Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

О́БЩИЙ ИНТЕГРА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 579-580

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. Х. Розов

О́БЩИЙ ИНТЕГРА́Л сис­те­мы обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $n$-го по­ряд­ка $$x_i′=f_i(t,x_1,...,x_n), i=1,...,n, \tag 1$$в об­лас­ти $G$, со­во­куп­ность $n$ со­от­но­ше­ний$$Φ_i(t,x_1,...,x_n)=C_i, \quad i=1,...,n,\tag 2$$со­дер­жа­щая $n$ па­ра­мет­ров $(C_1,...,C_n)∈ ∈C⊂\mathbf R^n$и в не­яв­ном ви­де опи­сы­ваю­щая се­мей­ст­во функ­ций, со­став­ляю­щих об­щее ре­ше­ние этой сис­те­мы в об­лас­ти $G$. Час­то О. и. сис­те­мы (1) на­зы­ва­ют не со­от­но­ше­ния (2), а со­во­куп­ность функ­ций$$Φ_i(t,x_1,...,x_n), \quad i=1,...,n.\tag 3$$

Ка­ж­дое из со­от­но­ше­ний (2) [или ка­ж­дая из функ­ций (3)] на­зы­ва­ет­ся пер­вым ин­те­гра­лом сис­те­мы (1). Ино­гда под О. и. сис­те­мы (1) по­ни­ма­ют со­во­куп­ность бо­лее об­щих, чем (2), со­от­но­ше­ний $$Φ_i(t,x_1,...,x_n, C_1,...,C_n)=0, \quad i=1,...,n.$$

В слу­чае обык­но­вен­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния $n$-го по­ряд­ка$$y^{(n)}=f(x, y, y′ ,...,y^{(n-1)})$$

О. и. в об­лас­ти $G$ пред­став­ля­ет со­бой од­но со­от­но­ше­ние с $n$ па­ра­мет­ра­ми$$Φ(x,y,C_1,...,C_n)=0,$$в ви­де не­яв­ной функ­ции опи­сы­ваю­щее об­щее ре­ше­ние это­го урав­не­ния в об­лас­ти $G$.

О. и. диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 1-го по­ряд­ка на­зы­ва­ет­ся со­от­но­ше­ние ме­ж­ду пе­ре­мен­ны­ми, вхо­дя­щи­ми в урав­не­ние, со­дер­жа­щее од­ну про­из­воль­ную функ­цию и оп­ре­де­ляю­щее при ка­ж­дом вы­бо­ре этой функ­ции ре­ше­ние урав­не­ния.

Вернуться к началу