном слу­чае. Это Р. в. на­зы­ва­ет­ся рав­но­мер­ным рас­пре­де­ле­ни­ем. Важ­ней­шим аб­со­лют­но не­пре­рыв­ным Р. в. яв­ля­ет­ся нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние. Аб­со­лют­но не­пре­рыв­ны­ми яв­ля­ют­ся так­же Ко­ши рас­пре­де­ле­ние и по­ка­за­тель­ное рас­пре­де­ле­ние. Аб­со­лют­но не­пре­рыв­ные Р. в. ино­гда на­зы­ва­ют рас­пре­де­ле­ния­ми не­пре­рыв­но­го ти­па.

Р. в. слу­чай­ных ве­ли­чин не ис­чер­пы­ва­ют­ся рас­пре­де­ле­ния­ми дис­крет­но­го и не­пре­рыв­но­го ти­пов, они мо­гут быть и бо­лее слож­ной при­ро­ды. В об­щем слу­чае Р. в. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны мо­жет быть оп­ре­де­ле­но при по­мо­щи функ­ции рас­пре­де­ле­ния, ко­то­рая при ка­ж­дом дей­ст­ви­тель­ном $x$ оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$F(x)=\sf P\it \{X\lt x\}.$$Лю­бая функ­ция рас­пре­де­ле­ния не убы­ва­ет, $lim_{x→–∞}F(x)=0$, $lim_{x→∞}F(x)=1$ и не­пре­рыв­на сле­ва. Ино­гда в оп­ре­де­лении функ­ции рас­пре­де­ле­ния стро­гое не­ра­вен­ст­во $\lt$ за­ме­ня­ет­ся на не­стро­гое не­ра­вен­ст­во $⩽$, в этом слу­чае функ­ция рас­пре­де­ле­ния не­пре­рыв­на спра­ва.

Час­то пол­ное опи­са­ние Р. в. (напр., с по­мо­щью плот­но­сти или функ­ции рас­пре­де­ле­ния) за­ме­ня­ют за­да­ни­ем не­боль­шо­го чис­ла чи­сло­вых ха­рак­те­ри­стик, ко­то­рые ука­зы­ва­ют, как пра­ви­ло, наи­бо­лее ти­пич­ные (в том или ином смыс­ле) зна­че­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны и сте­пень рас­сея­ния зна­че­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны око­ло не­ко­то­ро­го ти­пич­но­го зна­че­ния. Из этих ха­рак­те­ри­стик наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ны ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние и ко­рень из дис­пер­сии, на­зы­вае­мый стан­дарт­ным от­кло­не­ни­ем.

Ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X$ и $Y$ свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $Y=f(X)$, где $f(x)$ – за­дан­ная функ­ция, то Р. в. $Y$ мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез Р. в. $X$; напр., ес­ли $Y=aX+b$, то при $a\gt 0$ функ­ции рас­пре­де­ле­ния $X$ и $Y$ свя­за­ны ра­вен­ст­вом$$F_Y(x)=F_X\left(\frac{x-b}{a}\right).$$

По­ми­мо функ­ций рас­пре­де­ле­ния, пол­ную ин­фор­ма­цию о Р. в. слу­чай­ных ве­ли­чин со­дер­жат про­из­во­дя­щие функ­ции (для слу­чай­ных ве­ли­чин, воз­мож­ные зна­че­ния ко­то­рых – це­лые не­от­ри­ца­тель­ные чис­ла) и ха­рак­те­ри­сти­че­ские функ­ции.

Ес­ли $X_1,...,X_n$ – нес­коль­ко слу­чай­ных ве­ли­чин, оп­ре­де­лён­ных на од­ном и том же ве­ро­ят­но­ст­ном про­стран­ст­ве, то го­во­рят о со­вме­ст­ном Р. в. этих ве­ли­чин или о Р. в. слу­чай­но­го век­то­ра $(X_1,...,X_n)$ – мно­го­мер­ном Р. в. Мно­го­мер­ное Р. в. за­да­ёт­ся на­бо­ром ве­ро­ят­но­стей ви­да $\sf P\it \{X_1=x_1,...,X_n=x_n\}$ (дис­крет­ный тип) или с по­мо­щью плот­но­сти $p(x_1,...,x_n)$ (не­пре­рыв­ный тип) или же в об­щем слу­чае со­вме­ст­ной функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $\sf P\it \{X_1\lt x_1,...,X_n\lt x_n\}$. Ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1,...,X_n$ не­за­ви­си­мы, то Р. в. $X=(X_1,...,X_n)$ оп­ре­де­ля­ет­ся Р. в. от­дель­ных слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1,...,X_n$. В про­тив­ном слу­чае при­хо­дит­ся рас­смат­ри­вать ус­лов­ные Р. в. од­них слу­чай­ных ве­ли­чин при фик­си­ро­ван­ных зна­че­ни­ях др. слу­чай­ных ве­ли­чин.

Осо­бое вни­ма­ние в тео­рии ве­ро­ят­но­стей уде­ля­ет­ся точ­ным и асим­пто­ти­че­ским Р. в. сумм слу­чай­ных ве­ли­чин. Напр., плот­ность рас­пре­де­ле­ния сум­мы двух не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ вы­чис­ля­ет­ся с по­мо­щью их плот­но­стей по фор­му­ле$$p_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(X)(x-y)p_Y(y)dy$$(фор­му­ла свёрт­ки). В слу­чае сум­мы не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1,...,X_n$ фор­му­ла свёрт­ки име­ет вид и$$p_{X_1+...+X_n}(x)=\\=\int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} p_{X_1} (x-y_1-...-y_n-1) p_{X_2}(y_1) ... p_{X_n} (y_{n-1})dy_1...dy_{n-1}$$прак­ти­че­ски не­при­год­на для вы­чис­ле­ний при боль­ших $n$. По­это­му воз­ни­ка­ет за­да­ча об асим­пто­ти­че­ских (при­бли­жён­ных, для боль­ших $n$) фор­му­лах для рас­пре­де­ле­ний сумм $X_1+...+X_n$, для ре­ше­ния ко­то­рой ис­поль­зу­ют­ся пре­дель­ные тео­ре­мы тео­рии ве­ро­ят­но­стей; см. так­же Му­ав­ра – Ла­п­ла­са тео­ре­ма, Пу­ас­со­на тео­ре­ма, Цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма.

Вернуться к началу