Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 6. Москва, 2006, стр. 620-625

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. Г. Решетняк (по материалам статьи А. Д. Александрова из БСЭ-3)

ГЕОМЕ́ТРИЯ (греч. γεωμετρία, букв. – зем­ле­ме­рие), раз­дел ма­те­ма­ти­ки, изу­чаю­щий про­стран­ст­вен­ные от­но­ше­ния и фор­мы, а так­же от­но­ше­ния и фор­мы, сход­ные с про­стран­ст­вен­ны­ми по сво­ей струк­ту­ре. Про­ис­хо­ж­де­ние тер­ми­на «Г.» мож­но объ­яс­нить сле­дую­щи­ми сло­ва­ми, при­пи­сы­вае­мы­ми др.-греч. учё­но­му Ев­де­му Ро­дос­ско­му (4 в. до н. э.): «Гео­мет­рия бы­ла от­кры­та егип­тя­на­ми и воз­ник­ла при из­ме­ре­нии Зем­ли. Это из­ме­ре­ние бы­ло им не­об­хо­ди­мо вслед­ст­вие раз­ли­вов Ни­ла, по­сто­ян­но смы­вав­ших гра­ни­цы». Уже у древ­них гре­ков Г. оз­на­ча­ла ма­те­ма­тич. нау­ку, в то вре­мя как для нау­ки об из­ме­ре­нии Зем­ли был вве­дён тер­мин «гео­де­зия». Су­дя по со­хра­нив­шим­ся от­рыв­кам др.-егип. со­чи­не­ний, раз­ви­тие Г. свя­за­но так­же с из­ме­ре­ния­ми объ­ё­мов и по­верх­но­стей при зем­ля­ных и стро­ит. ра­бо­тах.

Пер­во­на­чаль­ные по­ня­тия Г. воз­ник­ли в ре­зуль­та­те от­вле­че­ния от вся­ких свойств и от­но­ше­ний фи­гур на плос­ко­сти, кро­ме их вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния и ве­ли­чи­ны. Пер­вые вы­ра­жа­ют­ся в при­кос­но­ве­нии или при­ле­га­нии фи­гур друг к дру­гу, в том, что од­на фи­гу­ра есть часть дру­гой, в рас­по­ло­же­нии «ме­ж­ду», «внут­ри» и т. п. Вто­рые вы­ра­жа­ют­ся в по­ня­ти­ях «боль­ше», «мень­ше», в по­ня­тии о ра­вен­ст­ве тел. Пу­тём та­ко­го же от­вле­че­ния воз­ни­ка­ет по­ня­тие гео­мет­рич. те­ла в про­стран­ст­ве. Гео­мет­рич. те­ло есть аб­ст­рак­ция, в ко­то­рой со­хра­ня­ют­ся лишь фор­ма и раз­ме­ры в пол­ном от­вле­че­нии от всех дру­гих свойств. При этом Г., как свой­ст­вен­но ма­те­ма­ти­ке во­об­ще, со­вер­шен­но от­вле­ка­ет­ся от не­оп­ре­де­лён­но­сти и под­виж­но­сти ре­аль­ных форм и раз­ме­ров и счи­та­ет все ис­сле­дуе­мые ею от­но­ше­ния и фор­мы аб­со­лют­но точ­ны­ми и оп­ре­де­лён­ны­ми.

От­вле­че­ние от про­тя­же­ния тел при­водит к по­ня­ти­ям по­верх­но­сти, ли­нии и точ­ки. Это яв­но вы­ра­же­но, напр., в оп­ре­де­ле­ни­ях, дан­ных Евк­ли­дом: «ли­ния есть дли­на без ши­ри­ны», «по­верх­ность есть то, что име­ет дли­ну и ши­ри­ну». Точ­ка без вся­ко­го про­тя­же­ния есть аб­ст­рак­ция, от­ра­жаю­щая мыс­лен­ную воз­мож­ность не­ог­ра­ни­чен­но­го умень­ше­ния всех раз­ме­ров те­ла, во­об­ра­жае­мый пре­дел его бес­ко­неч­но­го де­ле­ния. Даль­ше воз­ни­ка­ет об­щее по­ня­тие о гео­мет­рич. фи­гу­ре, под ко­то­рой по­ни­ма­ют не толь­ко те­ло, по­верх­ность, ли­нию или точ­ку, но и лю­бую их со­во­куп­ность. Г. в пер­во­на­чаль­ном зна­че­нии есть нау­ка о фи­гу­рах, вза­им­ном рас­по­ло­же­нии и раз­ме­рах их час­тей, а так­же о пре­об­ра­зо­ва­ни­ях фи­гур. Фи­гу­ра, как она рас­смат­ри­ва­ет­ся в Г., и есть про­стран­ст­вен­ная фор­ма; рас­по­ло­же­ние и раз­ме­ры оп­ре­де­ля­ют­ся про­стран­ст­вен­ны­ми от­но­ше­ния­ми; на­ко­нец, пре­об­ра­зо­ва­ние, как его по­ни­ма­ют в Г., так­же есть не­ко­то­рое от­но­ше­ние ме­ж­ду дву­мя фи­гу­ра­ми, дан­ной и той, в ко­то­рую она пре­об­ра­зу­ет­ся.

В со­вре­мен­ном, бо­лее об­щем смыс­ле Г. объ­ем­лет раз­но­об­раз­ные ма­те­ма­тич. тео­рии, при­над­леж­ность ко­то­рых к Г. оп­ре­де­ля­ет­ся не толь­ко сход­ст­вом (хо­тя по­рой и весь­ма от­да­лён­ным) их пред­ме­та с обыч­ны­ми про­стран­ст­вен­ны­ми фор­ма­ми и от­но­ше­ния­ми, но так­же тем, что они ис­то­ри­че­ски сло­жи­лись и скла­ды­ва­ют­ся на ос­но­ве Г. в пер­во­на­чаль­ном её зна­че­нии и в сво­их по­строе­ни­ях ис­хо­дят из ана­ли­за, обоб­ще­ния и ви­до­из­ме­не­ния её по­ня­тий. Г. в этом об­щем смыс­ле тес­но пе­ре­пле­та­ет­ся с др. раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки и её гра­ни­цы не яв­ля­ют­ся точ­ны­ми.

Развитие геометрии

В раз­ви­тии Г. мож­но вы­де­лить че­ты­ре осн. пе­рио­да. Пер­вый, пе­ри­од за­ро­ж­де­ния Г., свя­зан с раз­ви­ти­ем нау­ки в Егип­те, Ва­ви­ло­не и Гре­ции при­мер­но до 5 в. до н. э. