Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГИПЕРБОЛИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 7. Москва, 2007, стр. 152

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ГИПЕРБОЛИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, функ­ции, оп­ре­де­ляе­мые фор­му­ла­ми: $$\text {sh}\, x = \frac {e^x-e^{-x}}{2}, \text {ch}\, x = \frac {e^x+e^{-x}}{2}$$где $e$ – ос­но­ва­ние на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов $ -\infty \lt x\lt \infty $. Функ­ции $\text {sh}\ x$ и $\text {ch}\ x$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ги­пер­бо­лич. си­ну­сом и ги­пер­бо­лич. ко­си­ну­сом. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же ги­пер­бо­лич. тан­генс
$$\tan x=\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} = \frac {\text {sh}\ x}{\text {ch}\ x},$$ где $ -\infty \lt x\lt \infty $, и ги­пер­бо­лич. ко­тан­генс где $x \neq 0$. Гра­фи­ки Г. ф. см. на рис. 1, 2.

Рис. 1. Рис. 2.

Г. ф. свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми, ана­ло­гич­ны­ми со­от­но­ше­ни­ям ме­ж­ду три­го­но­мет­рич. функ­ция­ми, напр. $$\text {ch}^2x- \text {sh}^2x=1, \text{th}\,x\,\text{cth}\,x=1,$$$$\text {sh}(x±y)=\text{sh}\,x\,\text{ch}\,y±\text{ch}\,x\,\text{sh}\,y,$$$$\text{ch}\,(x±y)=\text{ch}\,x\,\text{ch}\,y±\text{sh}\,x\,\text{sh}\,y.$$

Г. ф. мож­но вы­ра­зить че­рез три­го­но­мет­рич. функ­ции мни­мо­го ар­гу­мен­та: $$\text{sh}\,x=–i\sin(i\,x), \text{ch}\,x=cos(i\,x)$$, где $i$ – мни­мая еди­ни­ца.

Г. ф. мож­но по­лу­чить, рас­смат­ри­вая рав­но­боч­ную ги­пербо­лу $x^2-y^2=1$, ко­то­рая за­да­ёт­ся па­ра­мет­ри­че­ски урав­не­ния­ми $x=\text{ch}\,t$, $y=\text{sh}\,t$ (рис. 3). То­гда дли­ны от­рез­ков $OB$ и $CB$ рав­ны со­от­вет­ст­вен­но $\text{ch}\,t$ и $\text{sh}\,t$, а па­ра­метр $t$ ра­вен уд­во­ен­ной пло­ща­ди «тре­уголь­ни­ка» $OAC$.

Рис. 3.

Об­рат­ные Г. ф. за­да­ют­ся фор­му­ла­ми: $$\text{arsh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}), -\infty \lt x\lt \infty ,$$

arshx=ln(x+x2+1),<x<,
$$\text{arch}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}), x\ge1$$$$\text{arsh}\,x={1\over2}\ln{{1+x}\over{1-x}}, ∣x∣\lt1,$$ $$\text{arcth}\,x={1\over2}\ln{{1+x}\over{1-x}}, ∣x∣\gt1.$$

 

Лит.: Ян­поль­ский А. Р. Ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции. М., 1960.

Вернуться к началу