Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОТЕНЦИА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 27. Москва, 2015, стр. 278-279

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. И. Битюцков

ПОТЕНЦИА́Л (от лат. potentia – си­ла) в ма­те­ма­ти­ке, по­ня­тие, ха­рак­те­ри­зую­щее ши­ро­кий класс фи­зич. си­ло­вых по­лей (гра­ви­та­ци­он­ное, элек­три­че­ское и др.) и во­об­ще по­ля фи­зич. ве­ли­чин, пред­став­ляе­мых век­то­ра­ми (по­ле ско­ро­стей в жид­ко­сти и др.). В элек­тро­ста­тич. по­ле П. вво­дит­ся как вспо­мо­га­тель­ная функ­ция, про­стран­ст­вен­ные про­из­вод­ные ко­то­рой – ком­по­нен­ты на­пря­жён­но­сти элек­трич. по­ля в дан­ной точ­ке, в гид­ро­ди­на­ми­ке – ком­по­нен­ты ско­ро­сти жид­ко­сти в дан­ной точ­ке и т. п. При этом П. в ря­де слу­ча­ев име­ет и важ­ный фи­зич. смысл. Так, в элек­тро­ста­тич. по­ле он чис­лен­но ра­вен (с об­рат­ным зна­ком) ра­бо­те, не­об­хо­ди­мой для уда­ле­ния еди­нич­но­го по­ло­жи­тель­но­го за­ря­да из дан­ной точ­ки на бес­ко­неч­ность.

В об­щем слу­чае П. век­тор­но­го по­ля $a(x, y, z)$ – ска­ляр­ная функ­ция $u(x, y, z)$ та­кая, что $a=\rm{grad}\,\it u$, т. е. $a_x=\frac{\partial u}{\partial x}$$a_y=\frac{\partial u}{\partial y}$$a_z=\frac{\partial u}{\partial z}$, где $a_x$, $a_y$, $a_z$ – ком­понен­ты по­ля $a$ в пря­мо­уголь­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxyz$. Ес­ли та­кая функ­ция су­ще­ст­ву­ет, то век­тор­ное поле $a$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ным. Ино­гда П. на­зы­ва­ют функ­цию $U=–u$ (напр., в элек­тро­ста­ти­ке). П. век­тор­но­го по­ля $a$ оп­ре­де­ля­ет­ся не од­но­знач­но, а с точ­но­стью до по­сто­ян­но­го сла­гае­мо­го. По­это­му при изу­че­нии по­тен­ци­аль­но­го по­ля пред­став­ля­ют ин­те­рес лишь раз­но­сти П. в разл. точ­ках по­ля. Урав­не­ние $u(x, y, z)=c$ гео­мет­ри­че­ски пред­став­ля­ет по­верх­ность, во всех точ­ках ко­то­рой П. име­ет од­ну и ту же ве­ли­чи­ну; та­кие по­верх­но­сти на­зы­ва­ют­ся по­верх­но­стя­ми уров­ня или эк­ви­по­тен­ци­аль­ны­ми по­верх­но­стя­ми.

Для по­ля тя­го­те­ния, об­ра­зо­ван­но­го по­ме­щён­ной в точ­ку $A(ξ, η, ζ)$ то­чеч­ной мас­сой $m$, П. (нью­то­нов П.) име­ет в точ­ке $P(x,y,z)$ вид $$u(x,y,z)=Gm/r,$$ где$$r=\sqrt {(x-ξ)^2+(y-η)^2+(z-ζ)^2},$$ $G$ – гра­ви­тац. по­сто­ян­ная. При на­ло­же­нии по­лей их П. ал­геб­раи­че­ски скла­ды­ва­ют­ся. Ес­ли по­ле тя­го­те­ния по­ро­ж­да­ет­ся не­ко­то­рой мас­сой, имею­щей плот­ность $ρ(ξ, η, ζ)$ и за­ни­маю­щей объ­ём $V$, то его П. мож­но рас­смат­ри­вать как на­ло­же­ние эле­мен­тар­ных по­лей, об­ра­зо­ван­ных бес­ко­неч­но ма­лы­ми те­ла­ми мас­сы $ρdξdηdζ$. Нью­то­нов П. та­ко­го по­ля пред­став­ля­ет­ся ин­те­гра­лом $$u(x,y,z)=G\iiint_V\frac{\rho}{v} ρdξdηdζ.\tag{*}$$ П. $u(x, y, z)$ – не­пре­рыв­ная функ­ция во всём про­стран­ст­ве вме­сте со свои­ми ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 1-го по­ряд­ка; вне те­ла объ­ё­ма $V$ функ­ция $u(x, y, z)$ удов­ле­тво­ря­ет Ла­п­ла­са урав­не­нию, внут­ри – Пу­ас­со­на урав­не­нию.

Ес­ли при­тя­ги­ваю­щие мас­сы рас­пре­де­ле­ны с плот­но­стью $ρ_S$ по по­верх­но­сти $S$ (про­стой слой), то П. об­ра­зо­ван­но­го ими по­ля вы­ра­жа­ет­ся ин­те­гра­лом $$v(x,y,z)=G\int_S\frac{\rho_S}{r}ds.$$ П. про­сто­го слоя $v(x, y, z)$ – функ­ция, не­пре­рыв­ная во всём про­стран­ст­ве; при пе­ре­се­че­нии по­верх­но­сти $S$ нор­маль­ная про­из­вод­ная функ­ции $v(x, y, z)$ име­ет раз­рыв, рав­ный $4πG/ρ_S$. Не­ог­ра­ни­чен­но сбли­жая две по­верх­но­сти, на ко­то­рых рас­по­ло­же­ны про­стые слои с плот­но­стя­ми $ρ_S$ и $-ρ_S$, и од­но­вре­мен­но уве­ли­чи­вая $ρ_S$ до бес­ко­неч­но­сти, но так, что­бы был ко­не­чен пре­дел $lim nρ_S=μ$, где $n$ – нор­маль­ное рас­стоя­ние ме­ж­ду по­верх­но­стя­ми, при­хо­дят к по­ня­тию П. двой­но­го слоя: $$w(x,y,z)=G\int_S \mu\frac{\partial}{\partial n}\frac{1}{r}ds.$$ П. двой­но­го слоя $w(x, y, z)$ – не­пре­рыв­ная функ­ция во всём про­стран­ст­ве вне $S$; при пе­ре­се­че­нии по­верх­но­сти $S$ функ­ция $w(x, y, z)$ име­ет раз­рыв, рав­ный $4πGμ$.

Функ­ции $v(x, y, z)$ и $w(x, y, z)$ удов­ле­тво­ря­ют урав­не­нию Ла­п­ла­са. В ви­де сум­мы П. про­сто­го и двой­но­го сло­ёв мо­жет быть пред­став­ле­на лю­бая гар­мо­нич. функ­ция.

Ес­ли те­ло $V$ – бес­ко­неч­ный ци­линдр с по­пе­реч­ным се­че­ни­ем $D$ и плот­ность $ρ$ ве­ще­ст­ва ци­лин­д­ра по­сто­ян­на вдоль ка­ж­дой пря­мой, па­рал­лель­ной об­ра­зую­щим ци­лин­д­ра, то фор­му­ла (*) при­во­дит к по­ня­тию ло­га­риф­ми­че­ско­го по­тен­циа­ла: $$u(x,y)=G\int_D \rho \ln(1/\rho)ds.$$

В ря­де ма­те­ма­тич. за­дач ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие век­тор­но­го П.; см. Век­тор­ное ис­чис­ле­ние.

Идея П. при­над­ле­жит Ж. Ла­гран­жу (1775) и П. Ла­п­ла­су (1782). Тео­рия П. соз­да­на не­за­ви­си­мо Дж. Гри­ном (1828) и К. Га­ус­сом (1840).

Лит.: Бре­ло М. Ос­но­вы клас­си­че­ской тео­рии по­тен­циа­ла. М., 1964; Ланд­коф Н. С. Ос­но­вы со­вре­мен­ной тео­рии по­тен­циа­ла. М., 1966; Ти­хо­нов А. Н., Са­мар­ский А. А. Урав­не­ния ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки. 7-е изд. М., 2004; Вла­ди­ми­ров В. С., Жа­ри­нов В. В. Урав­не­ния ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки. 2-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу