ПЛО́СКОСТЬ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПЛО́СКОСТЬ, простейшая поверхность. При систематич. изложении геометрии понятие П. обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристич. свойства П.: 1) П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, проходящую через любые две её точки; 2) П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
П. – алгебраич. поверхность первого порядка: в декартовой системе координат П. может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение (полное) П.: $$Ax +By+Cz+D=0,\tag1$$ где $A, B, C, D$ – постоянные, причём $A$, $B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме: $$(r,N)+D=0,$$ где $r$ – радиус-вектор точки $M(x, y, z)$ плоскости, вектор $N=(A, B, C)$ перпендикулярен к П. (нормальный вектор), $(·,·)$ означает скалярное произведение. Направляющие косинусы вектора $N$:$$\cos \alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \beta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \gamma=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Если один из коэффициентов в уравнении (1) равен нулю, то оно называется неполным. При $D=0$ П. проходит через начало координат; при $A=0$ (или $B=0$, или $C=0$) П. параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$, или $Oz$); при $A=B=0$ (или $A=C=0$, или $B=C=0$) П. параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$).
Уравнение П. в отрезках: $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$ где $a=-\frac{D}{A}, b=-\frac{D}{b}, c=-\frac{D}{C}$ – отрезки, отсекаемые П. на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ (рис.).
Уравнение П., проходящей через точку $M(x_0,y_0,z_0)$, перпендикулярно вектору $N=(A, B, C)$: $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$$ в векторной форме: $$((r-r_0), N)=0,$$ где $r_0=(x_0,y_0,z_0)$.
Уравнение П., проходящей через три заданные точки $M_i(x_i,y_i,z_i), i=1,2,3$, не лежащие на одной прямой: $$((r-r_1), (r_2-r_1), (r_3-r_1))=0,$$ где $(·,·,·)$ означает смешанное произведение, иначе $$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0.$$
Нормальное (нормированное) уравнение П.:$$x\cos \alpha+y\cos \beta+z\cos \gamma - p=0;\tag2$$ в векторной форме: $$(r,N^0)-p=0,$$ где $N^0$ – единичный вектор, $p$ – расстояние от П. до начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель $$μ=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$(знаки $μ$ и $D$ противоположны).
Отклонение точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ от П.: $$δ=x_1\cos\alpha+y_1\cos\beta+z_1\cos\gamma-p;$$ $δ\gt 0$, если $M_1$ и начало координат лежат по разные стороны П., в противном случае $δ\lt 0$. Расстояние от точки до П. равно $∣δ∣$.
Если две П. заданы уравнениями (1), то для угла $φ$ между ними справедливо равенство $$\cos φ=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$$ в векторной форме:$$\cos\phi=\frac{(N_1,N_2)}{|N_1||N_2|}.$$П. параллельны, если $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\,или\, [N_1,N_2]=0,$$ где $[·,·]$ означает векторное произведение. П. перпендикулярны, если$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\,или\,(N_1,N_2)=0.$$
Пучком плоскостей называется множество П., проходящих через линию пересечения двух П. Если две плоскости заданы в виде (1), то уравнение любой П. пучка имеет вид $$α(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+β(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,$$ где $α$ и $β$ – любые числа, не равные одновременно нулю.
Уравнение П. впервые встречается у А. Клеро (1731). Уравнение П. в отрезках, по-видимому, впервые получено Г. Ламе (1816–18), нормальное уравнение ввёл нем. математик О. Гессе (1861).
