Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОЛИНОМИА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 26. Москва, 2014, стр. 673

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПОЛИНОМИА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ (муль­ти­но­ми­аль­ное рас­пре­де­ле­ние), со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин, ка­ж­дая из ко­то­рых есть чис­ло по­яв­ле­ний од­но­го из не­сколь­ких не­со­вме­ст­ных со­бы­тий при по­втор­ных не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях. Пусть при ка­ж­дом ис­пы­та­нии ве­ро­ят­но­сти по­яв­ле­ния со­бы­тий $A_1, ..., A_m$ рав­ны со­от­вет­ст­вен­но $p_1, ..., p_m$, при­чём $0⩽p_k⩽1, k=1, ..., m$, и $p_1+ ...+p_m= 1$, то­гда со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чин $X_1, ..., X_m$, где $X_k$ – чис­ло по­яв­ле­ний со­бы­тия $A_k$ при $n$ ис­пы­та­ни­ях, за­да­ёт­ся ве­ро­ят­но­стя­ми $$\mathrm{P}(X_1=n_1, ..., X_m=n_m)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_m!}p_1^{n_1}\cdots p_m^{n_m},$$ где $n_1, ..., n_m$ – про­из­воль­ный на­бор не­от­ри­ца­тель­ных це­лых чи­сел, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­вию $n_1+ ...+  n_m=n$. П. р. – ес­те­ст­вен­ное обоб­ще­ние би­но­ми­аль­но­го рас­пре­де­ле­ния и сво­дит­ся к не­му при $m=2$. Ка­ж­дая слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X_k, k=1, ..., m$, име­ет би­но­ми­аль­ное рас­пре­де­ле­ние с ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $np_k$ и дис­пер­си­ей $np_k(1-p_k)$, эти слу­чай­ные ве­ли­чи­ны за­ви­си­мы, их сум­ма рав­на $n$. При $n→∞$ со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чин $$Y_k=(X_k-mp_k)/\sqrt{np_k(1-p_k)}$$ стре­мит­ся к не­ко­то­ро­му нор­маль­но­му рас­пре­де­ле­нию, а рас­пре­де­ле­ние сум­мы $$\sum_{k=1}^m (1-p_k)Y^2_k = \sum_{k=1}^m \frac{(X_k-np_k)^2}{np_k}$$ стре­мит­ся к хи-квад­рат рас­пре­де­ле­нию с $m-1$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды.

Лит.: Кра­мер Г. Ма­те­ма­ти­че­ские ме­то­ды ста­ти­сти­ки. 2-е изд. М., 1975.

Вернуться к началу