Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОКАЗА́ТЕЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 26. Москва, 2014, стр. 598

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПОКАЗА́ТЕЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ (экс­по­нен­ци­аль­ная функ­ция, экс­по­нен­та), функ­ция $$y=e^z≡\exp z,$$ где чис­ло $e$ – ос­но­ва­ние на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов, для лю­бо­го зна­че­ния $z$ (дей­ст­ви­тель­но­го или ком­плекс­но­го) оп­ре­де­ля­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $$e^z=\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{z}{n}\right)^n.\tag{1}$$ Её ос­нов­ные свой­ст­ва $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\,и\,(e^{z_1})^{z_2}=e^{z_1+z_2}$$ при лю­бых зна­че­ни­ях $z_1$ и $z_2$.

Показательная функция действительного переменного

В кур­се ма­те­ма­тич. ана­ли­за рас­смат­ри­ва­ют­ся П. ф. $y=a^x$ при дей­ст­ви­тель­ных $x$ и $a>0, a≠1$; она свя­за­на с (ос­нов­ной) П. ф. $y=e^x$ со­от­но­ше­ни­ем $$a^x=e^{x\ln a}.$$ П. ф. $y=a^x$ оп­ре­де­ле­на при всех $x$, по­ло­жи­тель­на, мо­но­тон­на (воз­рас­та­ет, ес­ли $a>1$, и убы­ва­ет, ес­ли $0\lt a\lt 1$), не­пре­рыв­на, бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­ма; при этом $$(a^x)'=a^x\ln a,\quad \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$$ в ча­ст­но­сти $$(e^x)'=e^x\ln a,\quad \int e^x dx=e^x+C;$$ в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки П. ф. мо­жет быть раз­ло­же­на в сте­пен­ной ряд, на­пр.: $$e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^n}{n!}+...\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad –∞\lt x\lt ∞.\tag{2}$$

Гра­фик П. ф. (экс­по­нен­ци­аль­ная кри­вая) про­хо­дит че­рез точ­ку (0, 1) и асим­пто­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся к оси $Ox$ (рис., где да­ны гра­фи­ки функ­ций $y=e^x$, $y=\left(\frac{1}{e}\right)^x$, $y=10^x$$y=\left(\frac{1}{10}\right)^x$, $y=2^x$, $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$); гра­фик П. ф. $y=a^x$ сим­метри­чен гра­фи­ку П. ф. $y=(1/a)^x$ от­но­ситель­но оси ор­ди­нат. Ес­ли $a>1$, то $a^x$ при $x→∞$ воз­рас­та­ет бы­ст­рее лю­бой сте­пе­ни $x$, а при $x→–∞$ стре­мит­ся к ну­лю бы­ст­рее лю­бой сте­пе­ни $1/x$, т. е. для лю­бо­го $b>0$, $$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a^x}{x^b}=\infty,\quad\lim_{x\rightarrow -\infty}\left|x\right|^ba^x=0.$$

Об­рат­ной к П. ф. яв­ля­ет­ся ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция.

П. ф. час­то встре­ча­ет­ся в при­ло­же­ни­ях, ко­гда ско­рость из­ме­не­ния к.-л. ве­ли­чи­ны пря­мо про­пор­цио­наль­на са­мой ве­ли­чи­не, т. е. $$\frac{dy}{dt}=py$$ Ре­ше­ни­ем это­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся П. ф. $y=Ce^{pt}$, где $C$ – по­сто­ян­ная. При $C>0$, $p>0$ эта функ­ция при $t→∞$ экс­по­нен­ци­аль­но воз­рас­та­ет и вы­ра­жа­ет т. н. за­кон ес­теств. рос­та, напр. рост чис­ла бак­те­рий, уве­ли­че­ние де­неж­но­го вкла­да при по­сто­ян­ном про­цент­ном при­ра­ще­нии. При $C> 0$, $p\lt 0$ П. ф. при $t→∞$ экс­по­нен­ци­аль­но стре­мит­ся к ну­лю. С по­мо­щью этой функ­ции опи­сы­ва­ют­ся про­цесс ра­дио­ак­тив­но­го рас­па­да, за­ту­ха­ние ко­ле­ба­ний и т. п.

Показательная функция комплексного переменного

При ком­плекс­ных $a$ и $z=x+iy$ П. ф. $a^z$ свя­за­на с (ос­нов­ной) П. ф. $e^z$ со­от­но­ше­ни­ем $$a^z=e^{z\,\text{Ln}\,a},$$где $\text{Ln}\, a$ – ло­га­рифм ком­плекс­но­го чис­ла $a$. П. ф. $e^z$ – це­лая транс­цен­дент­ная функ­ция и яв­ля­ет­ся ана­ли­тич. про­дол­же­ни­ем П. ф. $e^x$ с дей­ст­ви­тель­ной оси в ком­плекс­ную плос­кость.

По­ми­мо фор­му­лы (1), П. ф. мо­жет быть оп­ре­де­ле­на так­же с по­мо­щью ря­да (2), схо­дя­ще­го­ся во всей ком­плекс­ной плос­ко­сти, или по фор­му­ле Эй­ле­ра $$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$Спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $$∣e^z∣=e^х,\quad \text{Arg} \, e^z=y+2kπ, \, k= 0,± 1,± 2,...$$ П. ф. $e^z$ – пе­рио­ди­че­ская с пе­рио­дом $2πi$, т. е. $e^{z+2πi}=e^z$. П. ф. $e^z$ при­ни­ма­ет все ком­плекс­ные зна­че­ния, за ис­клю­че­ни­ем ну­ля; урав­не­ние $e^z=a$ име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний для лю­бо­го ком­плекс­но­го чис­ла $a≠0$, эти ре­ше­ния на­хо­дят­ся по фор­му­ле $$z=\text{Ln}\,a=\ln ∣a∣+i\text{Arg}\, a.$$

П. ф. $e^z$ – одна из ос­нов­ных эле­мен­тар­ных функ­ций. Че­рез неё вы­ра­жа­ют­ся, напр., три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции и ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции. П. ф. ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го иг­ра­ет важ­ную роль в при­ло­же­ни­ях, напр. в тео­рии ря­дов и ин­те­гра­лов Фу­рье, в тео­рии ко­ле­ба­ний и рас­про­стра­не­ния волн.

Вернуться к началу