Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 536-537

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА, тео­ре­ма, ус­ло­ви­ем ко­то­рой слу­жит за­клю­че­ние ис­ход­ной (пря­мой) тео­ре­мы, а за­клю­че­ние – ус­ло­ви­ем. Об­рат­ной к О. т. яв­ля­ет­ся ис­ход­ная (пря­мая) тео­ре­ма. Т. о., пря­мая и О. т. вза­им­но об­рат­ны. Напр., тео­ре­мы «ес­ли два уг­ла тре­уголь­ни­ка рав­ны, то их бис­сек­три­сы рав­ны» и «ес­ли две бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка рав­ны, то со­от­вет­ст­вую­щие им уг­лы рав­ны» яв­ля­ют­ся об­рат­ны­ми друг дру­гу. Из спра­вед­ли­во­сти к.-л. тео­ре­мы, во­об­ще го­во­ря, не сле­ду­ет спра­вед­ли­вость об­рат­ной к ней тео­ре­мы. Напр., тео­ре­ма «ес­ли чис­ло де­лит­ся на 6, то оно де­лит­ся и на 3» вер­на, а О. т. «ес­ли чис­ло де­лит­ся на 3, то оно де­лит­ся и на 6» не­вер­на. Да­же ес­ли О. т. вер­на, для её до­ка­за­тель­ст­ва мо­гут ока­зать­ся не­дос­та­точ­ны­ми сред­ства, ис­поль­зуе­мые при до­ка­за­тель­ст­ве пря­мой тео­ре­мы. Напр., в евк­ли­до­вой гео­мет­рии вер­ны как тео­ре­ма «две пря­мые, имею­щие об­щий пер­пен­ди­ку­ляр, не пе­ре­се­ка­ют­ся», так и об­рат­ная к ней тео­ре­ма «две не­пе­ре­се­каю­щие­ся пря­мые на плос­ко­сти име­ют об­щий пер­пен­ди­ку­ляр». Од­на­ко вто­рая (об­рат­ная) тео­ре­ма ос­но­вы­ва­ет­ся на евк­ли­до­вой ак­сио­ме о па­рал­лель­ных, то­гда как для до­ка­за­тель­ст­ва пер­вой эта ак­сио­ма не нуж­на. В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го вто­рая тео­ре­ма про­сто не­вер­на, то­гда как пер­вая ос­та­ёт­ся в си­ле. О. т. рав­но­силь­на тео­ре­ме, про­ти­во­по­лож­ной к пря­мой, т. е. тео­ре­ме, в ко­то­рой ус­ло­вие и за­клю­че­ние пря­мой тео­ре­мы за­ме­не­ны их от­ри­ца­ния­ми. По­это­му пря­мая тео­ре­ма рав­но­силь­на тео­ре­ме, про­ти­во­по­лож­ной к об­рат­ной, т. е. тео­ре­ме, ут­вер­ждаю­щей, что ес­ли не­вер­но за­клю­че­ние пер­вой тео­ре­мы, то не­вер­но и её ус­ло­вие. Из­вест­ный спо­соб «до­ка­за­тель­ст­ва от про­тив­но­го» как раз пред­став­ля­ет со­бой за­ме­ну до­ка­за­тель­ст­ва пря­мой тео­ре­мы до­ка­за­тель­ст­вом тео­ре­мы, про­ти­во­по­лож­ной к об­рат­ной. Спра­вед­ли­вость обе­их вза­им­но об­рат­ных тео­рем оз­на­ча­ет, что вы­пол­не­ние ус­ло­вия лю­бой из них не толь­ко дос­та­точ­но, но и не­об­хо­ди­мо для спра­вед­ли­во­сти за­клю­че­ния (см. Не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия).

Вернуться к началу