Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОЛЯ́РНАЯ СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 27. Москва, 2015, стр. 90-91

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПОЛЯ́РНАЯ СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, сис­те­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки слу­жат чис­ла $ρ$ и $φ$ (рис.), свя­зан­ные с де­кар­то­вы­ми пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми $x$ и $y$ фор­му­ла­ми $x=ρ\cos φ$, $y=ρ\sin φ$, где $0⩽ρ<∞$, $0⩽φ<2π$. Ко­ор­ди­нат­ные ли­нии – кон­цен­трич. ок­руж­но­сти ($ρ=\rm{const}$) и лу­чи ($φ=\rm{const}$). Ка­ж­дой точ­ке плос­ко­сти $Oxy$ (за ис­клю­че­ни­ем точ­ки 0, для ко­то­рой $ρ$=0, а $φ$ не оп­ре­де­ле­но, т. е. мо­жет быть лю­бым чис­лом $0⩽φ< 2π$) со­от­вет­ст­ву­ет па­ра чи­сел ($ρ, φ$) и об­рат­но. Рас­стоя­ние $ρ$ от точ­ки $M$ до точ­ки (0, 0) (по­лю­са) на­зы­ва­ет­ся по­ляр­ным ра­диу­сом, а угол $φ$ – по­ляр­ным уг­лом. В по­ляр­ных ко­ор­ди­на­тах эле­мент дли­ны $$dl=\sqrt{(dp)^2+ρ^2(dφ)^2},$$эле­мент пло­ща­ди$$ds=ρdρdφ,$$ опе­ра­тор Ла­п­ла­са $$\Delta f=\frac{1}{ρ}\frac{\partial}{\partial ρ}\left( ρ\frac{\partial f}{\partial ρ}\right)+\frac{1}{ρ^2}\frac{\partial^2f}{\partial φ^2}.$$

Обоб­щён­ны­ми по­ляр­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми на­зы­ва­ют­ся чис­ла $r$ и $ψ$ , свя­зан­ные с пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми фор­му­ла­ми $$x=ar \cos y, \,\,y=br\sin y,$$где $0⩽r<∞$, $0⩽ψ<2π$, $a>0$, $b>0$, $a≠b$. Ко­ор­ди­нат­ные ли­нии – эл­лип­сы ($r=\rm{const}$) и лу­чи ($ψ=\rm{const}$). О П. с. к. в про­стран­ст­ве см. в ст. Сфе­ри­че­ская сис­те­ма ко­ор­ди­нат.

П. с. к. в не­яв­ном ви­де ис­поль­зо­вал др.-греч. ма­те­ма­тик Ди­но­ст­рат (4 в. до н. э.) при ис­сле­до­ва­нии квад­рат­рис­сы. По­до­бие П. с. к. име­ет­ся у А. Дю­ре­ра (1525). И. Нью­тон в «Ме­то­де флюк­сий» (1670–71, опубл. в 1736) три­ж­ды ис­поль­зо­вал П. с. к. и при­вёл фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие их с пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми. В поч­ти совр. ви­де П. с. к. поя­ви­лась у Я. Бер­нул­ли (1691), чёт­кое пред­став­ле­ние об оп­ре­де­ле­нии точ­ки на плос­ко­сти при по­мо­щи П. с. к. име­лось у Л. Эй­ле­ра (1748). Тер­мин «П. с. к.» воз­ник в 19 в. К совр. обо­зна­че­ни­ям по­ляр­ных ко­ор­ди­нат бли­же все­го обо­зна­че­ния Л. Эй­ле­ра: $z$, $φ$, а так­же С. Е. Гурь­е­ва: $r$, $ω$.

Вернуться к началу