Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОРТОГОНА́ЛЬНАЯ СИСТЕ́МА ФУ́НКЦИЙ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 24. Москва, 2014, стр. 478

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. Я. Виленкин

ОРТОГОНА́ЛЬНАЯ СИСТЕ́МА ФУ́НК­ЦИЙ, сис­те­ма функ­ций $\{\phi_n(x)\},n=1,2,\dots,$ ор­то­го­наль­ных с ве­сом $p(x) \gt 0$ на от­рез­ке $[a,b]$, т. е. та­ких, что $$\int^b_a \phi_m(x)\phi_n(x)p(x)dx=0 \quad\text{при}\quad m\neq n.$$Три­го­но­мет­рич. сис­те­ма: $1,\cos nx, \sin nx, n=1,2,\dots,$ да­ёт при­мер О. с. ф. с ве­сом $1$ на от­рез­ке $[-\pi,\pi]$.

Ес­ли ка­ж­дая функ­ция из О. с. ф. та­ко­ва, что $$\int^b_a\left |\phi_n(x)\right|^2p(x)dx=N_n=1$$(ус­ло­вие нор­ми­ро­ван­но­сти), то та­кая сис­те­ма функ­ций на­зы­ва­ет­ся ор­то­нор­ми­ро­ван­ной.

Лю­бую О. с. ф. мож­но от­нор­ми­ро­вать, ум­но­жив $\phi_n(x)$ на чис­ло $1/\sqrt{N_n}$ – нор­ми­рую­щий мно­жи­тель. Из лю­бой сис­те­мы ли­ней­но не­за­ви­си­мых функ­ций $\{f_k(x)\},k=1,2,\dots,$ для ка­ж­дой из ко­то­рых су­ще­ст­ву­ет ин­те­грал $$\int_a^b\left |f_k(x)\right |^2p(x)dx,$$мож­но по­стро­ить нор­ми­ро­ван­ную О. с. ф. Для это­го дос­та­точ­но рас­смот­реть ли­ней­ные ком­би­на­ции этих функ­ций $$\phi_n(x)=\sum^n_{k=1}C_{n,k}f_k(x)$$и оп­ре­де­лить ко­эф­фи­ци­ен­ты $C_{n,k}$ из ус­ло­вия ор­то­го­наль­но­сти $\phi_n(x)$ ко всем функ­ци­ям $f_k(x), 1\leq k \lt n,$ – из это­го сле­ду­ет ор­то­го­наль­ность $\phi_n(x)$ ко всем $\phi_k(x),1\leq k \lt n,$ – и ус­ло­вия нор­ми­ро­ван­но­сти (про­цесс ор­то­го­на­ли­за­ции). Напр., ор­то­го­на­ли­зуя с ве­сом $1$ на от­рез­ке $[-1,1]$ по­сле­до­ва­тель­ность функ­ций $1,x,x^2,\dots,$ при­хо­дят к Ле­жан­д­ра мно­го­чле­нам.

 

От­дель­ные клас­сы О. с. ф. изу­ча­лись ещё в 18 в. Напр., Л. Эй­лер и Д. Бер­нул­ли рас­смат­ри­ва­ли раз­ло­же­ния функ­ций в ря­ды по три­го­но­мет­рич. и др. сис­те­мам функ­ций. Ис­сле­до­ва­ния по тео­рии по­тен­циа­ла спо­соб­ст­во­ва­ли соз­да­нию тео­рии сфе­рич. функ­ций. Од­на­ко сис­те­ма­тич. изу­че­ние О. с. ф. свя­за­но с вве­де­ни­ем одного ме­то­да ре­ше­ния крае­вых за­дач урав­не­ний ма­те­ма­тич. фи­зи­ки. Этот ме­тод при­во­дит обыч­но к за­да­че о ра­зы­ска­нии зна­че­ний па­ра­мет­ра $\lambda$, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют не рав­ные то­ж­де­ст­вен­но ну­лю ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния ви­да $y''+q(x)y=\lambda y$, удов­ле­тво­ряю­щие гра­нич­ным ус­ло­ви­ям $y(a)+hy'(a)=0$, $y(b)+Hy'(b)=0$, где $h$, $H$ – по­сто­ян­ные (см. Штур­ма – Лиу­вил­ля за­да­ча). Со­от­вет­ст­вую­щие зна­че­ния $\lambda$ на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми, а ре­ше­ния – собственными функ­ция­ми за­да­чи. Мож­но по­ка­зать, что собств. функ­ции, со­от­вет­ст­вую­щие разл. собств. зна­че­ни­ям, ор­то­го­наль­ны с ве­сом $1$ на от­рез­ке $[a,b]$. Чрез­вы­чай­но важ­ный класс О. с. ф. от­крыт П. Л. Че­бы­ше­вым в его ис­сле­до­ва­ни­ях по ин­тер­по­ли­ро­ва­нию ме­то­дом наи­мень­ших квад­ра­тов и про­бле­ме мо­мен­тов (см. Че­бы­ше­ва мно­го­чле­ны).

Одной из осн. задач теории О. с. ф. является задача о разложении достаточно произвольной, удовлетворяющей некоторым ограничениям функции $f(x)$ в ряд вида $\sum^\infty_{n=1}C_n \phi_n (x)$, где $\{\phi_n(x)\}$ – О. с. ф. Ис­то­ри­че­ски к этой за­да­че при­вёл во­прос о воз­мож­но­сти раз­ло­же­ния лю­бой функ­ции по собств. функ­ци­ям, по­лу­чае­мым при при­ме­не­нии Фу­рье ме­то­да. Ес­ли по­ло­жить фор­маль­но $f(x)=\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$, где $\{\phi_n(x)\}$ – нор­ми­рован­ная О. с. ф., и до­пус­тить воз­мож­ность по­член­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния, то, ум­но­жая этот ряд на $\phi_n(x)p(x)$ и ин­тег­ри­руя от $a$ до $b$, по­лу­ча­ют $$C_n=\int^b_a f(x)\phi_n(x)p(x)dx. \quad\tag{*}$$Ко­эф­фи­ци­ен­ты $C_n$, на­зы­вае­мые ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Фу­рье функ­ции $f(x)$ от­но­си­тель­но сис­те­мы $\{\phi_n(x)\}$, об­ла­да­ют сле­дую­щим экс­тре­маль­ным свой­ст­вом: линей­ная фор­ма $\sum^n_{k=1}C_k \phi_k(x)$ наи­луч­шим об­ра­зом при­бли­жа­ет в сред­нем эту функ­цию. Ины­ми сло­ва­ми, сред­няя квад­ра­тич­ная ошиб­ка с ве­сом $p(x)$, т. е. $$\sigma_n=\int^b_a\left | f(x)-\sum^n_{k=1}C_k\phi_k(x)\right |^2p(x)dx=\int^b_a\left |f(x)\right |^2p(x)dx-\sum^n_{k=1}\left|C_k\right |^2,$$име­ет наи­мень­шее зна­че­ние по срав­не­нию с ошиб­ка­ми, да­вае­мы­ми при том же $n$ дру­ги­ми ли­ней­ны­ми вы­ра­же­ния­ми ви­да $\sum^n_{k=1}\gamma_k \phi_k(x)$. От­сю­да, в ча­ст­но­сти, полу­ча­ет­ся не­ра­вен­ст­во Бес­се­ля $$\sum^\infty_{k=1}\left |C_k\right |^2 \leq \int^b_a \left |f(x)\right |^2dx.$$

Ряд $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $C_n$, вы­чис­лен­ны­ми по фор­му­ле $(*)$, на­зы­ва­ют­ся ря­дом Фу­рье по О. с. ф. $\{\phi_n(x)\}$. Для при­ло­же­ний пер­во­сте­пен­ную важ­ность име­ет во­прос, оп­ре­де­ля­ет­ся ли од­но­знач­но функ­ция $f(x)$ свои­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Фу­рье. О. с. ф., для ко­то­рых это име­ет ме­сто, на­зы­ва­ют­ся пол­ны­ми или замк­ну­ты­ми. Ус­ло­вия замк­ну­то­сти О. с. ф. мо­гут быть да­ны в не­сколь­ких эк­ви­ва­лент­ных фор­мах: 1) лю­бая не­пре­рыв­ная функ­ция $f(x)$ мо­жет быть с лю­бой сте­пе­нью точ­но­сти при­бли­же­на в сред­нем ли­ней­ны­ми ком­би­на­ция­ми функ­ций $\phi_k(x)$, т. е. $\lim_{n \to\infty}\sigma_n=0$ (в этом слу­чае го­во­рят, что ряд $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ схо­дит­ся в сред­нем к функ­ции $f(x)$); 2) для вся­кой функ­ции $f(x)$, квад­рат ко­то­рой ин­тег­ри­ру­ем от­но­си­тель­но ве­са $p(x)$, вы­пол­ня­ет­ся ус­ло­вие замк­ну­то­сти Ля­пу­но­ва – Стек­ло­ва $$\sum^\infty_{n=1}\left |C_n\right |^2=\int^b_a\left |f(x)\right |^2p(x)dx;$$3) не су­ще­ст­ву­ет от­лич­ной от ну­ля функ­ции с ин­тег­ри­руе­мым на от­рез­ке $[a,b]$ квад­ра­том мо­ду­ля, ор­то­го­наль­ной ко всем функ­ци­ям $\phi_n(x),n=1,2,\dots$.

Пол­но­та три­го­но­мет­рич. сис­те­мы функ­ций бы­ла до­ка­за­на А. М. Ля­пу­но­вым (1896), а пол­но­та сис­те­мы соб­ст­вен­ных функ­ций урав­не­ния Штур­ма – Лиу­вил­ля ус­та­нов­ле­на В. А. Стек­ло­вым в ря­де ис­сле­до­ва­ний 1896–1919.

Из пол­но­ты сис­те­мы $\{\phi_n(x)\}$ не сле­ду­ет, во­об­ще го­во­ря, спра­вед­ли­вость со­отно­ше­ния $\lim_{n \to \infty}\sum^n_{k=1}C_k\phi_k=f(x)$, т. е. из схо­ди­мо­сти в сред­нем ря­да Фу­рье функ­ции $f(x)$ не сле­ду­ет его схо­ди­мость к $f(x)$ в ка­ж­дой точ­ке $x$. Од­на­ко для боль­шин­ст­ва встре­чаю­щих­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе О. с. ф. это со­от­но­ше­ние спра­вед­ли­во для всех дос­та­точ­но глад­ких функ­ций.

Глу­бо­кие ис­сле­до­ва­ния о схо­ди­мо­сти ря­да $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ про­вёл Д. Е. Меньшов, до­ка­зав­ший, что этот ряд схо­дится поч­ти всю­ду, ес­ли схо­дит­ся ряд $\sum^\infty_{n=1}\left |C_n\right |^2\ln^2n$, при­чём функ­ция $\ln^2n$ в об­щем слу­чае не мо­жет быть за­ме­не­на мед­лен­нее рас­ту­щей функ­ци­ей (для не­ко­то­рых О. с. ф. та­кая за­ме­на воз­мож­на; так, для три­го­но­мет­рич. сис­те­мы функ­ций мож­но вме­сто $\ln^2n$ взять $\ln n$).

Ес­ли рас­смат­ри­вать функ­ции с ин­тег­ри­руе­мым квад­ра­том мо­ду­ля как эле­мен­ты гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва, то нор­ми­ро­ван­ные О. с. ф. бу­дут сис­те­ма­ми ко­ор­ди­нат­ных ор­тов это­го про­стран­ст­ва, а раз­ло­же­ние функ­ции в ряд по нор­ми­ро­ван­ной О. с. ф. – раз­ло­же­ни­ем век­то­ра по ор­там. При та­ком под­хо­де мн. по­ня­тия нор­ми­ро­ван­ных О. с. ф. при­об­ре­та­ют на­гляд­ный гео­мет­рич. смысл. Напр., фор­му­ла $(*)$ оз­на­ча­ет, что про­ек­ция век­то­ра на орт рав­на ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию век­то­ра и ор­та; ус­ло­вие Ля­пу­но­ва – Стек­ло­ва мо­жет быть ис­тол­ко­ва­но как тео­ре­ма Пи­фа­го­ра для бес­ко­неч­но­мер­но­го про­стран­ст­ва: квад­рат дли­ны век­то­ра ра­вен сум­ме квад­ра­тов его про­ек­ций на оси ко­ор­ди­нат; замк­ну­тость О. с. ф. оз­на­ча­ет, что наи­мень­шее замк­ну­тое под­про­стран­ст­во, со­дер­жа­щее все век­то­ры этой сис­те­мы, сов­па­да­ет со всем про­стран­ст­вом и т. д.

Вернуться к началу