Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПРОЕКТИ́ВНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 27. Москва, 2015, стр. 562

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПРОЕКТИ́ВНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, вза­им­но од­но­знач­ное пре­об­ра­зо­ва­ние про­ек­тив­ной плос­ко­сти или про­ек­тив­но­го про­стран­ст­ва в се­бя, при ко­то­ром точ­ки, ле­жа­щие на пря­мой, пе­ре­хо­дят в точ­ки, так­же ле­жа­щие на пря­мой (по­это­му П. п. ино­гда на­зы­ва­ют кол­ли­неа­ци­ей). П. п. про­ек­тив­ной пря­мой на­зы­ва­ют вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние её в се­бя, при ко­то­ром со­хра­ня­ет­ся гар­мо­нич. рас­по­ло­же­ние то­чек этой пря­мой (см. Двой­ное от­но­ше­ние). Про­стей­шим и вме­сте с тем наи­бо­лее важ­ным для при­ло­же­ний при­ме­ром П. п. на плос­ко­сти яв­ля­ет­ся го­мо­ло­гия, при­ме­ром П. п. про­стран­ст­ва – цен­траль­ное про­ек­ти­ро­ва­ние (пер­спек­ти­ва). П. п. об­ра­зу­ют груп­пу, осн. ин­ва­ри­ан­том ко­то­рой яв­ля­ет­ся двой­ное от­но­ше­ние че­ты­рёх то­чек пря­мой.

Осн. тео­ре­ма о П. п. пря­мой ут­вер­жда­ет, что су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное П. п. пря­мой, пе­ре­во­дя­щее три её за­дан­ные точ­ки в лю­бые дру­гие три за­дан­ные точ­ки. Осн. тео­ре­ма о П. п. про­ек­тив­ной плос­ко­сти ут­вер­жда­ет, что ка­ко­вы бы ни бы­ли че­ты­ре точ­ки A, B, C, D плос­ко­сти, из ко­то­рых ни­ка­кие три не ле­жат на од­ной пря­мой, и че­ты­ре точ­ки A , B , C , D той же плос­ко­сти, из ко­то­рых ни­ка­кие три так­же не ле­жат на од­ной пря­мой, су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное П. п., ко­то­рое точ­ки A, B, C, D пе­ре­во­дит со­от­вет­ст­вен­но в точ­ки A , B , C , D . Ана­ло­гич­ная тео­ре­ма име­ет ме­сто и в про­ек­тив­ном про­стран­ст­ве: П. п. оп­ре­де­ля­ет­ся пя­тью точ­ка­ми, из ко­то­рых ни­ка­кие че­ты­ре не ле­жат в од­ной плос­ко­сти.

В од­но­род­ных ко­ор­ди­на­тах П. п. вы­ра­жа­ет­ся од­но­род­ным ли­ней­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем, оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы ко­то­ро­го не ра­вен ну­лю. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же П. п. евк­ли­до­вой плос­ко­сти или про­стран­ст­ва; в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах они вы­ра­жа­ют­ся дроб­но-ли­ней­ны­ми функ­ция­ми, при­чём свой­ст­во вза­им­ной од­но­знач­но­сти пре­об­ра­зо­ва­ния ут­ра­чи­ва­ет­ся.

Вернуться к началу