ПАРАБОЛО́ИД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПАРАБОЛО́ИД (от парабола и греч. εἶδος – вид), незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка; существуют два вида П. – эллиптический П. (рис. 1) и гиперболический П. (рис. 2). Оба они могут быть представлены как поверхности, описываемые при движении одной (подвижной) параболы вдоль другой (неподвижной) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются параллельными сами себе. Эллиптич. П. получается, если обе параболы обращены вогнутостью в одну сторону, гиперболич. П. – если параболы обращены вогнутостью в разные стороны, поэтому гиперболич П. имеет вид седла.
В прямоугольной системе координат $Oxyz$ с началом в вершине П., ось $Oz$ которой является осью симметрии П., а плоскости $zOx$ и $Oyz$ – плоскостями симметрии П., уравнение П. имеет т. н. канонич. вид:$$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$$ для эллиптич. П. и $$\frac{x^2}{p}=\frac{x^2}{q}=2z$$для гиперболич. П., где $p>0, q>0$ – параметры.
Сечения эллиптич. П., параллельные плоскости $Oxy$, – эллипсы; сечения, параллельные оси $Oz$, – параболы. Если $p=q$, то П. является параболоидом вращения, который получается вращением параболы $x^2=2pz$, лежащей в плоскости $Oxy$, вокруг своей оси. Сечения плоскостями $Oxz$ и $Oyz$ – параболы: $x^2=2pz, y=0$ (неподвижная) и $y^2=2qz, x=0$ (подвижная).
Сечения гиперболич. П. плоскостями $Oxz$ и $Oyz$ – параболы: $x^2=2pz, y=0$ (неподвижная) и $y^2=-2qz, y=0$ (подвижная). Сечения плоскостями, параллельными плоскости $Oxy$, – гиперболы (при $z=0$ – пара пересекающихся прямых). Через каждую точку гиперболич. П. проходят две прямые, целиком принадлежащие его поверхности, – прямолинейные образующие, таким образом, гиперболич. П. – линейчатая поверхность, образованная двумя семействами прямых (рис. 3).
