Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГИ́ЛЬБЕРТОВО ПРОСТРА́НСТВО

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 7. Москва, 2007, стр. 124-125

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. А. Шкаликов

ГИ́ЛЬБЕРТОВО ПРОСТРА́НСТВО, ли­ней­ное бес­ко­неч­но­мер­ное про­стран­ст­во, в ко­то­ром за­да­но ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние и вы­пол­не­но ус­ло­вие пол­но­ты от­носи­тель­но нор­мы, по­ро­ж­дае­мой этим ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем. На­зва­но по име­ни Д. Гиль­бер­та, ко­то­рый ис­поль­зо­вал эти про­стран­ст­ва при ре­ше­нии урав­не­ний ма­те­ма­тич. фи­зи­ки. Г. п. пред­став­ля­ет со­бой ес­те­ст­вен­ное обоб­ще­ние ко­неч­но­мер­но­го век­тор­но­го (евк­ли­до­ва) про­стран­ст­ва.

Обыч­но пред­по­ла­га­ет­ся, что ли­ней­ная струк­ту­ра Г. п. оп­ре­де­ле­на над по­лем ком­плекс­ных чи­сел $\bf C$, т. е. в Г. п. вве­де­но ум­но­же­ние эле­мен­тов на ком­плекс­ные чис­ла, для ка­ж­дой па­ры эле­мен­тов вве­де­на их сум­ма и эти опе­ра­ции под­чи­не­ны ак­сио­мам век­тор­но­го про­стран­ст­ва. Ес­ли ли­ней­ная струк­ту­ра оп­ре­де­ле­на над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $\bf R$, то го­во­рят о дей­ст­ви­тель­ном Г. п. Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем в Г. п. $H$ на­зы­ва­ет­ся функ­ция, ко­то­рую обыч­но обо­зна­ча­ют $(x, y)$, со зна­че­ния­ми в по­ле $\bf C$ (для дей­ст­ви­тель­но­го Г. п. – в по­ле $\bf R$), оп­ре­де­лён­ная для про­из­воль­ной па­ры эле­мен­тов $x, y \in H$ и об­ла­даю­щая сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$(x, x)⩾0$, при­чём $(x, x)=0$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $x=0$;

$(x+y, z)=(x, z)+(y, z)$ для всех $x, y, z \in H$;

$(αx, y)=α(x, y)$ для всех $α \in \bf C$ и $x, y \in H$;

$(x, y)=\overline {(x, y)}$, где чер­та оз­на­ча­ет ком­плекс­ное со­пря­же­ние.

В Г. п. мож­но вве­сти нор­му $‖ x ‖$ эле­мен­та $x\in H$, по­ло­жив $‖ x ‖ = \sqrt {(x,x)}$. При этом вы­пол­не­ны все свой­ст­ва нор­мы:$‖x‖ ⩾ 0, ‖αx‖=∣α∣\cdot‖x‖\,и\,‖x+y‖⩽‖x‖+‖y‖$ . Для ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния и нор­мы спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во Ко­ши – Бу­ня­ков­ско­го $∣(x, y)∣⩽‖x‖\cdot‖y‖$ .

Пол­но­та Г. п. $H$ оз­на­ча­ет, что для ­любой по­сле­до­ва­тель­но­сти эле­мен­тов $x_1, x_2,\ldots \in H$, для ко­то­рой $‖x_k-x_n‖ \rightarrow 0$ при $k, n \rightarrow \infty$, су­ще­ст­ву­ет эле­мент $x \in H$ та­кой, что $‖x_k-x‖ \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$. Ли­нейное бес­ко­неч­но­мер­ное про­стран­ст­во со ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем, в ко­то­ром ус­ло­вие пол­но­ты не вы­пол­не­но, на­зы­ва­ют пред­гиль­бер­то­вым. Ес­ли $H_0$ – пред­гиль­бер­то­во про­стран­ст­во, то су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное (с точ­но­стью до изо­мор­физ­ма) Г. п. $H$ та­кое, что $H_0⊂H$ и $H_0$ плот­но в $H$. Та­кое Г. п. $H$ на­зы­ва­ет­ся по­пол­не­ни­ем про­стран­ст­ва $H_0$.

Вся­кое Г. п. яв­ля­ет­ся ба­на­хо­вым про­стран­ст­вом. В Г. п. вы­пол­не­но ра­вен­ст­во па­рал­ле­ло­грам­ма $$‖x+y‖^2+‖x-y‖^2=2(‖x‖^2+‖y‖^ 2).$$ На­обо­рот, ес­ли в ба­на­хо­вом про­стран­ст­ве вы­пол­не­но ра­вен­ст­во па­рал­ле­ло­грам­ма, то это про­стран­ст­во мож­но рас­смат­ри­вать как Г. п., по­сколь­ку в этом слу­чае функ­ция $$(x, y)=\frac {1}{4} \left (||x+y||^2-||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2 \right) ,$$ где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, об­ла­да­ет все­ми свой­ст­ва­ми ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния (в слу­чае дей­ст­ви­тель­но­го Г. п. по­след­ние два сла­гае­мых опус­ка­ют­ся).

Важ­ны­ми при­ме­ра­ми Г. п. яв­ля­ют­ся про­стран­ст­ва $l_2$ и $L_2(a, b)$. Про­стран­ство $l_2$ со­сто­ит из по­сле­до­ва­тель­но­стей ком­плекс­ных чи­сел $x= \{x_1, x_2, \ldots\}$, удовле­тво­ряю­щих ус­ло­вию $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \lt \infty$. Ес­ли $x=\{x_1, x_2, \ldots \}$ и $y=\{y_1, y_2,\ldots \}$ – две та­кие по­сле­до­ва­тель­но­сти, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ схо­дит­ся и оп­ре­де­ля­ет ска­лярное про­из­ве­де­ние $(x, y)$ в $l_2$. Про­стран­ст­во $L_2(a, b)$ вво­дит­ся как по­пол­не­ние про­стран­ст­ва не­пре­рыв­ных функ­ций $C[a, b]$ по нор­ме, оп­ре­де­ляе­мой ска­лярным про­из­ве­де­ни­ем $(f,g)=\int_a^bf(x)\overline g(x)dx $. Опи­са­ние это­го по­пол­не­ния мож­но дать в тер­ми­нах ин­те­гра­ла Ле­бе­га. Про­стран­ст­во $L_2(a, b)$ со­сто­ит из из­ме­ри­мых по Ле­бе­гу функ­ций $f$, для ко­то­рых су­ществу­ет ин­те­грал Ле­бе­га $\int_a^b|f(x)|^2dx$ при этом функ­ции ото­жде­ст­в­ля­ют­ся, ес­ли они от­ли­ча­ют­ся лишь на мно­же­стве ле­бе­го­вой ме­ры нуль. Ана­ло­гич­но оп­реде­ля­ют­ся Г. п. $L_2(Ω)$, где $Ω$ – об­ласть в $n$-мер­ном про­стран­ст­ве $\textbf R^n$.

Про­стран­ст­ва $l_2$ и $L_2(Ω)$ (как и боль­шин­ст­во встре­чаю­щих­ся в при­ло­же­ни­ях про­странств) яв­ля­ют­ся се­па­ра­бель­ны­ми. Се­па­ра­бель­ность про­стран­ст­ва оз­на­ча­ет, что в нём су­ще­ст­ву­ет счёт­ный на­бор эле­мен­тов та­кой, что лю­бой эле­мент про­стран­ст­ва мож­но сколь угод­но точ­но при­бли­зить эле­мен­та­ми из это­го на­бо­ра. В се­па­ра­бель­ном Г. п. $H$ су­ще­ст­ву­ют счёт­ные ор­то­нор­ми­ро­ван­ные ба­зи­сы, т. е. сис­те­мы эле­мен­тов $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$, об­ла­даю­щие свой­ст­ва­ми: $‖e_k‖=1, k=1,2,\ldots, (e_k, e_j)=0$ при $k≠j$, лю­бой эле­мент $x\in H$ пред­ста­вим в ви­де ря­да $x=\sum_{k=1}^{\infty}x_ke_k$, где $x_k$ – чис­ла и ряд сходит­ся по нор­ме, т. е. $\left\| x-\sum_{k=1}^nx_ke_k\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Та­кое пред­став­ле­ние од­но­знач­но, чис­ла $x_k$ рав­ны $(x, e_k)$ и на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Фу­рье эле­мен­та $x$ по сис­те­ме $\left\{e_k \right\}_{k=1}^{\infty}$. Спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^2=||x||^2$, на­зы­вае­мое ра­вен­ст­вом Пар­се­ва­ля; оно яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но­мер­ным ана­ло­гом Пи­фа­го­ра тео­ре­мы. При­ме­ром ор­то­нор­ми­ро­ван­но­го ба­зи­са в $l_2$ яв­ля­ет­ся на­бор $\left\{e_n \right\}_{n=1}^{\infty}$, где $e_n$ – по­сле­до­ва­тель­ность, $n$-я ко­ор­ди­на­та ко­то­рой рав­на 1, а ос­таль­ные ко­ор­ди­на­ты – ну­ли. При­ме­ром ор­то­нор­ми­ро­ван­но­го ба­зи­са в $L_2(0, 1)$ яв­ля­ет­ся систе­ма функ­ций $\{\sqrt2\sin\pi nx\}_{n=1}^{\infty}$. Все се­пара­бель­ные Г. п. изо­морф­ны друг дру­гу.

