Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДОВЕРИ́ТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 170-171

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. В. Прохоров

ДОВЕРИ́ТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВА́Л, ин­тер­вал, по­стро­ен­ный по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний над слу­чай­ной ве­ли­чи­ной, на­кры­ваю­щий с за­дан­ной ве­ро­ят­но­стью не­из­вест­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра рас­пре­де­ле­ния этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны. Пусть ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний $X_1,...,X_n$ суть не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны с рас­пре­де­ле­ни­ем ве­ро­ят­но­стей $\mathrm {P}_θ$, за­ви­ся­щим от чи­сло­во­го па­ра­мет­ра θ, θΘ, где Θ – т. н. па­ра­мет­рич. мно­же­ст­во. То­гда при фик­си­ро­ван­ном $α, 0<α<1$, интер­вал с гра­ни­ца­ми $\mathrm {\hat{θ}_1}=\mathrm {\hat{θ}_1}$ $(X_1, ..., X_n)$ и $\mathrm {\hat{θ}_1}=\mathrm {\hat{θ}_1}(X_1, ..., X_n),\hat{θ}_1<\hat{θ}_2,$, ле­жа­щий в мно­же­ст­ве Θ та­кой, что $$\mathrm {infP}_θ\{ \hat{θ}_1 \leqslant θ \leqslant \hat{θ}_2\}=1-α,$$где ниж­няя грань бе­рёт­ся по $θ\in Θ$, на­зы­ва­ет­ся до­ве­ри­тель­ным ин­тер­ва­лом для па­ра­мет­ра $θ$ с до­ве­ри­тель­ным уров­нем (ко­эф. до­ве­рия) 1-α. Гра­ни­цы $\hatθ_1$ и $\hatθ_2$ Д. и. на­зы­ва­ют­ся до­ве­ри­тель­ны­ми гра­ни­ца­ми или до­ве­ри­тель­ны­ми пре­де­ла­ми.

При­мер. Пусть $\rm P_θ$ – нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью ве­ро­ят­но­сти$$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\theta)}{2\sigma^2}},$$ где $–∞ \lt x \lt -\infty$ и $σ$ – из­вест­ное по­ло­жи­тель­ное чис­ло. При по­строе­нии Д. и. для па­ра­мет­ра $θ$ рас­смат­ри­ва­ют­ся ста­тисти­че­ская оцен­ка $\overline{X}=(X_1+...+X_n)/n$ па­рамет­ра $θ$ и слу­чай­ная ве­ли­чи­на $\sqrt n(\overline{X}-θ)/σ$, ко­то­рая при лю­бом зна­че-нии $θ$ име­ет функ­цию рас­пре­де­ле­ния $$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-z^2/2}dz$$стан­дарт­но­го нор­маль­но­го за­ко­на. Поэто­му для лю­бо­го $t>0$ ве­ро­ят­ность$$\mathrm{P_\theta}=\Biggl\{\overline{X}-\frac{t\sigma}{\sqrt n}\leqslant\theta\leqslant\overline{X}+\frac{t\sigma}{\sqrt n}\Biggr\}=\mathrm{P_\theta}\Biggl\{\left|\sqrt n\frac{\overline{X}-\theta}{\sigma}\right|\leqslant t\Biggl\}=\Phi(t)-\Phi(-t)$$ не за­ви­сит от $θ$. Пусть $t_α$  – ре­ше­ние урав­не­ния $2Φ(t_α)-1=1-α$, где $0<α<1$. Ин­тер­вал $$\left \lgroup \overline{X}-\frac{t_\alpha \sigma}{\sqrt n},\overline{X}+\frac{t_\alpha\sigma}{\sqrt n}\right \rgroup$$на­кры­ва­ет не­из­вест­ное зна­че­ние $θ$ с ве­ро­ят­но­стью $1-α$, т. е. яв­ля­ет­ся Д. и. с до­ве­ри­тель­ным уров­нем $1-α$. Ве­ро­ят­ность ошиб­ки, со­стоя­щей в том, что по­стро­ен­ный Д. и. не на­кры­ва­ет ис­тин­ное зна­че­ние $θ$, не пре­вос­хо­дит $α$.

По­ня­тие Д. и. обоб­ща­ет­ся на слу­чай век­тор­но­го па­ра­мет­ра, при этом ис­поль­зу­ют­ся мно­го­мер­ные до­ве­ри­тель­ные об­лас­ти. По­ня­тие Д. и. обоб­ща­ет­ся и на функ­цио­наль­ные ха­рак­те­ри­сти­ки ве­ро­ят­но­ст­ных рас­пре­де­ле­ний. За­да­ча по­строе­ния наи­луч­ших Д. и. род­ст­вен­на за­да­че по­лу­че­ния наи­луч­ших кри­те­ри­ев в тео­рии ста­ти­сти­че­ских ги­по­тез про­вер­ки.

Ме­тод оце­ни­ва­ния па­ра­мет­ров с по­мо­щью Д. и. пред­ло­жен амер. ма­те­ма­ти­ком Е. Ней­ма­ном (1935). По­ня­тие Д. и. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при ста­ти­стич. об­ра­бот­ке ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний.

Лит.: Боль­шев ЛН., Смир­нов НВ. Таб­ли­цы ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки. 3-е изд. М., 1983; Кра­мер Г. Ма­те­ма­ти­че­ские ме­то­ды ста­ти­сти­ки. 2-е изд. М., 2003.

Вернуться к началу