Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОВЕ́РХНОСТЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 26. Москва, 2014, стр. 493

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. Н. Колмогоров, Л. А. Скорняков

ПОВЕ́РХНОСТЬ, од­но из ос­нов­ных по­ня­тий гео­мет­рии. При уточ­не­нии это­го по­ня­тия в раз­ных раз­де­лах гео­мет­рии ему при­да­ёт­ся разл. смысл.

В школь­ном кур­се гео­мет­рии рас­смат­ри­ва­ют­ся плос­ко­сти, мно­го­гран­ни­ки, а так­же не­ко­то­рые кри­вые по­верх­но­сти. Ка­ж­дая из кри­вых П. оп­ре­де­ля­ет­ся спец. спо­со­бом, ча­ще все­го как мно­же­ст­во то­чек, удов­ле­тво­ряю­щих не­ко­то­рым ус­ло­ви­ям. Напр., П. ша­ра – мно­же­ст­во то­чек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точ­ки (цен­тра ша­ра). По­ня­тие П. лишь по­яс­ня­ет­ся, а не оп­ре­де­ля­ет­ся. Напр., го­во­рят, что П. есть гра­ни­ца те­ла или след дви­жу­щей­ся ли­нии.

Ма­те­ма­ти­че­ски стро­гое оп­ре­де­ле­ние П. ос­но­вы­ва­ет­ся на по­ня­ти­ях то­по­ло­гии. При этом ос­нов­ным яв­ля­ет­ся по­ня­тие про­стой П., ко­то­рую мож­но пред­ста­вить как ку­сок плос­ко­сти, под­верг­ну­тый не­пре­рыв­ным де­фор­ма­ци­ям (рас­тя­же­ни­ям, сжа­ти­ям или из­ги­ба­ни­ям). Бо­лее точ­но, про­стой П. на­зы­ва­ет­ся об­раз го­мео­морф­но­го (т. е. вза­им­но од­но­знач­но­го и вза­им­но не­пре­рыв­но­го) ото­бра­же­ния внут­рен­но­сти квад­ра­та. Это­му оп­ре­де­ле­нию мож­но дать ана­ли­тич. вы­ра­же­ние. Пусть на плос­ко­сти с пря­мо­уголь­ной сис­те­мой ко­ор­ди­нат $u$ и $v$ за­дан квад­рат, ко­ор­ди­на­ты внутр. то­чек ко­то­ро­го удов­ле­тво­ря­ют не­ра­вен­ст­вам $0\lt u\lt 1, 0\lt v\lt 1$. Го­мео­морф­ный об­раз это­го квад­ра­та в про­стран­ст­ве с пря­мо­уголь­ной сис­те­мой ко­ор­ди­нат $x, y, z$ за­да­ёт­ся при по­мо­щи фор­мул $x=φ(u, v), y=ψ(u, v), z=χ(u, v)$ (па­ра­мет­рич. урав­не­ния П.). При этом от функ­ций $φ(u, v), ψ(u, v), χ (u, v)$ тре­бу­ет­ся, что­бы они бы­ли не­пре­рыв­ны­ми и что­бы для разл. то­чек $(u, v)$, и $(u', v')$ бы­ли разл. со­от­вет­ст­вую­щие точ­ки $(x, y, z)$ и $(x', y', z')$. При­ме­ром про­стой П. яв­ля­ет­ся по­лу­сфе­ра. Вся же сфе­ра не яв­ля­ет­ся про­стой П. Это вы­зы­ва­ет не­об­хо­ди­мость даль­ней­ше­го обоб­ще­ния по­ня­тия П. По­верх­ность, ок­ре­ст­ность ка­ж­дой точ­ки ко­то­рой есть про­стая П., на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной. С точ­ки зре­ния то­по­ло­гич. строе­ния П., как дву­мер­ные мно­го­об­ра­зия, раз­де­ля­ют­ся на неск. ти­пов: замк­ну­тые и от­кры­тые, ори­ен­ти­руе­мые и не­ори­ен­ти­руе­мые и др.

В диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии ис­сле­дуе­мые П. обыч­но под­чи­не­ны ус­ло­ви­ям, ко­то­рые свя­за­ны с воз­мож­но­стью при­ме­не­ния ме­то­дов диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния. Как пра­ви­ло, это – ус­ло­вия глад­ко­сти П., т. е. су­ще­ст­во­ва­ния в ка­ж­дой точ­ке П. оп­ре­де­лён­ной ка­са­тель­ной плос­ко­сти, кри­виз­ны и т. д. Эти тре­бо­ва­ния сво­дят­ся к то­му, что функ­ции $φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)$ пред­по­лага­ют­ся од­но­крат­но, два­ж­ды, три­ж­ды, а в не­ко­то­рых во­про­сах – не­ог­ра­ни­чен­ное чис­ло раз, диф­фе­рен­ци­руе­мы­ми или да­же ана­ли­тич. функ­ция­ми. Кро­ме то­го, тре­бу­ет­ся, что­бы в ка­ж­дой точ­ке хо­тя бы один из оп­ре­де­ли­те­лей $$\begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ ψ_u'& ψ_v'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}ψ_u' & ψ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix}$$ был от­ли­чен от ну­ля.

В ана­ли­тич. и ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии П. оп­ре­де­ля­ет­ся как мно­же­ст­во то­чек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удов­ле­тво­ря­ют оп­ре­де­лён­но­му ви­ду урав­не­ний $$Φ(x, y, z)=0.\tag{*}$$ Оп­ре­де­лён­ная та­ким об­ра­зом П. мо­жет и не иметь на­гляд­но­го гео­мет­рич. об­раза. В этом слу­чае для со­хра­не­ния общ­но­сти го­во­рят о мни­мых П. Напр., урав­не­ние $x^2+y^2+z^2+ 1=0$ оп­ре­де­ля­ет мни­мую сфе­ру, хо­тя в дей­ст­ви­тель­ном про­стран­ст­ве нет ни од­ной точ­ки, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой удов­ле­тво­ря­ют это­му урав­не­нию. Ес­ли функ­ция $Φ (x, y, z)$ не­пре­рыв­на в не­ко­то­рой точ­ке и име­ет в ней не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные $\frac{\partial Φ}{\partial x} ,\frac{\partial Φ}{\partial y}, \frac{\partial Φ}{\partial z}$, из ко­то­рых хо­тя бы од­на не об­ра­ща­ет­ся в нуль, то в ок­ре­ст­но­сти этой точ­ки П., за­дан­ная урав­не­ни­ем (*), бу­дет пра­виль­ной.

Вернуться к началу