ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 6. Москва, 2006, стр. 155-156

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. С. Бахвалов

ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, вклю­чаю­щий круг во­п­ро­сов, свя­зан­ных с ис­поль­зо­ва­ни­ем элек­трон­но-вы­чис­лит. ма­шин (ЭВМ, ком­пью­те­ров). Со­дер­жа­ние тер­ми­на «В. м.» нель­зя счи­тать ус­та­но­вив­шим­ся, т. к. эта об­ласть ма­те­ма­ти­ки ин­тен­сив­но раз­ви­ва­ет­ся в свя­зи с со­вер­шен­ст­во­ва­ни­ем вы­чис­лит. тех­ни­ки и при­ме­не­ния­ми ЭВМ в но­вых на­прав­ле­ни­ях. На на­чаль­ном эта­пе ис­поль­зо­ва­ния ЭВМ тер­мин «В. м.» по­ни­мал­ся как тео­рия чис­лен­ных ме­то­дов и ал­го­рит­мов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач. Впо­след­ст­вии тер­мин «В. м.» стал по­ни­мать­ся в ука­зан­ном вы­ше бо­лее ши­ро­ком смыс­ле. В В. м. мож­но вы­де­лить сле­дую­щие три осн. раз­де­ла. Пер­вый свя­зан с при­ме­не­ни­ем ЭВМ в разл. об­лас­тях на­уч­ной и прак­тич. дея­тель­но­сти и мо­жет быть ха­рак­те­ри­зо­ван как по­строе­ние и ана­лиз ма­те­ма­тич. мо­де­лей. Вто­рой свя­зан с раз­ра­бот­кой ме­то­дов и ал­го­рит­мов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач, воз­ни­каю­щих при ис­сле­до­ва­нии ма­те­ма­тич. мо­де­лей. Тре­тий раз­дел свя­зан с во­про­сом об уп­ро­ще­нии взаи­мо­отно­ше­ний че­ло­ве­ка с ЭВМ. Боль­шой вклад в раз­ви­тие В. м. внес­ли Н. С. Бахва­лов­, В. В. Вое­во­дин, В. М. Глуш­ков, С. К. Году­нов­, А. А. Дород­ни­цын­, А. П. Ершов­, Ю. И. Журав­лёв­, М. В. Келдыш­, М. М. Лавренть­ев­, Г. И. Марчук­, Н. Н. Мои­се­ев, А. Н. Тихо­нов­, А. А. Са­мар­ский.

Построение и анализ математических моделей

По­строе­ние и ана­лиз мо­де­ли вклю­ча­ет по­ста­нов­ку за­да­чи, вы­бор мо­де­ли, ана­лиз и об­ра­бот­ку ис­ход­ной ин­фор­ма­ции, чис­лен­ное ре­ше­ние воз­ни­каю­щих ма­те­ма­тич. за­дач, ана­лиз ре­зуль­та­тов вы­чис­ле­ний и во­про­сов, свя­зан­ных с реа­ли­за­ци­ей по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов. При вы­бо­ре мо­де­ли долж­но учи­ты­вать­ся, что точ­ность ре­зуль­та­тов, ко­то­рую обес­пе­чи­ва­ет мо­дель при ис­сле­до­ва­нии кон­крет­но­го яв­ле­ния, долж­на со­от­вет­ст­во­вать точ­но­сти ис­ход­ной ин­фор­ма­ции. При этом с по­яв­ле­ни­ем воз­мож­но­сти по­лу­чать бо­лее точ­ную ин­фор­ма­цию обыч­но воз­ни­ка­ет не­об­хо­ди­мость уточ­не­ния ис­поль­зуе­мой мо­де­ли, а в ря­де слу­ча­ев её за­ме­ны. По­строе­ние и изу­че­ние ма­те­ма­тич. мо­де­лей с по­мо­щью ЭВМ ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся в на­уч­ной и при­клад­ной дея­тель­но­сти (хи­мия, ме­тал­лур­гия, био­ло­гия и ме­ди­ци­на, раз­вед­ка и до­бы­ча по­лез­ных ис­ко­пае­мых, про­бле­мы кли­ма­та, эко­ло­гия, эко­но­ми­ка, пла­ни­ро­ва­ние, управ­ле­ние, про­гно­зи­ро­ва­ние), а во мно­гих на­прав­ле­ни­ях при­клад­ной нау­ки их раз­ви­тие не­воз­мож­но без раз­ви­тия чис­лен­ных ме­то­дов и при­ме­не­ния ком­пь­ю­те­ров. Напр., в свя­зи с пре­кра­ще­ни­ем ядер­ных ис­пы­та­ний со­вер­шен­ст­во­ва­ние ядер­но­го ору­жия долж­но опи­рать­ся на ре­зуль­та­ты ма­те­ма­тич. мо­де­ли­ро­ва­ния со­от­вет­ст­вую­щих про­цес­сов на всё бо­лее со­вер­шен­ных ком­пь­ю­те­рах.

Разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач

Изу­че­ние ре­аль­ных яв­ле­ний на ос­но­ве ана­ли­за по­стро­ен­ных мо­де­лей за­час­тую тре­бу­ет раз­ра­бот­ки но­вых чис­лен­ных ме­то­дов, и в пер­вую оче­редь ме­то­дов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач (В. м. в уз­ком смыс­ле сло­ва). При­ме­ра­ми ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач яв­ля­ют­ся за­да­чи ал­геб­ры, свя­зан­ные с чис­лен­ны­ми ме­то­да­ми ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний (в осо­бен­но­сти, боль­ших сис­тем и сис­тем с раз­ре­жен­ны­ми мат­ри­ца­ми), об­ра­ще­ни­ем мат­риц, на­хо­ж­де­ни­ем собств. зна­че­ний мат­риц. Др. при­ме­ры свя­за­ны с чис­лен­ным диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем и чис­лен­ным ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем функ­ций од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных, чис­лен­ны­ми ме­то­да­ми ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ме­то­да­ми ре­ше­ния ин­те­граль­ных урав­не­ний. Мн. ис­сле­до­ва­ния по­свя­ще­ны чис­лен­ным ме­то­дам ре­ше­ния урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми. Здесь боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся эко­но­мич­ным ме­тодам, по­зво­ляю­щим по­лу­чать ре­ше­ние при от­но­си­тель­но ма­лом чис­ле опе­ра­ций. Важ­ный раз­дел В. м. со­став­ля­ют чис­лен­ные ме­то­ды оп­ти­ми­за­ции. За­да­чи оп­ти­ми­за­ции со­сто­ят в на­хо­ж­де­нии экс­тре­маль­ных (наи­боль­ших или наи­мень­ших) зна­че­ний функ­цио­на­лов на мно­же­ст­вах, час­то имею­щих весь­ма слож­ную струк­ту­ру. Сю­да от­но­сят­ся за­да­чи ма­те­ма­тич. про­грам­ми­ро­ва­ния (в т. ч. ли­ней­но­го и ди­на­ми­че­ско­го), к ко­то­рым сво­дят­ся мн. за­да­чи управ­ле­ния и эко­но­ми­ки. К за­да­чам оп­ти­ми­за­ции при­мы­ка­ют ми­ни­макс­ные за­да­чи, воз­ни­каю­щие в игр тео­рии и в ис­сле­до­ва­нии опе­ра­ций. При ре­ше­нии наи­бо­лее слож­ных при­клад­ных за­дач по­лу­чи­ли рас­про­стра­не­ние чис­лен­но-асим­пто­тич. ме­то­ды, со­че­таю­щие ме­то­ды раз­ло­же­ния ре­ше­ний в ря­ды (по ма­лым па­ра­мет­рам) с ис­поль­зо­ва­ни­ем воз­мож­но­стей ком­пь­ю­те­ров. Важ­ное на­прав­ле­ние в тео­рии чис­лен­ных ме­то­дов свя­за­но с ис­сле­до­ва­ни­ем их ус­той­чи­во­сти к разл. ро­да ошиб­кам (в т. ч. к ошиб­кам ок­руг­ле­ния). Боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся раз­ра­бот­ке ме­то­дов ре­ше­ния т. н. не­кор­рект­ных или об­рат­ных за­дач (см. Не­кор­рект­ных за­дач чис­лен­ные ме­то­ды ре­ше­ния). К ним от­но­сят­ся, напр., за­да­чи оп­ре­де­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний по из­вест­но­му с не­ко­то­рой по­греш­но­стью ре­ше­нию, за­да­чи об­ра­бот­ки ре­зуль­та­тов фи­зич. экс­пе­ри­мен­тов, за­да­чи гео­фи­зи­ки, ма­те­ма­тич. за­да­чи, свя­зан­ные с об­на­ру­же­ни­ем за­ле­жей по­лез­ных ис­ко­пае­мых. В ча­ст­но­сти, ти­пич­ная ма­те­ма­тич. за­да­ча оп­ре­де­ле­ния эле­мен­та x из урав­не­ния Ax=b при за­дан­ных мат­ри­це A и век­то­ре b час­то ока­зы­ва­ет­ся не­ус­той­чи­вой (не­кор­рект­но по­став­лен­ной) в том смыс­ле, что ма­лым по­греш­но­стям вход­ных дан­ных мо­гут со­от­вет­ст­во­вать боль­шие по­греш­но­сти ре­ше­ния x. К клас­су не­кор­рект­ных за­дач от­но­сят­ся мн. за­да­чи об­ра­бот­ки ин­фор­ма­ции, в ча­ст­но­сти за­да­чи рас­по­зна­ва­ния об­ра­зов, про­мыш­лен­ной и медицинской ди­аг­но­сти­ки, ре­че­во­го вво­да дан­ных.

В боль­шин­ст­ве раз­де­лов В. м. важ­ное ме­сто за­ни­ма­ют во­про­сы оп­ти­ми­за­ции чис­лен­ных ме­то­дов ре­ше­ния. Для ши­ро­ких клас­сов за­дач уда­лось по­стро­ить ме­то­ды с вы­чис­лит. за­тра­та­ми, близ­ки­ми к ми­ни­маль­но воз­мож­ным. В тео­ре­тич. ма­те­ма­ти­ке ве­дут­ся ис­сле­до­ва­ния слож­но­сти ал­го­рит­мов, важ­ные при ре­ше­нии ре­аль­ных при­клад­ных за­дач.

Взаимодействие человека с ЭВМ

На на­чаль­ном эта­пе при­ме­не­ния ком­пью­те­ров про­грам­мы для них со­став­ля­лись на внут­рен­нем язы­ке ком­пь­ю­те­ра, за­тем поя­ви­лись язы­ки вы­со­ко­го уров­ня и ны­не име­ет­ся боль­шой на­бор стан­дарт­ных про­грамм ре­ше­ния ти­по­вых за­дач, па­ке­тов и биб­лио­тек та­ких про­грамм. Рост бы­ст­ро­дей­ст­вия ком­пь­ю­те­ров, со­про­во­ж­дав­ший­ся рос­том чис­ла ре­шае­мых за­дач, при­вёл к воз­ник­но­ве­нию труд­но­стей в сис­те­ме взаи­мо­дей­ст­вия че­ло­ве­ка с ма­ши­ной, свя­зан­ных со ско­ро­стью про­грам­ми­ро­ва­ния. Это при­ве­ло к соз­да­нию по­сле­до­ва­тель­но­сти уни­вер­саль­ных и про­блем­но-ори­ен­ти­ро­ван­ных ал­го­рит­мич. язы­ков. Вслед­ст­вие боль­шой бли­зо­сти ал­го­рит­мич. язы­ков с ес­теств. язы­ка­ми, их вне­дре­ние уп­ро­сти­ло про­грам­ми­ро­ва­ние и су­ще­ст­вен­но рас­ши­ри­ло круг поль­зо­ва­те­лей. В на­уч. рас­чё­тах наи­бо­лее рас­про­стра­не­ны язык фор­тран, на ко­то­ром соз­да­ны бо­га­тей­шие за­па­сы стан­дарт­ных про­грамм, и ак­тив­но рас­про­стра­няю­щий­ся язык си, бо­лее удоб­ный при раз­ра­бот­ке но­вых сис­тем про­грам­ми­ро­ва­ния и наи­бо­лее при­спо­соб­лен­ный для про­грам­ми­ро­ва­ния па­рал­лель­ных вы­чис­ле­ний. Ис­поль­зу­ют­ся так­же со­че­та­ния этих язы­ков. В свя­зи с гло­баль­ной ком­пь­ю­те­риза­ци­ей, со­про­во­ж­даю­щей­ся об­щим сни­же­ни­ем уров­ня ма­те­ма­тич. куль­ту­ры, важ­ной про­бле­мой яв­ля­ет­ся раз­ра­бот­ка ме­то­дов ре­ше­ния за­дач и соз­да­ния сис­тем об­ще­ния че­ло­ве­ка с ком­пь­ю­те­ром, тре­бую­щих ми­ним. зна­ний ма­те­ма­ти­ки и чис­лен­ных ме­то­дов, что предъ­яв­ля­ет но­вые тре­бо­ва­ния к ал­го­рит­мам и про­грам­мам ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. и