Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОСО́БАЯ ТО́ЧКА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 24. Москва, 2014, стр. 557

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. В. Немыцкий

ОСО́БАЯ ТО́ЧКА диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния, точ­ка, в ко­то­рой од­но­вре­мен­но об­ра­ща­ют­ся в нуль и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель пра­вой час­ти диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния $$\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}, \quad\tag{*}$$где $P$ и $Q$ – не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мые функ­ции. Пред­по­ла­гая О. т. рас­по­ло­жен­ной в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ис­поль­зуя фор­му­лу Тей­ло­ра, урав­не­ние $(*)$ мож­но пред­ста­вить в ви­де $$\frac{dy}{dx}=\frac{\gamma x+\delta y +P_1(x,y)}{\alpha x +\beta y+ Q_1(x,y)},$$где $P_1(x,y)$ и $Q_1(x,y)$ – бес­ко­неч­но малые по от­но­ше­нию к $\sqrt{x^2+y^2}$. Ха­рак­тер по­ве­де­ния ин­те­граль­ных кри­вых око­ло О. т. за­ви­сит от кор­ней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ ха­рак­те­ри­стич. урав­не­ния $$ \begin{vmatrix} \alpha-\lambda & \beta\\ \gamma & \delta-\lambda\\ \end{vmatrix}= 0. $$ Точ­нее, ес­ли $\lambda_1 \neq \lambda_2$ и $\lambda_1\lambda_2 \gt 0$ или $\lambda_1=\lambda_2$, то О. т. есть узел; все ин­те­граль­ные кри­вые, про­хо­дя­щие че­рез точ­ки дос­та­точ­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти уз­ла, вхо­дят в не­го. Ес­ли $\lambda_1 \neq \lambda_2$ и $\lambda_1\lambda_2 \lt 0$ , то О. т. есть сед­ло; в ок­ре­ст­но­сти сед­ла че­ты­ре ин­те­граль­ные кри­вые (се­па­рат­ри­сы) вхо­дят в О. т., а ме­ж­ду ни­ми рас­по­ла­га­ют­ся ин­те­граль­ные кри­вые ти­па ги­пер­бо­лы. Ес­ли $\lambda_{1,2}=-a \pm ib, a \neq 0, b \neq 0$, то О. т. есть фо­кус; все ин­те­граль­ные кри­вые, про­хо­дя­щие че­рез точ­ки дос­та­точ­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти фо­ку­са, пред­став­ля­ют со­бой спи­ра­ли с бес­ко­неч­ным чис­лом вит­ков в лю­бой сколь угод­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти фо­ку­са. Ес­ли, на­ко­нец, $\lambda_{1,2}=\pm ib$$b \neq 0$, то ха­рак­тер О. т. не оп­ре­де­ля­ет­ся од­ни­ми ли­ней­ны­ми чле­на­ми в раз­ло­же­ни­ях $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, как это име­ло ме­сто во всех пе­ре­чис­лен­ных слу­ча­ях; здесь О. т. мо­жет быть фо­ку­сом или цен­тром, а мо­жет иметь и бо­лее слож­ный ха­рак­тер. В ок­ре­ст­но­сти цен­тра все ин­те­граль­ные кри­вые яв­ля­ют­ся замк­ну­ты­ми и со­дер­жат центр внут­ри се­бя.

Рис. 1.

Так, напр., начало координат яв­ля­ет­ся уз­лом для урав­не­ний $y'=2y/x$ ($\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$; рис. 1, а) и $y'=y/x$ ($\lambda_1=\lambda_2=1$; рис. 1, б), сед­лом для урав­не­ния $y'=-y/x$ ($\lambda_1=-1$, $\lambda_2=1$; рис. 2), фо­ку­сом для урав­не­ния $y'=(x+y)/(x-y)$ ($\lambda_1=1-i$, $\lambda_2=1+i$; рис. 3) и цен­тром для урав­не­ния $y'=-x/y$ ($\lambda_1=-i$, $\lambda_2=i$; рис. 4).

Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

Ес­ли $\Delta= \begin{vmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\\ \end{vmatrix}= 0$ , то О. т. на­зы­ва­ется О. т. выс­ше­го по­ряд­ка. О. т. выс­ше­го по­ряд­ка мо­гут при­над­ле­жать к ука­зан­ным ти­пам, но мо­гут иметь и бо­лее слож­ный ха­рак­тер. В слу­чае ко­гда функ­ции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ ана­ли­ти­че­ские, ок­ре­ст­ность О. т. выс­ше­го по­ряд­ка мо­жет рас­па­дать­ся на об­лас­ти: $D_1$ – за­пол­нен­ные ин­те­граль­ны­ми кри­вы­ми, обо­и­ми кон­ца­ми вхо­дя­щи­ми в О. т. (эл­лип­тич. об­лас­ти), $D_2$ – за­пол­нен­ные ин­те­граль­ны­ми кри­вы­ми, од­ним кон­цом вхо­дя­щи­ми в О. т. (па­ра­бо­лич. об­лас­ти), и $D_3$ – об­лас­ти, ог­ра­ни­чен­ные дву­мя ин­те­граль­ны­ми кри­вы­ми, вхо­дя­щи­ми в О. т., ме­ж­ду ко­то­ры­ми рас­по­ло­же­ны ин­те­граль­ные кри­вые ти­па ги­пер­бол (ги­пер­бо­лич. об­лас­ти) (рис. 5). Ес­ли нет ин­те­граль­ных кри­вых, вхо­дя­щих в О. т., то О. т. на­зы­ва­ет­ся точ­кой ус­той­чи­во­го ти­па. Ок­ре­ст­ность ус­той­чи­вой О. т. со­сто­ит из замк­ну­тых ин­те­граль­ных кри­вых, со­дер­жа­щих О. т. внут­ри се­бя, ме­ж­ду ко­то­ры­ми рас­по­ло­же­ны спи­ра­ли (рис. 6).

Изу­че­ние О. т. диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, т. е. по су­ще­ст­ву изу­че­ние по­ве­де­ния се­мейств ин­те­граль­ных кри­вых в ок­ре­ст­но­сти О. т., со­став­ля­ет один из раз­де­лов ка­че­ст­вен­ной тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и иг­ра­ет важ­ную роль в при­ло­же­ни­ях, в ча­ст­но­сти в во­про­сах ус­той­чи­во­сти дви­же­ния.

Вернуться к началу