Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НЕЕВКЛИ́ДОВЫ ГЕОМЕ́ТРИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 22. Москва, 2013, стр. 274-276

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. В. Ефимов

НЕЕВКЛИ́ДОВЫ ГЕОМЕ́ТРИИ, гео­мет­рич. сис­те­мы, от­лич­ные от гео­мет­рии Евк­ли­да; од­на­ко обыч­но тер­мин «Н. г.» при­ме­ня­ет­ся лишь к гео­мет­рич. сис­те­мам (от­лич­ным от гео­мет­рии Евк­ли­да), в ко­то­рых оп­ре­де­ле­но дви­же­ние фи­гур, при­чём с той же сте­пе­нью сво­бо­ды, что и в евк­ли­до­вой гео­мет­рии (см. Гео­мет­рия, Пя­тый по­сту­лат). При этом сте­пень сво­бо­ды дви­же­ния фи­гур в евк­ли­до­вой плос­ко­сти ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что ка­ж­дая фи­гу­ра без из­ме­не­ния рас­стоя­ний ме­ж­ду её точ­ка­ми мо­жет быть пе­ре­ме­ще­на так, что­бы лю­бая вы­бран­ная её точ­ка за­ня­ла лю­бое за­ра­нее за­дан­ное по­ло­же­ние; кро­ме то­го, ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет вра­щать­ся во­круг лю­бой сво­ей точ­ки. В евк­ли­до­вом трёх­мер­ном про­стран­ст­ве ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет быть пе­ре­ме­ще­на так, что­бы лю­бая вы­бран­ная её точ­ка за­ня­ла лю­бое за­ра­нее за­дан­ное по­ло­же­ние; по­ми­мо это­го, ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет вра­щать­ся во­круг лю­бой оси, про­хо­дя­щей че­рез лю­бую её точ­ку.

Сре­ди Н. г. осо­бое зна­че­ние име­ют Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия и Ри­ма­на гео­мет­рия, ко­то­рые ча­ще все­го под­ра­зу­ме­ва­ют­ся, ко­гда го­во­рят о Н. г. Гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го – пер­вая гео­мет­рич. сис­те­ма, от­лич­ная от гео­мет­рии Евк­ли­да, и пер­вая бо­лее об­щая тео­рия, вклю­чаю­щая евк­ли­до­ву гео­мет­рию как пре­дель­ный слу­чай. Гео­мет­рия Ри­ма­на, от­кры­тая позд­нее, в не­ко­то­рых от­но­ше­ни­ях про­ти­во­по­лож­на гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го, но вме­сте с тем яв­ля­ет­ся её до­пол­не­ни­ем. Ис­сле­до­ва­ние гео­мет­рий Евк­ли­да, Ло­ба­чев­ско­го и Ри­ма­на по­зво­ли­ло вы­яс­нить осо­бен­но­сти ка­ж­дой из них, а так­же их свя­зи друг с дру­гом и с др. гео­мет­рич. сис­те­ма­ми.

Гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го стро­ит­ся на ос­но­ве тех же ак­си­ом, что и евк­ли­до­ва, за ис­клю­че­ни­ем од­ной ак­сио­мы о па­рал­лель­ных. Имен­но, со­глас­но ак­сио­ме о па­рал­лель­ных евк­ли­до­вой гео­мет­рии, че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит толь­ко од­на пря­мая, ко­то­рая ле­жит в од­ной плос­ко­сти с пря­мой и не пе­ре­се­ка­ет её; в гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го при­ни­ма­ет­ся, что та­ких пря­мых не­сколь­ко (за­тем до­ка­зы­ва­ет­ся, что их бес­ко­неч­но мно­го).

