Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПРЕДИКА́Т

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 27. Москва, 2015, стр. 404

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПРЕДИКА́Т (от позд­не­ла­тин­ско­го prae­di­catum – ска­зан­ное), язы­ко­вое вы­ра­же­ние, обо­зна­чаю­щее к.-л. свой­ст­во («быть че­ло­ве­ком» – од­но­ме­ст­ный П.) или от­но­ше­ние, т. е. свой­ст­во двух, трёх, $n$ пред­метов («быть от­цом» – двух­ме­ст­ный П., «на­хо­дить­ся ме­ж­ду» – трёх­ме­ст­ный П. и т. д.).

В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке П. – вы­ска­зы­ва­тель­ная функ­ция, оп­ре­де­лён­ная на не­ко­то­ром мно­же­ст­ве $M$, т. е. та­кая $n$-ме­ст­ная функ­ция $P$, ко­то­рая ка­ж­до­му упо­ря­до­чен­но­му на­бо­ру $〈a_1, ..., a_n〉$ эле­мен­тов мно­же­ст­ва $M$ со­пос­тав­ля­ет не­ко­то­рое вы­ска­зы­ва­ние, обо­зна­чае­мое $P(a_1, ..., a_n)$; $P$ на­зы­ва­ет­ся $n$-ме­ст­ным П. на $M$. Под 0-ме­ст­ным П. по­ни­ма­ет­ся про­из­воль­ное вы­ска­зы­ва­ние.

В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке вы­ска­зы­ва­ние обыч­но ото­жде­ст­в­ля­ет­ся с его ис­тин­но­ст­ным зна­че­ни­ем 1 («ис­ти­на») или 0 («ложь»). При этом по­ня­тие «П.» по­лу­ча­ет сле­дую­щее, наи­бо­лее об­щее оп­ре­де­ле­ние: $n$-ме­ст­ным П. на мно­же­ст­ве $M$ на­зы­ва­ет­ся про­из­воль­ная $n$-ме­ст­ная функ­ция, оп­ре­де­лён­ная на $M$ и при­ни­маю­щая зна­че­ния 0 и 1. Ес­ли на на­бо­ре зна­че­ний ар­гу­мен­тов $〈a_1, ..., a_n〉$ П. $P$ при­ни­ма­ет зна­че­ние 1, т. е. $P(a_1, ..., a_n)=1$, то го­во­рят, что этот на­бор зна­че­ний удов­ле­тво­ря­ет П. $P$, а П. $P$ вы­пол­ня­ет­ся для на­бо­ра $〈a_1, ..., a_n〉$. П. на­зы­ва­ет­ся то­ж­де­ст­вен­но ис­тин­ным, ес­ли он вы­пол­ня­ет­ся для лю­бо­го на­бо­ра зна­че­ний сво­их ар­гу­мен­тов, и то­ж­де­ст­вен­но лож­ным, ес­ли ни­ка­кой на­бор не удов­ле­тво­ря­ет это­му предикату. П. на­зы­ва­ет­ся вы­пол­ни­мым, ес­ли он вы­пол­ня­ет­ся хо­тя бы для од­но­го на­бо­ра зна­че­ний ар­гу­мен­тов. Мно­же­ст­во тех на­бо­ров зна­че­ний ар­гу­мен­тов, ко­то­рые удов­ле­тво­ря­ют дан­но­му П., на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью ис­тин­но­сти это­го пре­диката.

С по­мо­щью ло­гич. опе­ра­ций из дан­ных П. мож­но стро­ить бо­лее слож­ные П. На­ря­ду с те­ми ло­гич. опе­ра­ция­ми, ко­то­рые дей­ст­ву­ют и над вы­ска­зы­ва­ния­ми, для об­ра­зо­ва­ния но­вых П. из уже имею­щих­ся при­ме­ня­ют­ся кван­то­ры. При­ме­не­ние кван­то­ра все­общ­но­сти $∀x_i$ к П. $P(x_1, ..., x_n)$, где $1⩽i⩽n$, да­ёт $(n-1)$-ме­ст­ный П. $∀x_iP(x_1, ..., x_n)$, ко­то­рый на­бо­ру $〈a_1, ..., a_{i–1}, a_{i+1}, ..., a_n〉$ со­пос­тав­ля­ет вы­ска­зы­ва­ние, ис­тин­ное то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда для лю­бо­го зна­че­ния $a$ пе­ре­мен­ной $x_i$ ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние $P(a_1, ..., a_{i–1}, a, a_{i+1}, ..., a_n)$. Кван­тор су­ще­ст­во­ва­ния $∃x_i$ в при­ме­не­нии к П. $P(x_1, ..., x_n)$ при $1⩽i⩽n$ да­ёт $(n-1)$-ме­ст­ный П. $∃x_iP(x_1, ..., x_n)$, ко­то­рый на­бо­ру $〈a_1, ..., a_{i–1}, a_{i+1}, ..., a_n〉$ со­пос­тав­ля­ет вы­ска­зы­ва­ние, ис­тин­ное то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда хо­тя бы для од­но­го зна­че­ния $a$ пе­ре­мен­ной $x_i$ ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние $P(a_1, ..., a_{i–1}, a, a_{i+1}, ..., a_n)$.

Ис­сле­до­ва­ни­ем свя­зей ме­ж­ду П., оп­ре­де­ляе­мых их ло­гич. струк­ту­рой, за­ни­ма­ет­ся ло­ги­ка пре­ди­ка­тов.

Вернуться к началу