Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОПЕРАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 24. Москва, 2014, стр. 242

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ОПЕРАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, один из ме­то­дов ма­те­ма­тич. ана­ли­за, по­зво­ляю­щий в ря­де слу­ча­ев с по­мо­щью про­стых пра­вил ре­шать слож­ные за­да­чи. О. и. при­ме­ня­ет­ся в ав­то­ма­ти­ке, ме­ха­ни­ке, элек­тро­тех­ни­ке. В ос­но­ве О. и. ле­жит идея за­ме­ны изу­чае­мых функ­ций (ори­ги­на­лов) др. функ­ция­ми (изо­бра­же­ния­ми), по­лу­чае­мы­ми из пер­вых по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (обыч­но изо­бра­же­ние – функ­ция, по­лу­чае­мая из дан­ной с по­мо­щью Ла­п­ла­са пре­об­ра­зо­ва­ния). При та­кой за­ме­не опе­ра­тор $p=\frac{d}{dt}$ ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся как ал­геб­ра­ич. ве­ли­чи­на, вслед­ст­вие че­го ин­тег­ри­ро­ва­ние не­ко­то­рых клас­сов ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и ре­ше­ние ря­да др. за­дач ма­те­ма­тич. ана­ли­за сво­дит­ся к ре­ше­нию бо­лее про­стых ал­геб­ра­ич. за­дач. Так, ре­ше­ние ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния сво­дит­ся к бо­лее про­стой за­да­че ре­ше­ния ал­геб­ра­ич. урав­не­ния: из ал­геб­ра­ич. урав­не­ния на­хо­дят изо­бра­же­ние ре­ше­ния дан­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния, по­сле че­го по изо­бра­же­нию вос­ста­нав­ли­ва­ют са­мо ре­ше­ние. Опе­ра­ции на­хо­ж­де­ния изо­бра­же­ния по ори­ги­на­лу (и на­обо­рот) об­лег­ча­ют­ся на­ли­чи­ем об­шир­ных таб­лиц «ори­ги­нал – изо­бра­же­ние».

Для раз­ви­тия О. и. боль­шое зна­че­ние име­ли ра­бо­ты О. Хе­ви­сай­да. Он пред­ло­жил (1892) фор­маль­ные пра­ви­ла об­ра­ще­ния с опе­ра­то­ром $p=\frac{d}{dt}$ и не­ко­то­ры­ми функ­ция­ми от это­го опе­ра­то­ра. Поль­зу­ясь О. и., Хе­ви­сайд ре­шил ряд важ­ных за­дач элек­тро­ди­на­ми­ки, од­на­ко О. и. в его ра­бо­тах не по­лу­чи­ло ма­те­ма­тич. обос­но­ва­ния, мно­гие его ре­зуль­та­ты ос­та­ва­лись не­до­ка­зан­ны­ми.

Стро­гое обос­но­ва­ние О. и. бы­ло да­но с по­мо­щью ин­те­граль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния Ла­п­ла­са. Ес­ли при этом пре­об­ра­зо­ва­нии функ­ция $f(t)$, $0 \leq t \lt \infty$, пе­ре­хо­дит в функ­цию $F(z)$ ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z=x+iy$, то про­из­вод­ная $f'(t)$ пе­ре­хо­дит в функ­цию $zF(z)-f(0)$, а ин­теграл $\int_0^t f(u)du$ пе­ре­хо­дит в функ­цию $\frac{F(z)}{z}$, т. е. опе­ра­тор диф­фе­рен­ци­ро­вания $p$ пе­ре­хо­дит в опе­ра­тор ум­но­же­ния на пе­ре­мен­ную $z$, а ин­тег­ри­ро­ва­ние сво­дит­ся к де­ле­нию на $z$. В сле­дую­щей крат­кой таб­ли­це да­ны ещё несколько со­от­вет­ст­вий.

Ори­ги­налИзо­бра­же­ние
$1$$1/z$
$t^n$ $n!/z^{n+1}(n\gt 0 - \text{целое})$
 $e^{\lambda t}$ $1/(z- \lambda)$
 $\cos \omega t$ $z/(z^2 + \omega^2)$
 $\sin \omega t$ $\omega /(z^2 + \omega^2).$

При­мер. Най­ти с по­мо­щью О. и. ре­ше­ние $y=f(t)$ ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния $$y''-y'-6y=2e^{4t}$$при на­чаль­ных ус­ло­ви­ях $$y_0=f(0)=0 \ \text {и} \ y'_0=f'(0)=0.$$Пе­ре­хо­дя от ис­ко­мой функ­ции $f(t)$ и дан­ной функ­ции $2e^{4t}$ к их изо­бра­же­ни­ям $F(z)$ и $2/(z-4)$ (последняя берётся из табл.) и при­ме­няя фор­му­лу для изо­бра­же­ния про­из­вод­ной, по­лу­ча­ют ал­геб­ра­ич. урав­не­ние $$z^2F(z)-zF(z)-6F(z)=\frac{2}{z-4}$$ или $$F(z)=\frac{2}{(z+2)(z-3)(z-4)}=\frac{1}{15}\frac{1}{z+2}-\frac{2}{5}\frac{1}{z-3}+\frac{1}{3}\frac{1}{z-4}.$$ От­сю­да (опять по табл.) $$y=f(t)=\frac{1}{15}e^{-2t}-\frac{2}{5}e^{3t}+\frac{1}{3}e^{4t}.$$

Име­ют­ся разл. обоб­ще­ния О. и. Су­ще­ст­ву­ет мно­го­мер­ное О. и., ос­но­ван­ное на тео­рии крат­ных ин­те­гра­лов. Соз­да­ны О. и. для диф­фе­рен­ци­аль­ных опера­то­ров, от­лич­ных от опе­ра­то­ра $p=\frac{d}{dt}$, напр. для опе­ра­то­ра $B=\frac{d}{dt}t\frac{d}{dt}$.

Лит.: Дит­кин ВА., Пруд­ни­ков АП. Спра­воч­ник по опе­ра­ци­он­но­му ис­чис­ле­нию. М., 1965; они же. Ин­те­граль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния и опе­ра­ци­он­ное ис­чис­ле­ние. 2-е изд. М., 1974.

Вернуться к началу