В гео­мет­рии Ри­ма­на при­ни­ма­ет­ся ак­сио­ма: ка­ж­дая пря­мая, ле­жа­щая в од­ной плос­ко­сти с дан­ной пря­мой, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую. Эта ак­сио­ма про­ти­во­ре­чит час­ти сис­те­мы ак­си­ом евк­ли­до­вой гео­мет­рии (с ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных). Т. о., сис­те­ма ак­си­ом, ле­жа­щая в ос­но­ве гео­мет­рии Ри­ма­на, от­ли­ча­ет­ся от сис­те­мы ак­си­ом евк­ли­до­вой гео­мет­рии не толь­ко за­ме­ной од­ной ак­сио­мы о па­рал­лель­ных иным ут­вер­жде­ни­ем, но и не­ко­то­ры­ми др. ак­сио­ма­ми. Раз­лич­ны­ми в этих гео­мет­ри­ях яв­ля­ют­ся ак­сио­мы, ко­то­рые слу­жат для обос­но­ва­ния т. н. от­но­ше­ний по­ряд­ка гео­мет­рич. эле­мен­тов. Суть со­сто­ит в сле­дую­щем: в евк­ли­до­вой гео­мет­рии и в гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го по­ря­док то­чек на пря­мой яв­ля­ет­ся ли­ней­ным, т. е. по­доб­ным по­ряд­ку в мно­же­ст­ве дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; в гео­мет­рии Ри­ма­на по­ря­док то­чек на пря­мой яв­ля­ет­ся цик­ли­че­ским, т. е. по­доб­ным по­ряд­ку в мно­же­ст­ве то­чек на ок­руж­но­сти. Кро­ме то­го, в гео­мет­риях Евк­ли­да и Ло­ба­чев­ско­го ка­ж­дая пря­мая, ле­жа­щая в дан­ной плос­ко­сти, раз­де­ля­ет эту плос­кость на две час­ти; в гео­мет­рии Ри­ма­на пря­мая не раз­де­ля­ет плос­кость на две час­ти, т. е. лю­бые две точ­ки плос­ко­сти, не ле­жа­щие на дан­ной пря­мой, мож­но со­еди­нить в этой плос­ко­сти не­пре­рыв­ной ду­гой, не пе­ре­се­кая дан­ную пря­мую (то­по­ло­гич. мо­де­лью плос­ко­сти Ри­ма­на слу­жит про­ек­тив­ная плос­кость). Тре­бо­ва­ния ак­си­ом, оп­ре­де­ляю­щих дви­же­ние фи­гур, для всех трёх гео­мет­рий оди­на­ко­вы.

При­ме­ры тео­рем Н. г.

1) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го сум­ма внут­рен­них уг­лов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка мень­ше двух пря­мых; в гео­мет­рии Ри­ма­на эта сум­ма боль­ше двух пря­мых (в евк­ли­до­вой гео­мет­рии она рав­на двум пря­мым).

2) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го пло­щадь тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $$S=R^2(π-α-β-γ),\tag1$$где $α,\; β,\; γ$ – внут­рен­ние уг­лы тре­уголь­ни­ка, $R$ – не­ко­то­рая по­сто­ян­ная, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет­ся вы­бо­ром еди­ни­цы из­ме­ре­ния пло­ща­дей. В гео­мет­рии Ри­ма­на спра­вед­ли­ва фор­му­ла$$S=R^2(α+β+γ-π)\tag2$$при ана­ло­гич­ном зна­че­нии сим­во­лов. В евк­ли­до­вой гео­мет­рии за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду пло­ща­дью тре­уголь­ни­ка и сум­мой его уг­лов нет.

3) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го ме­ж­ду сто­ро­на­ми и уг­ла­ми тре­уголь­ни­ка су­ще­ст­ву­ет ряд за­ви­си­мо­стей, на­при­мер:$$\text{ch}\frac{a}{R}=\text{ch}\frac{b}{R}\text{ch}\frac{c}{R}-\text{sh}\frac{b}{R}\text{sh}\frac{c}{R}\text{cos}\:\alpha,\tag3$$где $\text{sh, ch}$ – ги­пер­бо­ли­че­ские си­нус и ко­си­нус (см. Ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции), $a, b, c$ – сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, $α, β, γ$ – про­ти­во­ле­жа­щие им уг­лы, $R$ – по­сто­ян­ная, оп­ре­де­ляе­мая вы­бо­ром мас­шта­ба. Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка (с ги­по­те­ну­зой $c$ и пря­мым уг­лом $γ$) име­ет ме­сто ра­вен­ст­во$$\text{ch}\frac{c}{R}=\text{ctg}\:\alpha\;\text{ctg}\:\beta.\tag4$$