В тео­рии ба­на­хо­вых про­странств вме­сте с про­стран­ст­ва­ми $B$ рас­смат­ри­ва­ются со­пря­жён­ные с ни­ми про­стран­ст­ва $B^*$, со­стоя­щие из ли­ней­ных не­пре­рыв­ных функ­цио­на­лов на $B$. Про­стран­ст­во, со­пря­жён­ное с Г. п. $H$, уст­рое­но про­сто, а имен­но: для ка­ж­до­го ли­ней­но­го не­пре­рыв­но­го функ­цио­на­ла $f$ на $H$ су­ще­ст­ву­ет эле­мент $x^*∈H$ та­кой, что $f(x)=(x, x^*)$ и $‖f‖=‖x^*‖$ , т. е. со­пря­жён­ное про­стран­ст­во $H^*$ ока­зы­ва­ет­ся изо­морф­ным ис­ход­но­му Г. п. $H$. Этот факт де­ла­ет Г. п. удоб­ны­ми для по­строе­ния тео­рии ли­ней­ных опе­ра­то­ров и да­ёт воз­мож­ность вве­сти на Г. п. по­ня­тия са­мо­со­пря­жён­но­го и уни­тар­но­го опе­ра­то­ров, иг­раю­щих важ­ную роль в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке.

Аб­ст­ракт­ное оп­ре­де­ле­ние Г. п. и ос­но­вы об­щей тео­рии ли­ней­ных са­мо­со­пря­жён­ных и уни­тар­ных опе­ра­то­ров бы­ли да­ны в ра­бо­тах Дж. фон Ней­ма­на, Ф. Рис­са и амер. ма­те­ма­ти­ка М. Сто­уна. Осо­бую роль ме­то­ды Г. п. ста­ли играть по­сле то­го, как в сер. 1920-х гг. бы­ли сфор­му­ли­ро­ва­ны осн. прин­ци­пы кван­то­вой ме­ха­ни­ки, со­глас­но ко­то­рым со­стоя­ния кван­то­во­ме­ха­нич. сис­те­мы ин­тер­пре­ти­ру­ют­ся как век­то­ры Г. п. $H$, а на­блю­дае­мые (энер­гия, им­пульс и т. п.) – как са­мо­со­пря­жён­ные опе­ра­то­ры в $H$. Важ­ную роль в ста­нов­ле­нии тео­рии опе­ра­то­ров в Г. п. сыг­ра­ли ра­бо­ты П. Л. Че­бы­ше­ва, А. А. Мар­ко­ва (старшего) и Т. Стил­ть­е­са по про­бле­ме мо­мен­тов, мат­ри­цам Яко­би, тео­рии ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов и не­пре­рыв­ным дро­бям.

Лит.: Мо­рен К. Ме­то­ды гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва. М., 1965; Рисс Ф., Се­ке­фаль­ви-Надь Б. Лек­ции по функ­цио­наль­но­му ана­ли­зу. М., 1979; Гиль­берт Д. Из­бран­ные тру­ды. М., 1998. Т. 2; Кол­мо­го­ров А. Н., Фо­мин С. В. Эле­мен­ты тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2004.

Вернуться к началу