Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НУЛЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 384

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




НУЛЬ (от лат. nullus – ни­ка­кой), чис­ло, об­ла­даю­щее тем свой­ст­вом, что лю­бое чис­ло при сло­же­нии с ним не ме­ня­ет­ся, обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом 0. Про­из­ве­де­ние лю­бо­го чис­ла a на Н. рав­но Н.: a·0=a=0. Ес­ли про­из­ве­де­ние двух дей­ст­ви­тель­ных или ком­плекс­ных чи­сел рав­но Н., то хо­тя бы один из со­мно­жи­те­лей ра­вен Н.: из ab=0 сле­ду­ет, что или a=0, или b=0. Де­ле­ние на Н. не­воз­мож­но.

В ком­му­та­тив­ной ад­ди­тив­но за­пи­сы­вае­мой груп­пе Н. на­зы­ва­ет­ся эле­мент 0, для ко­то­ро­го a+0=0+a=a, где a – лю­бой эле­мент груп­пы. В коль­це (см. Ко­лец тео­рия) Н. оп­ре­де­ля­ет­ся ана­ло­гич­но; там для Н. все­гда вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ст­во a·0=a=0. Од­на­ко ес­ли про­из­ве­де­ние двух эле­мен­тов коль­ца рав­но Н., то из это­го не сле­ду­ет, что один из со­мно­жи­те­лей ра­вен Н.; ес­ли ab=0, при­чём a 0 и b0, то эле­мен­ты a и b на­зы­ва­ют­ся де­ли­те­ля­ми ну­ля.

Н. функ­ции – точ­ка x0, в ко­то­рой за­дан­ная функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в нуль, т. е. f(x0)=0. Напр., для функ­ции 3x-2 Н. яв­ля­ет­ся точ­ка x0=2/3. Не­ко­то­рые функ­ции не име­ют Н., напр. ex, у дру­гих, напр. у три­го­но­мет­ри­че­ских, бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во Н. Н. функ­ции f(x) – то же са­мое, что кор­ни урав­не­ния f(x)=0. Чис­ло x0 на­зы­ва­ет­ся m-крат­ным Н. (Н. по­ряд­ка m, m – на­ту­раль­ное чис­ло) мно­го­чле­на P, ес­ли x0 – m-крат­ный ко­рень урав­не­ния P(x0)=0, т. е. мно­го­член P(x)=(x-x0)mQ(x), где мно­го­член Q(x0)0. При m=1 ко­рень на­зы­ва­ет­ся про­стым. Н. функ­ции од­но­го пе­ре­мен­но­го f(x) яв­ля­ют­ся точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния её гра­фи­ка с осью абс­цисс или точ­ка­ми ка­са­ния гра­фи­ка и этой оси. Напр., функ­ция f(x)=x3- 4x2+ 4x (рис.) име­ет два Н. – про­стой (в точ­ке x1=0) и дву­крат­ный (в точ­ке x2=2); функ­ция f(x)=sinx име­ет счёт­ное мно­же­ст­во про­стых Н. – в точ­ках 0,±π ,± 2π ,... .

Н. ана­ли­ти­че­ской функ­ции f(z) од­но­го ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го z яв­ля­ют­ся изо­ли­ро­ван­ны­ми точ­ка­ми. Для ка­ж­до­го Н. z0 су­ще­ст­ву­ет на­ту­раль­ное чис­ло m – по­ря­док Н. – та­кое, что f(z0)=0, f (z0)=0, ..., f(m-1)(z0)=0, но f(m)(z0)0; напр., для Н. функ­ции 1-cosz по­ря­док m=2. На­про­тив, ана­ли­тич. функ­ции f(z1,...,zn) мно­гих ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных не мо­гут иметь изо­ли­ро­ван­ных ну­лей.

Вернуться к началу