При не­ко­то­ром со­гла­со­ва­нии ли­ней­но­го мас­шта­ба и еди­ни­цы из­ме­ре­ния пло­ща­дей по­сто­ян­ная $R$ в фор­му­лах (1), (3), (4) од­на и та же. Чис­ло $R$ на­зы­ва­ет­ся ра­диу­сом кри­виз­ны плос­ко­сти (или про­стран­ст­ва) Ло­ба­чев­ско­го. Это чис­ло при дан­ном мас­шта­бе вы­ра­жа­ет оп­ре­де­лён­ный от­ре­зок в плос­ко­сти (про­стран­ст­ве) Ло­ба­чев­ско­го, ко­то­рый так­же на­зы­ва­ют ра­диу­сом кри­виз­ны. Ес­ли мас­штаб ме­ня­ет­ся, то ме­ня­ет­ся чис­ло $R$, но ра­ди­ус кри­виз­ны, как от­ре­зок, ос­та­ёт­ся не­из­мен­ным. Ес­ли ра­ди­ус кри­виз­ны при­нять за мас­штаб­ный от­ре­зок, то $R=1.$

В гео­мет­рии Ри­ма­на су­ще­ст­ву­ют сход­ные ра­вен­ст­ва: $$\cos\frac a R=\cos\frac b R\cos\frac c R+\sin\frac b R\sin\frac c R\cos\alpha,\tag5$$(для про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка) и $$\cos \frac c R=\text{ctg}\: \alpha\; \text{ctg}\: \beta\tag6$$(для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка) при ана­ло­гич­ном зна­че­нии сим­во­лов. Чис­ло $R$ на­зы­ва­ют ра­диу­сом кри­виз­ны плос­ко­сти (или про­стран­ст­ва) Ри­ма­на. Из фор­мул (4) и (6) сле­ду­ет, что в ка­ж­дой из Н. г. ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка оп­ре­де­ля­ет­ся его уг­ла­ми; бо­лее то­го, в Н. г. сто­ро­ны лю­бо­го тре­уголь­ни­ка оп­ре­де­ля­ют­ся его уг­ла­ми, т. е. не су­ще­ст­ву­ет по­доб­ных тре­уголь­ни­ков, кро­ме рав­ных. В евк­ли­до­вой гео­мет­рии нет фор­мул, ана­ло­гич­ных фор­му­лам (4) и (6), и нет ни­ка­ких др. фор­мул, вы­ражаю­щих ли­ней­ные ве­ли­чи­ны че­рез уг­ло­вые. При за­ме­не $R$ на $R_i$, где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, фор­му­лы (1), (3), (4) пре­вра­ща­ют­ся в фор­му­лы (2), (5), (6); во­об­ще, при за­ме­не $R$ на $R_i$ все мет­рич. фор­му­лы гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го (со­хра­няю­щие при этой за­ме­не гео­мет­рич. смысл) пе­ре­хо­дят в со­от­вет­ст­вую­щие фор­му­лы гео­мет­рии Ри­ма­на. При $R→∞$ и те и дру­гие да­ют в пре­де­ле фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии (ли­бо те­ря­ют смысл). Стрем­ле­ние к бес­ко­неч­но­сти ве­ли­чи­ны $R$ оз­на­ча­ет, что мас­штаб­ный от­ре­зок яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лым по срав­не­нию с ра­диу­сом кри­виз­ны (как с от­рез­ком). То об­стоя­тель­ст­во, что при этом фор­му­лы Н. г. пе­ре­хо­дят в пре­де­ле в фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии, оз­на­ча­ет, что для ма­лых (по срав­не­нию с ра­диу­сом кри­виз­ны) не­евк­ли­до­вых фи­гур со­от­но­ше­ния ме­ж­ду их эле­мен­та­ми ма­ло от­ли­ча­ют­ся от евк­ли­до­вых.

В ка­ж­дой из Н. г. диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва плос­ко­сти ана­ло­гич­ны диф­фе­рен­ци­аль­ным свой­ст­вам по­верх­но­стей евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва (см. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия); в не­евк­ли­до­вой плос­ко­сти мо­гут быть вве­де­ны внут­рен­ние ко­ор­ди­на­ты $u, v$, так что диф­фе­рен­ци­ал $ds$ ду­ги кри­вой, со­от­вет­ст­вую­щий диф­фе­рен­циа­лам $du, dv$ ко­ор­ди­нат, оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом$$ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2.\tag7$$

Пусть, в ча­ст­но­сти, в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­на­ты $u$ про­из­воль­ной точ­ки $M$ бе­рёт­ся дли­на пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из $M$ на фик­си­ро­ван­ную пря­мую, а в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­на­ты $v$ – рас­стоя­ние от фик­си­ро­ван­ной точ­ки $O$ этой пря­мой до ос­но­ва­ния ука­зан­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра; величины $u, v$  следует брать со зна­ком, по­доб­но обыч­ным де­кар­то­вым ко­ор­ди­на­там. То­гда фор­му­ла (7) для плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го бу­дет иметь вид$$ds^2=du^2+\text {ch}^2\! \left( \frac u {R}\right )\!dv^2,\tag8$$а для плос­ко­сти Ри­ма­на$$ds^2=du^2+\text {cos}^2 \!\left( \frac u {R}\right )\!dv^2,\tag9$$$R$ (ра­ди­ус кри­виз­ны) – та же по­сто­ян­ная, ко­то­рая вхо­дит в пре­ды­ду­щие фор­му­лы. Пра­вые час­ти (8) и (9) суть мет­рич. фор­мы по­верх­но­стей евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, имею­щих со­от­вет­ст­вен­но по­сто­ян­ную от­ри­ца­тель­ную кривизну $K=-1/R^2$ (как, напр., псев­до­сфе­ра) и по­сто­ян­ную по­ло­жи­тель­ную кри­виз­ну $K=1/R^2$ (как, напр., сфе­ра). По­это­му внут­рен­няя гео­мет­рия дос­та­точ­но ма­лой час­ти плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го сов­па­да­ет с внут­рен­ней гео­мет­ри­ей на со­от­вет­ст­вую­щей час­ти по­верх­но­сти по­сто­ян­ной от­ри­ца­тель­ной кри­виз­ны. Ана­ло­гич­но, внут­рен­няя гео­мет­рия дос­та­точ­но ма­лых час­тей плос­ко­сти Ри­ма­на реа­ли­зу­ет­ся на по­верх­но­стях по­сто­ян­ной по­ло­жи­тель­ной кри­виз­ны (по­верх­но­стей, ко­то­рые реа­ли­зу­ют гео­мет­рию всей плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го, в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве нет). При за­ме­не $R$ на $R_i$ мет­рич. фор­ма (8) пе­ре­хо­дит в мет­рич. фор­му (9). Т. к. мет­ри­че­ская фор­ма оп­ре­де­ля­ет внут­рен­нюю гео­мет­рию по­верх­но­сти, то при та­кой за­ме­не и др. мет­рич. со­от­ноше­ния гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го пе­ре­хо­дят в мет­рич. со­от­но­ше­ния гео­мет­рии Ри­ма­на (что уже бы­ло от­ме­че­но вы­ше). При $R=∞$ ка­ж­дое из ра­венств (8) и (9) да­ёт $ds^2=du^2+dv^2$, т. е. мет­рич. фор­му евк­ли­до­вой плос­ко­сти.

Трёх­мер­ные не­евк­ли­до­вы про­стран­ст­ва по сво­им диф­фе­рен­ци­аль­ным свой­ст­вам от­но­сят­ся к чис­лу ри­ма­но­вых про­странств в ши­ро­ком смыс­ле (см. Ри­ма­но­во про­стран­ст­во) и вы­де­ля­ют­ся сре­ди них пре­ж­де все­го тем, что име­ют по­стоян­ную ри­ма­но­ву кри­виз­ну (см. Ри­ма­но­ва гео­метрия­). Как в дву­мер­ном, так и в трёх­мерном слу­чае по­сто­ян­ст­во кри­виз­ны обес­пе­чи­ва­ет од­но­род­ность про­стран­ст­ва, т. е. воз­мож­ность дви­же­ния фи­гур в нём, при­чём с той же сте­пе­нью сво­бо­ды, как на евк­ли­до­вой плос­ко­сти или в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве. Про­стран­ст­во Ло­ба­чев­ско­го име­ет от­ри­ца­тель­ную кри­виз­ну, рав­ную $–1/R^2$, про­стран­ст­во Ри­ма­на – по­ло­жи­тель­ную кри­виз­ну, рав­ную $1/R^2$ ($R$ – ра­ди­ус кри­виз­ны). Евк­ли­до­во про­стран­ст­во за­ни­ма­ет про­ме­жу­точ­ное по­ло­же­ние и яв­ля­ет­ся про­стран­ст­вом ну­ле­вой кри­виз­ны.

Про­стран­ст­ва по­сто­ян­ной кри­виз­ны мо­гут иметь весь­ма раз­но­об­раз­ное строе­ние в смыс­ле то­по­ло­гии. Сре­ди всех про­странств по­сто­ян­ной от­ри­ца­тель­ной кри­виз­ны про­стран­ст­во Ло­ба­чев­ско­го од­но­знач­но вы­де­ля­ет­ся дву­мя свой­ст­ва­ми: оно пол­но (в смыс­ле пол­но­ты мет­рич. про­стран­ст­ва) и то­по­ло­ги­че­ски эк­ви­ва­лент­но обыч­но­му евк­ли­до­ву про­стран­ст­ву. Про­стран­ст­во Ри­ма­на сре­ди всех про­странств по­ло­жи­тель­ной кри­виз­ны од­но­знач­но вы­де­ля­ет­ся свой­ст­вом то­по­ло­ги­че­ской эк­ви­ва­лент­но­сти про­ек­тив­но­му про­стран­ст­ву. Ана­ло­гич­ны­ми ус­ло­вия­ми вы­де­ля­ют­ся мно­го­мер­ные про­стран­ст­ва Ло­ба­чев­ско­го и Ри­ма­на сре­ди мно­го­мер­ных про­странств по­сто­ян­ной ри­ма­но­вой кри­виз­ны.

Пусть на про­ек­тив­ной плос­ко­сти вве­де­ны про­ек­тив­ные од­но­род­ные ко­ор­ди­на­ты ($x_1,\: x_2,\: x_3$) и за­да­на не­ко­то­рая оваль­ная ли­ния 2-го по­ряд­ка, обо­зна­чае­мая даль­ше бу­к­вой $k$, напр. $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$. Ка­ж­дое про­ек­тив­ное пре­об­ра­зо­ва­ние про­ек­тив­ной плос­ко­сти на се­бя, ко­то­рое ос­тав­ля­ет на мес­те ли­нию $k$, на­зы­ва­ет­ся ав­то­мор­физ­мом от­но­си­тель­но $k$. Ка­ж­дый ав­то­мор­физм ото­бра­жа­ет внут­рен­ние точ­ки ли­нии $k$ так­же во внут­рен­ние её точ­ки. Мно­же­ст­во всех ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но ли­нии $k$ со­став­ля­ет груп­пу. Пусть рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко точ­ки про­ек­тив­ной плос­ко­сти, ле­жа­щие внут­ри $k$; хор­ды ли­нии $k$ на­зы­ва­ют­ся «пря­мы­ми». Пусть две фи­гу­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли од­на из них пе­ре­во­дит­ся в дру­гую не­ко­то­рым ав­то­мор­физ­мом. Т. к. ав­то­мор­физ­мы со­став­ля­ют груп­пу, то име­ют ме­сто осн. свой­ст­ва ра­вен­ст­ва фи­гур: ес­ли фи­гу­ра $A$ рав­на фи­гу­ре $B$, то $B$ рав­на $A$; ес­ли фи­гу­ра $A$ рав­на фи­гу­ре $B$, а $B$ рав­на фи­гу­ре $C$, то $A$ рав­на $C$. В по­лу­чае­мой т. о. гео­мет­рич. тео­рии бу­дут со­блю­де­ны тре­бо­ва­ния всех ак­сиом евк­ли­до­вой гео­мет­рии, кро­ме ак­сио­мы о па­рал­лель­ных: вме­сто этой по­след­ней ак­сио­мы со­блю­да­ет­ся ак­сио­ма о па­рал­лель­ных Ло­ба­чев­ско­го. Тем са­мым по­лу­ча­ет­ся ис­тол­ко­ва­ние (дву­мер­ной) гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го при по­мощи объ­ек­тов про­ек­тив­ной плос­ко­сти или, как го­во­рят, про­ек­тив­ная мо­дель гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го; ли­нию $k$ на­зы­ва­ют аб­со­лю­том этой мо­де­ли. Ав­то­мор­физ­мы от­но­си­тель­но $k$ иг­ра­ют роль дви­же­ний. По­это­му гео­мет­рию Ло­ба­чев­ско­го мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию, изу­чаю­щую свой­ст­ва фи­гур и свя­зан­ные с фи­гу­ра­ми ве­ли­чи­ны, ко­то­рые ос­та­ются не­из­мен­ны­ми при ав­то­мор­физ­мах; ко­ро­че го­во­ря, гео­мет­рию Ло­ба­чев­ско­го мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию ин­ва­ри­ан­тов груп­пы ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но оваль­но­го аб­со­лю­та. Гео­мет­рия Ри­ма­на (дву­мер­ная) до­пус­ка­ет сход­ное ис­тол­ко­ва­ние; имен­но, она яв­ля­ет­ся тео­ри­ей ин­ва­ри­ан­тов от­но­си­тель­но ну­ле­во­го аб­со­лю­та$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0.\tag{10}$$

При этом в ка­че­ст­ве то­чек и пря­мых мо­де­ли бе­рут­ся все точ­ки и пря­мые про­ек­тив­ной плос­ко­сти; ав­то­мор­физ­мы оп­ре­де­ля­ют­ся чис­то ал­геб­раи­че­ски как линей­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, ко­то­рые пе­ре­во­дят урав­не­ние (10) в урав­не­ние то­го же ви­да. Евк­ли­до­ву гео­мет­рию так­же мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию ин­ва­ри­ан­тов не­ко­то­рой груп­пы про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, имен­но, груп­пы ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но вы­ро­ж­ден­но­го аб­со­лю­та $x_1^2+x_2^2=0,\; x_3=0$.

Рас­смот­рен­ные мо­де­ли от­но­сят­ся к дву­мер­ным гео­мет­ри­ям; про­ек­тив­ные мо­де­ли выс­ших раз­мер­но­стей стро­ят­ся ана­ло­гич­но. Со­от­вет­ст­вен­но ха­рак­те­ру урав­не­ний аб­со­лю­тов, гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го на­зы­ва­ет­ся ги­пер­бо­ли­че­ской, гео­мет­рия Ри­ма­на – эл­лип­ти­че­ской, гео­мет­рия Евк­ли­да – па­ра­бо­ли­че­ской. Н. г. при­ме­ня­ют­ся в ма­те­ма­ти­ке (тео­рии ана­ли­тич. функ­ций, тео­рии групп и др.) и др. нау­ках (напр., в тео­рии от­но­си­тель­но­сти).

Лит.: Пра­со­лов В. В. Гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го. 3-е изд. М., 2004; Ефи­мов Н. В. Выс­шая гео­мет­рия. 7-е изд. М., 2004; Алек­сан­д­ров П. С. Что та­кое не­эвк­ли­до­ва гео­мет­рия. 2-е изд. М., 2006; Клейн Ф. Не­евк­ли­до­ва гео­мет­рия. 3-е изд. М., 2007.

Вернуться к началу