при­клад­ных за­дач и к раз­ра­бот­ке но­вых средств об­ще­ния че­ло­ве­ка с ком­пь­ю­те­ром. Воз­мож­но­сти об­ще­ния че­ло­ве­ка с ком­пь­ю­те­ром не­пре­рыв­но со­вер­шен­ству­ют­ся; напр., соз­да­ют­ся сис­те­мы про­грам­ми­ро­ва­ния, даю­щие воз­мож­ность про­сто­го об­ра­ще­ния к ши­ро­ко­му клас­су стан­дарт­ных про­грамм, и сис­те­мы про­грам­ми­ро­ва­ния, со­дер­жа­щие фор­муль­ные вы­чис­ле­ния. При­ме­ра­ми уни­вер­саль­ных сис­тем та­ко­го ро­да яв­ля­ют­ся Matematiсa, MatLab, Maple, Reduce. По­сколь­ку поль­зо­ва­те­ля­ми та­ких сис­тем яв­ля­ют­ся за­час­тую ис­сле­до­ва­те­ли, весь­ма да­лё­кие от ма­те­ма­ти­ки, стан­дарт­ные про­грам­мы, вклю­чён­ные в та­кие сис­те­мы, долж­ны об­ла­дать по­вы­шен­ной на­дёж­ностью, в свя­зи с этим раз­ра­бот­ка по­доб­ных сис­тем предъ­яв­ля­ет, в ча­ст­но­сти, но­вые тре­бо­ва­ния к тео­рии чис­лен­ных ме­то­дов. При ре­ше­нии мн. при­клад­ных за­дач важ­но соз­да­ние ком­плек­сов про­грамм и язы­ков об­ще­ния с ком­пь­ю­те­ром, по­зво­ляю­щих вес­ти ра­бо­ту в диа­ло­го­вом ре­жи­ме, с тем что­бы со­че­тать вы­чис­ли­тель­ные и ло­гич. воз­мож­но­сти ком­пь­ю­те­ров с воз­мож­но­стя­ми че­ло­ве­ка. В то же вре­мя во мно­гих слу­ча­ях, тре­бую­щих бы­ст­рой ре­ак­ции, раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся ал­го­рит­мы, ис­клю­чаю­щие вме­ша­тель­ст­во че­ло­ве­ка. По­лу­ча­ют рас­про­стра­не­ние ком­плек­сы, вклю­чаю­щие боль­шое чис­ло вы­чис­лит. ма­шин и до­пус­каю­щие од­но­вре­мен­ное об­слу­жи­ва­ние боль­шо­го чис­ла поль­зо­ва­те­лей. На­ме­чаю­щее­ся ши­ро­кое ис­поль­зо­ва­ние па­рал­лель­ных ком­пь­ю­те­ров и сис­тем с рас­пре­де­лён­ной па­мя­тью долж­но из­ме­нить при­ори­те­ты в раз­ви­тии тео­рии чис­лен­ных ме­то­дов, их оп­ти­ми­за­ции и в раз­ра­бот­ке сис­тем об­ще­ния че­ло­ве­ка с ком­пь­ю­те­ром.

Лит.: Вое­во­дин В. В. Ма­те­ма­ти­че­ские ос­но­вы па­рал­лель­ных вы­чис­ле­ний. М., 1991; Вое­во­дин В. В., Вое­во­дин Вл. В. Па­рал­лель­ные вы­чис­ле­ния. СПб., 2002; Бах­ва­лов Н. С. Чис­лен­ные ме­то­ды. 3-е изд. М., 2003.

Вернуться к началу