Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

О́БЩЕЕ РЕШЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 555

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. Х. Розов

О́БЩЕЕ РЕШЕ́НИЕ сис­те­мы обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $n$-го по­ряд­ка$$x′=f(t,x), \quad x=(x1,...,xn)∈\mathbf R^n, \tag 1$$в об­лас­ти $G$ – глад­кое по $t$ и не­пре­рыв­ное по со­во­куп­но­сти па­ра­мет­ров $n$-па­ра­мет­ри­че­ское се­мей­ст­во век­тор-функ­ций $x=φ(t,C1,...,Cn),$$$(C_1,...,C_n)∈C⊂\mathbf R^n,\ tag 2$$от­ку­да при со­от­вет­ст­вую­щем вы­бо­ре зна­че­ний па­ра­мет­ров по­лу­ча­ет­ся лю­бое ре­ше­ние сис­те­мы, гра­фик ко­то­ро­го про­хо­дит в об­лас­ти $G⊂D$; здесь $D⊂Rn^{+1}$ – об­ласть, где вы­пол­не­ны ус­ло­вия су­ще­ст­во­ва­ния и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния для сис­те­мы (1). (Ино­гда пред­по­ла­га­ет­ся, что па­ра­мет­ры мо­гут при­ни­мать и зна­че­ния $±∞.$) Гео­мет­ри­че­ски О. р. сис­те­мы (1) в об­лас­ти $G$ пред­став­ля­ет со­бой се­мей­ст­во не­пе­ре­се­каю­щих­ся ин­те­граль­ных кри­вых этой сис­те­мы, пол­но­стью за­ме­таю­щее эту об­ласть.

О. р. сис­те­мы (1) в об­лас­ти $G$ по­зво­ля­ет най­ти ре­ше­ние за­да­чи Ко­ши для этой сис­те­мы с на­чаль­ным ус­ло­ви­ем $x(t_0)=x^0, (t_0,x_0)∈G:$ нуж­но из сис­те­мы $n$ ра­венств $x_0=φ (t_0,C_1,...,C_n)$ оп­ре­де­лить зна­че­ния $n$ па­ра­мет­ров $C_1,...,C_n$ и под­ста­вить эти зна­че­ния в (2). Ес­ли $x=ψ(t,t_0,x_0)$ – ре­ше­ние сис­те­мы (1), удов­ле­тво­ряю­щее ус­ло­вию $x(t_0)=x^0$, $(t_0,x^0)∈D$, то $n$-па­ра­мет­ри­че­ское се­мей­ст­во$$x=ψ(t,t_0,x^0_1, \ldots, x^0_1),$$где $t_0$ – фик­си­ро­ван­ное чис­ло, а $x_1^0,...,x_n^0$ рас­смат­ри­ва­ют­ся как па­ра­мет­ры, яв­ля­ет­ся О. р. сис­те­мы (1) в не­ко­то­рой об­лас­ти $G⊂D$ и на­зы­ва­ет­ся О. р. в фор­ме Ко­ши. Зна­ние О. р. по­зво­ля­ет од­но­знач­но вос­ста­но­вить сис­те­му диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний: для это­го на­до из $n$ соот­но­ше­ний (2) и из $n$ со­от­но­ше­ний, по­лу­чаю­щих­ся диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем со­от­но­ше­ний (2) по $t$, ис­клю­чить $n$ па­ра­мет­ров $C_1,...,C_n$.

В слу­чае обык­но­вен­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния $n$-го по­ряд­ка$$y^{(n)}=f(x,y,y′ ,...,y^{(n-1)} \tag 3$$

О. р. в об­лас­ти $G$ име­ет вид $n$-па­ра­мет­ри­че­ско­го се­мей­ст­ва функ­ций$$y=φ(x,C_1,...,C_n),$$$$(C_1,...,C_n)∈C⊂\mathbf R_n,\tag 4$$из ко­то­ро­го при со­от­вет­ст­вую­щем вы­бо­ре зна­че­ний па­ра­мет­ров по­лу­ча­ет­ся ре­ше­ние урав­не­ния (3) с лю­бы­ми на­чаль­ны­ми ус­ло­вия­ми$$y(x_0)=y_0, y′(x_0)=y_0′ ,...,y^{(n–1)},$$$$(x_0, y_0, y'_0,...,y_0^{(n–1)})∈G⊂D;$$здесь $D⊂R^{n+1}$ – об­ласть, где вы­пол­не­ны ус­ло­вия су­ще­ст­во­ва­ния и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния для урав­не­ния (3).

Функ­ция, по­лу­чаю­щая­ся из О. р. при кон­крет­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров, на­зы­ва­ет­ся ча­ст­ным ре­ше­ни­ем. Се­мей­ст­во функ­ций, со­дер­жа­щее все ре­ше­ния дан­ной сис­те­мы (урав­не­ния) в не­ко­то­рой об­лас­ти, не все­гда уда­ёт­ся вы­ра­зить в ви­де яв­ной функ­ции не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной. Это се­мей­ст­во мо­жет ока­зать­ся за­пи­сан­ным в ви­де не­яв­ной функ­ции – и то­гда оно на­зы­ва­ет­ся об­щим ин­те­гра­лом – или в па­ра­мет­рич. ви­де.

Ес­ли кон­крет­ное диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние (3) до­пус­ка­ет ин­тег­ри­ро­ва­ние в замк­ну­той фор­ме, т. е. его ре­ше­ние мож­но пред­ста­вить в ви­де яв­ной ана­ли­тич. фор­му­лы, то час­то уда­ёт­ся по­лу­чить со­от­но­ше­ние ти­па (4), где па­ра­мет­ры воз­ни­ка­ют как по­сто­ян­ные ин­тег­ри­ро­ва­ния и ока­зы­ва­ют­ся про­из­воль­ны­ми по­сто­ян­ны­ми. По­это­му час­то го­во­рят, что О. р. урав­не­ния $n$-го по­ряд­ка со­дер­жит $n$ про­из­воль­ных по­сто­ян­ных. Од­на­ко та­кое со­от­но­ше­ние да­ле­ко не все­гда есть О. р. во всей об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ния и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния за­да­чи Ко­ши для ис­ход­но­го урав­не­ния.

Лит.: Еру­гин НП. Кни­га для чте­ния по об­ще­му кур­су диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. 3-е изд. Минск, 1979; Сте­па­нов ВВ. Курс диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. 10-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу