Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОБРА́ТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 538-539

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. В. Сидоров

ОБРА́ТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ (арк­функ­ции, кру­го­вые функ­ции), функ­ции, об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ским функ­ци­ям. Зна­че­ния О. т. ф. яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем сле­дую­щей за­да­чи: най­ти чис­ло по за­дан­но­му зна­че­нию его три­го­но­мет­рич. функ­ции. Шес­ти осн. три­го­но­мет­рич. функ­ци­ям со­от­вет­ст­ву­ют шесть О. т. ф.: арк­си­нус, арк­ко­си­нус, арк­тан­генс, арк­ко­тан­генс, арк­се­канс, арк­ко­се­канс (на­зва­ния про­ис­хо­дят от лат. arc – ду­га), они обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но $\textrm{Arcsin}\,x, \textrm{Arccos}\,x, \textrm{Arctan}\,x, \textrm{Arccot}\,x, \textrm{Arcsec}\,x, \textrm{Arccosec}\,x $(две по­след­ние функ­ции ма­ло упот­ре­би­тель­ны и да­лее не рас­смат­ри­ва­ют­ся). Со­глас­но это­му оп­ре­де­ле­нию, напр., ве­ли­чи­на $y=\textrm{Arcsin}\,x$ есть ре­ше­ние урав­не­ния $\sin y=x$, т. е. $y$ есть дли­на ду­ги, си­нус ко­то­рой ра­вен $x$, т. о., $\sin(\textrm{Arcsin}\,x)=x$. По­сколь­ку три­го­но­мет­рич. функ­ции пе­рио­дич­ны, об­рат­ные к ним функ­ции явля­ют­ся мно­го­знач­ны­ми. Оп­ре­де­лён­ные од­но­знач­ные вет­ви (глав­ные вет­ви) О. т. ф. обо­зна­ча­ют­ся $\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \textrm{arccot}\,x$; их дру­гие обо­зна­че­ния –$\sin^{–1}x, \cos^{–1}x, \tan^{–1}x, \cot^{–1}x.$

Таб­ли­ца 1. Свой­ст­ва об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
ФункцияОбласть определенияМножество значенийМонотонность
$\arcsin x$$-1⩽x⩽1$$\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]$возрастает
$\arccos x$$-1⩽x⩽1$$[0, \pi]$убывает
$\arctan x$$-\infty \lt x +\infty$$\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]$возрастает
$\textrm {arccot}\,x$$-\infty \lt x \lt +\infty$$[0, \pi]$убывает

Таб­ли­ца 2. Зна­че­ния об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций арк­си­нус и арк­ко­си­нус
Аргумент
                                        Функция
$$\arcsin x$$$$\arccos x$$
$$-1$$$$-\frac{\pi}{2}$$$$\pi$$
$$-\frac{\sqrt3}{2}$$$$-\frac{\pi}{3}$$$$\frac{5\pi}{6}$$
$$-\frac{\sqrt 2}{2}$$$$-\frac{\pi}{4}$$$$\frac{3\pi}{4}$$
$$-\frac{1}{2}$$$$-\frac{\pi}{6}$$$$\frac{2\pi}{3}$$
$$0$$$$0$$$$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{1}{2}$$$$\frac{\pi}{6}$$$$\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\sqrt 2}{2}$$$$\frac{\pi}{4}$$$$\frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\sqrt 3}{2}$$$$\frac{\pi}{3}$$$$\frac{\pi}{6}$$
$$1$$$$-\frac{\pi}{2}$$$$0$$
 


Таб­ли­ца 3. Зна­че­ния об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций арк­тан­генс и арк­ко­тан­генс



Аргумент


         Функция

$$\arctan x$$$$\textrm{arccot}\,x $$
$$-\infty$$$$-\frac{\pi}{2}$$$$\pi$$
$$-\sqrt3$$$$-\frac{\pi}{3}$$$$\frac{5\pi}{6}$$
$$-1$$$$-\frac{\pi}{4}$$$$\frac{3\pi}{4}$$
$$-\frac{\sqrt3}{3}$$$$-\frac{\pi}{6}$$$$\frac{2\pi}{3}$$
$$0$$$$0$$$$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{\sqrt3}{3}$$$$\frac{\pi}{6}$$$$\frac{\pi}{3}$$
$$1$$$$\frac{\pi}{4}$$$$\frac{\pi}{4}$$
$$\sqrt 3$$$$\frac{\pi}{3}$$$$\frac{\pi}{6}$$
$$+\infty$$$$\frac{\pi}{2}$$$$0$$
 

Впер­вые спец. сим­во­лы для О. т. ф. ис­поль­зо­вал Д. Бер­нул­ли (1729, 1736), совр. обо­зна­че­ния для О. т. ф. вве­ли в 1772 австр. ма­те­ма­тик К. Шер­фер и Ж. Ла­гранж.

Об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го  $arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx$ оп­ре­де­ля­ют­ся как об­рат­ные к функ­ци­ям $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$, за­данным со­от­вет­ст­вен­но на про­ме­жут­ках $[-π/2, π/2], [0, π], (-π/2, π/2), (0, π)$. Т. о., ра­вен­ст­во$$y=\arcsin x$$оз­на­ча­ет, что $\sin y=x$ и $-π/2 \leqslant y \leqslant π/2:$$$\{ y=\arcsin x \} ⇔ \{ \sin y=x, -π/2 \leqslant y \leqslant π/2 \}.$$

Ана­ло­гич­но,$$\{ y= \arccos x \} ⇔ \{ \cos y=x, 0 \leqslant y \leqslant π \}, \\ \{ y= \arctan x \} ⇔ \{ \tan y=x, -\pi/2 \lt y \lt \pi/2 \}, \\ \{y = \arctan x \} ⇔ \{\cot y=x, 0 \lt y \lt \pi \}.$$ Эти О. т. ф. од­но­знач­ны, не­пре­рыв­ны и их свой­ст­ва вы­те­ка­ют из свойств три­го­но­мет­рич. функ­ций (табл. 1). Зна­че­ния О. т. ф. для не­ко­то­рых зна­че­ний ар­гу­мен­та при­ве­де­ны в таблицах 2 и 3. Гра­фи­ки О. т. ф. см. на рис. О. т. ф. бес­конеч­но диф­фе­рен­ци­руе­мы и в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой внут­рен­ней точ­ки сво­ей об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния мо­гут быть раз­ло­же­ны в ря­ды Тей­ло­ра. О. т. ф. свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми: $$\arcsin x+ \arccos x = π/2, -1\leqslant x \leqslant 1,\\ \arctan x + \textrm{arccot} x=π/2, -∞ \lt x \lt \infty,$$по­это­му функ­ции $\arccos x$ и $\textrm{arccot}\,x$ в табл. 4 не фи­гу­ри­ру­ют.

Таблица 4. Производные, неопределённые интегралы и разложения в ряды обратных тригонометрических функций
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
$$(\textrm{arccot}\,x)'=\frac{1}{1+x^2},$$
$$\int \arcsin x\quad dx=x\quad \arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,$$
$$\int \arctan x \quad dx=x\quad \arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$
$$\arcsin x=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, |x|<1,$$
$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}, |x|<1.$$
 

Для мно­го­знач­ных О. т. ф. спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва:$$\textrm{Arcsin}\,x = (-1)^n \arcsin x + \pi n, \\ \textrm{Arccos}\,x = \pm \arccos x + 2\pi n, \\ \textrm{Arctan}\,x = \arctan x + \pi n,\\ \textrm{Arccot}\,x = \textrm{arccot}\,x +\pi n,$$где $n=0, ±1, ±2,....$

Об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z=x+iy$ оп­ре­де­ля­ют­ся как ана­ли­тич. про­дол­же­ния со­от­вет­ст­вую­щих О. т. ф. дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го в ком­плекс­ную плос­кость. Они мо­гут быть вы­ра­же­ны че­рез ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию $\textrm{Ln}\,z$:$$\textrm{Arcsin}\,z=-i \textrm{Ln}(z+\sqrt{1-z^2},\\ \textrm{Arccos}\,z=-i\textrm{Ln}(z+\sqrt{z^2-1,}\\ \textrm{Arctan}\,z=\frac{i}{2}\textrm{Ln}\frac{1-iz}{1+iz},\\ \textrm{Arccot}\,z=\frac{i}{2}\textrm{Ln}\frac{z-i}{z+i}.$$

Вернуться к началу