Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНЫЙ АНА́ЛИЗ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 27. Москва, 2015, стр. 243-244

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. В. Прохоров

ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНЫЙ АНА́ЛИЗ, ме­тод ре­ше­ния ста­ти­стич. за­дач, при ко­то­ром не­об­хо­ди­мое чис­ло на­блю­де­ний не фик­си­ру­ет­ся за­ра­нее, а оп­ре­де­ля­ет­ся в про­цес­се экс­пе­ри­мен­та. По­это­му в П. а. чис­ло на­блю­де­ний (объ­ём вы­бор­ки) пред­став­ля­ет со­бой слу­чай­ную ве­ли­чи­ну, за­ви­ся­щую от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний в том смыс­ле, что ре­ше­ние об окон­ча­нии или про­дол­же­нии на­блю­де­ний при­ни­ма­ет­ся по­сле­до­ва­тель­но по­сле ка­ж­до­го на­блю­де­ния. Од­но из пре­иму­ществ П. а. со­сто­ит в том, что во мно­гих слу­ча­ях для по­лу­че­ния обос­но­ван­ных вы­во­дов при­ме­не­ние П. а. по­зво­ля­ет ог­ра­ни­чить­ся зна­читель­но мень­шим (в сред­нем) чис­лом на­блю­де­ний, чем в ме­то­дах, в ко­то­рых чис­ло на­блю­де­ний фик­си­ру­ет­ся за­ра­нее. Оп­ре­де­ле­ние не­об­хо­ди­мо­го чис­ла на­блю­де­ний в рам­ках П. а. пред­став­ля­ет со­бой од­ну из сто­рон за­да­чи пла­ни­ро­ва­ния экс­пе­ри­мен­та.

В наи­боль­шей сте­пе­ни идеи П. а. на­шли при­ме­не­ние в тео­рии ста­ти­сти­че­ских ги­по­тез про­вер­ки (впер­вые по­сле­до­ват. ме­то­ды про­вер­ки ги­по­тез бы­ли ис­поль­зо­ва­ны при кон­тро­ле ка­че­ст­ва из­де­лий в приё­моч­ном ста­ти­сти­че­ском кон­тро­ле). Пусть, напр., за­да­ча со­сто­ит в раз­ли­че­нии двух ги­по­тез по ре­зуль­та­там не­за­ви­си­мых на­блю­де­ний $X_1 ,X_2,...$. Ги­по­те­за $H_1$ за­клю­ча­ет­ся в том, что эти слу­чай­ные ве­ли­чи­ны име­ют рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей с плот­но­стью $f_1(x)$, а ги­по­те­за $H_2$ – в том, что эта плот­ность есть $f_2(x)$. Для ре­ше­ния этой за­да­чи по­сту­па­ют сле­дую­щим об­ра­зом. Вы­би­ра­ют два чис­ла $A,B,0\lt A \lt B$. По ре­зуль­та­ту $x_1$ пер­во­го на­блю­де­ния вы­чис­ля­ют от­но­ше­ние $$λ_1=f_2(x_1)/f_1(x_1).$$ Ес­ли $λ_1\lt A$, при­ни­ма­ют ги­по­те­зу $H_1$, ес­ли $λ_1>B$, при­ни­ма­ют гипотезу $H_2$, ес­ли $A⩽λ_1⩽B$, про­из­во­дят вто­рое на­блю­де­ние и по его ре­зуль­та­ту $x_2$ по­доб­ным же об­ра­зом ис­сле­ду­ют ве­ли­чи­ну $$λ_2=f_2(x_1)f_2(x_2)/f_1(x_1)f_1(x_2)$$ и т. д. С ве­ро­ят­но­стью, рав­ной еди­ни­це, про­цесс окан­чи­ва­ет­ся ли­бо вы­бо­ром $H_1$, ли­бо вы­бо­ром $H_2$. Ве­ли­чи­ны $A, B$ вы­би­ра­ют­ся из ус­ло­вия, что­бы ве­ро­ят­но­сти оши­бок пер­во­го и вто­ро­го ро­да (т. е., со­от­вет­ст­вен­но, ве­ро­ят­ность от­верг­нуть $H_1$, ко­гда она вер­на, и ве­ро­ят­ность при­нять $H_1$, ко­гда вер­на $H_2$) име­ли за­дан­ные зна­че­ния $α$ и $β$.

Для прак­тич. це­лей вме­сто ве­ли­чин $λ_n$ удоб­нее рас­смат­ри­вать их ло­га­риф­мы. Пусть, напр., $X_1,X_2,...$ име­ют нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью $$f(x;a,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-a)^2/2\sigma^2},$$и ги­по­те­за $H_1$ со­сто­ит в том, что $a=0$, $σ=1$, ги­по­те­за $H_2$ – в том, что $a=0,6, σ=1$, и пусть $α=0,01$, $β=0,03$. Со­от­вет­ст­вую­щие под­счё­ты по­ка­зы­ва­ют, что в этом слу­чае $$A=\frac{1}{33},B=97$$ и $$\ln\lambda_n=0,6\sum^n_{k=1}x_k-0,18n.$$По­это­му не­ра­вен­ст­ва $λ_n\lt 1/33$ и $λ_n\gt 97$ рав­но­силь­ны не­ра­вен­ст­вам $$\sum^n_{k=1}x_k\lt 0,3n-5,83$$и$$\sum^n_{k=1}x_k\gt 0,3n+7,62$$ со­от­вет­ст­вен­но. Про­цесс П. а. до­пус­ка­ет при этом про­стое гра­фич. изо­бра­же­ние (рис.). На плос­ко­сти $xOy$ на­но­сят­ся две пря­мые $y=0,3x-5,83$ и $y=0,3x+7,62$ и ло­ма­ная ли­ния с вер­ши­на­ми в точ­ках $(n,\sum^n_{k=1} x_k ), n=1,2,...$. Ес­ли ло­ма­ная линия впер­вые вы­хо­дит из по­ло­сы, ог­ра­ни­чен­ной эти­ми пря­мы­ми, че­рез верх­нюю гра­ни­цу, при­ни­ма­ет­ся $H_2$, ес­ли че­рез ниж­нюю – при­ни­ма­ет­ся $H_1$. В этом при­ме­ре для раз­ли­че­ния $H_1$ и $H_2$ ме­то­дом П. а. тре­бу­ет­ся в сред­нем не бо­лее 25 на­блю­де­ний. В то же вре­мя для раз­ли­че­ния ги­по­тез $H_1$ и $H_2$ (с ука­зан­ны­ми ве­роят­но­стя­ми оши­бок) по вы­бор­кам фик­си­ро­ван­но­го объ­ё­ма по­тре­бо­ва­лось бы не ме­нее 50 на­блю­де­ний.

По­сле­до­ва­тель­ные кри­те­рии ука­зан­но­го ти­па, впер­вые пред­ло­жен­ные амер. ма­те­ма­ти­ком А. Валь­дом (1945), на­зы­ва­ют­ся кри­те­рия­ми от­но­ше­ния ве­ро­ят­но­стей. Валь­ду (1947) так­же при­над­ле­жит по­сле­до­ва­тель­ный кри­те­рий о сред­нем зна­че­нии нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния, ко­гда дис­пер­сия не­из­вест­на; этот кри­те­рий на­зы­ва­ет­ся по­сле­до­ва­тель­ным $t$-кри­те­ри­ем по ана­ло­гии с $t$-кри­те­ри­ем Стью­ден­та в слу­чае фик­си­ро­ван­но­го чис­ла на­блю­де­ний.

Кро­ме по­сле­до­ва­тель­ных кри­те­ри­ев про­вер­ки ги­по­тез, в П. а. вхо­дит и по­сле­до­ва­тель­ное ста­ти­стич. оце­ни­ва­ние. Од­на­ко ре­ше­ние за­дач оце­ни­ва­ния на­тал­ки­ва­ет­ся на оп­ре­де­лён­ные труд­но­сти, т. к. в этом слу­чае слож­нее сфор­му­ли­ро­вать пра­ви­ла, оп­ре­де­ляю­щие мо­мент пре­кра­ще­ния на­блю­де­ний. Напр., при оце­ни­ва­нии сред­не­го зна­че­ния $a$ нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния с не­из­вест­ной дис­пер­си­ей $σ^2$ пра­ви­ло мо­жет быть та­ким: за­да­ёт­ся не­ко­то­рая по­сто­ян­ная $c\gt 0$, и на­блю­де­ния про­из­во­дят­ся до тех пор, по­ка не ока­жет­ся, что $D_n⩽c$, где $$D_n=\frac{1}{n(n-1)}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X_n)^2$$– оцен­ка дис­пер­сии, $$\overline X_n=\frac{1}{n}\sum^n_{i=n}X_i$$при ка­ж­дом фик­си­ро­ван­ном $n$; по­сле это­го вы­чис­ля­ет­ся  $\overline X_n$ – оцен­ка $a$. Дис­пер­сия $\overline X_n$ бу­дет при­бли­жён­но рав­нять­ся $c$.

Лит.: Бле­ку­элл Д., Гир­шик М. А. Тео­рия игр и ста­ти­сти­че­ских ре­ше­ний. М., 1958; Вальд А. По­сле­до­ва­тель­ный ана­лиз. М., 1960; Ши­ря­ев А. Н. Ста­ти­сти­че­ский по­сле­до­ва­тель­ный ана­лиз. 2-е изд. М., 1976.

Вернуться к началу