Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПЛО́СКОСТЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 26. Москва, 2014, стр. 441-442

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ПЛО́СКОСТЬ, про­стей­шая по­верх­ность. При сис­те­ма­тич. из­ло­же­нии гео­мет­рии по­ня­тие П. обыч­но при­ни­ма­ет­ся за од­но из ис­ход­ных по­ня­тий, ко­то­рое лишь кос­вен­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся ак­сио­ма­ми гео­мет­рии. Не­ко­то­рые ха­рак­те­ри­стич. свой­ст­ва П.: 1) П. есть по­верх­ность, со­дер­жа­щая пол­но­стью ка­ж­дую пря­мую, про­хо­дя­щую че­рез лю­бые две её точ­ки; 2) П. есть мно­же­ст­во то­чек, рав­но­от­стоя­щих от двух за­дан­ных то­чек.

П. – ал­геб­ра­ич. по­верх­ность пер­во­го по­ряд­ка: в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат П. мо­жет быть за­да­на урав­не­ни­ем пер­вой сте­пе­ни. Об­щее урав­не­ние (пол­ное) П.: $$Ax +By+Cz+D=0,\tag1$$ где $A, B, C, D$ – по­сто­ян­ные, при­чём $A$, $B$ и $C$ од­но­вре­мен­но не рав­ны ну­лю; в век­тор­ной фор­ме: $$(r,N)+D=0,$$ где $r$ – ра­ди­ус-век­тор точ­ки $M(x, y, z)$ плос­ко­сти, век­тор $N=(A, B, C)$ пер­пен­ди­ку­ля­рен к П. (нор­маль­ный век­тор), $(·,·)$ оз­на­ча­ет ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние. На­прав­ляю­щие ко­си­ну­сы век­то­ра $N$:$$\cos \alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \beta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \gamma=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Ес­ли один из ко­эф­фи­ци­ен­тов в урав­не­нии (1) ра­вен ну­лю, то оно на­зы­ва­ет­ся не­пол­ным. При $D=0$ П. про­хо­дит че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат; при $A=0$ (или $B=0$, или $C=0$) П. па­рал­лель­на оси $Ox$ (со­от­вет­ст­вен­но $Oy$, или $Oz$); при $A=B=0$ (или $A=C=0$, или $B=C=0$) П. па­рал­лель­на плос­ко­сти $Oxy$ (со­от­вет­ст­вен­но $Oxz$ или $Oyz$).

Урав­не­ние П. в от­рез­ках: $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$ где $a=-\frac{D}{A}, b=-\frac{D}{b}, c=-\frac{D}{C}$ – от­рез­ки, от­се­кае­мые П. на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ (рис.).

Урав­не­ние П., про­хо­дя­щей че­рез точ­ку $M(x_0,y_0,z_0)$, пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру $N=(A, B, C)$: $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$$ в век­тор­ной фор­ме: $$((r-r_0), N)=0,$$ где $r_0=(x_0,y_0,z_0)$.

Урав­не­ние П., про­хо­дя­щей че­рез три за­дан­ные точ­ки $M_i(x_i,y_i,z_i), i=1,2,3$, не ле­жа­щие на од­ной пря­мой: $$((r-r_1), (r_2-r_1), (r_3-r_1))=0,$$ где $(·,·,·)$ оз­на­ча­ет сме­шан­ное про­из­ве­де­ние, ина­че $$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0.$$

Нор­маль­ное (нор­ми­ро­ван­ное) урав­не­ние П.:$$x\cos \alpha+y\cos \beta+z\cos \gamma - p=0;\tag2$$ в век­тор­ной фор­ме: $$(r,N^0)-p=0,$$ где $N^0$ – еди­нич­ный век­тор, $p$ – рас­стоя­ние от П. до на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Урав­не­ние (2) мо­жет быть по­лу­че­но из урав­не­ния (1) ум­но­же­ни­ем на нор­ми­рую­щий мно­жи­тель $$μ=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$(зна­ки $μ$ и $D$ про­ти­во­по­лож­ны).

От­кло­не­ние точ­ки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ от П.: $$δ=x_1\cos\alpha+y_1\cos\beta+z_1\cos\gamma-p;$$ $δ\gt 0$, ес­ли $M_1$ и на­ча­ло ко­ор­ди­нат ле­жат по раз­ные сто­ро­ны П., в про­тив­ном слу­чае $δ\lt 0$. Рас­стоя­ние от точ­ки до П. рав­но $∣δ∣$.

Ес­ли две П. за­да­ны урав­не­ния­ми (1), то для уг­ла $φ$ ме­ж­ду ни­ми спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $$\cos φ=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$$ в век­тор­ной фор­ме:$$\cos\phi=\frac{(N_1,N_2)}{|N_1||N_2|}.$$П. па­рал­лель­ны, ес­ли $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\,или\, [N_1,N_2]=0,$$ где $[·,·]$ оз­на­ча­ет век­тор­ное про­из­ве­де­ние. П. пер­пен­ди­ку­ляр­ны, ес­ли$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\,или\,(N_1,N_2)=0.$$

Пуч­ком плос­ко­стей на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во П., про­хо­дя­щих че­рез ли­нию пе­ре­се­че­ния двух П. Ес­ли две плос­ко­сти за­да­ны в ви­де (1), то урав­не­ние лю­бой П. пуч­ка име­ет вид $$α(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+β(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,$$ где $α$ и $β$ – лю­бые чис­ла, не рав­ные од­но­вре­мен­но ну­лю.

Урав­не­ние П. впер­вые встре­ча­ет­ся у А. Кле­ро (1731). Урав­не­ние П. в от­рез­ках, по-ви­ди­мо­му, впер­вые по­лу­че­но Г. Ла­ме (1816–18), нор­маль­ное урав­не­ние ввёл нем. ма­те­ма­тик О. Гес­се (1861).

Вернуться к началу