Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПАРАБОЛО́ИД

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 25. Москва, 2014, стр. 272

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Рис. 1.
Рис. 2.

ПАРАБОЛО́ИД (от па­ра­бо­ла и греч. εἶδος – вид), не­замк­ну­тая не­цен­траль­ная по­верх­ность вто­ро­го по­ряд­ка; су­ще­ст­ву­ют два ви­да П. – эл­лип­ти­че­ский П. (рис. 1) и ги­пер­бо­ли­че­ский П. (рис. 2). Оба они мо­гут быть пред­став­ле­ны как по­верх­но­сти, опи­сы­вае­мые при дви­же­нии од­ной (под­виж­ной) па­ра­бо­лы вдоль дру­гой (не­под­виж­ной) так, что вер­ши­на под­виж­ной па­ра­бо­лы сколь­зит по не­под­виж­ной, а плос­кость и ось под­виж­ной па­ра­бо­лы ос­та­ют­ся па­рал­лель­ны­ми са­ми се­бе. Эл­лип­тич. П. по­лу­ча­ет­ся, ес­ли обе па­ра­бо­лы об­ра­ще­ны во­гну­то­стью в од­ну сто­ро­ну, ги­пер­бо­лич. П. – ес­ли па­ра­бо­лы об­ра­ще­ны во­гну­то­стью в раз­ные сто­ро­ны, по­это­му ги­пер­бо­лич П. име­ет вид сед­ла.

В пря­мо­уголь­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxyz$ с на­ча­лом в вер­ши­не П., ось $Oz$ ко­то­рой яв­ля­ет­ся осью сим­мет­рии П., а плос­ко­сти $zOx$ и $Oyz$ – плос­ко­стя­ми сим­мет­рии П., урав­не­ние П. име­ет т. н. ка­но­нич. вид:$$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$$ для эл­лип­тич. П. и $$\frac{x^2}{p}=\frac{x^2}{q}=2z$$для ги­пер­бо­лич. П., где $p>0, q>0$ – па­ра­мет­ры.

Се­че­ния эл­лип­тич. П., па­рал­лель­ные плос­ко­сти $Oxy$, – эл­лип­сы; се­че­ния, па­рал­лель­ные оси $Oz$, – па­ра­бо­лы. Ес­ли $p=q$, то П. яв­ля­ет­ся па­ра­бо­лои­дом вра­ще­ния, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся вра­ще­ни­ем па­ра­бо­лы $x^2=2pz$, ле­жа­щей в плос­ко­сти $Oxy$, во­круг сво­ей оси. Се­че­ния плос­ко­стя­ми $Oxz$ и $Oyz$ – па­ра­бо­лы: $x^2=2pz, y=0$ (не­под­виж­ная) и $y^2=2qz, x=0$ (под­виж­ная).

Рис. 3.

Се­че­ния ги­пер­бо­лич. П. плос­ко­стя­ми $Oxz$ и $Oyz$ – па­ра­бо­лы: $x^2=2pz, y=0$ (не­под­виж­ная) и $y^2=-2qz, y=0$ (по­движ­ная). Се­че­ния плос­ко­стя­ми, па­рал­лель­ны­ми плос­ко­сти $Oxy$, – ги­пер­бо­лы (при $z=0$ – па­ра пе­ре­се­каю­щих­ся пря­мых). Че­рез ка­ж­дую точ­ку ги­пер­бо­лич. П. про­хо­дят две пря­мые, це­ли­ком при­над­ле­жа­щие его по­верх­но­сти, – пря­мо­ли­ней­ные об­ра­зую­щие, та­ким об­ра­зом, ги­пер­бо­лич. П. – ли­ней­ча­тая по­верх­ность, об­ра­зо­ван­ная дву­мя се­мей­ст­ва­ми пря­мых (рис. 3).

Вернуться к началу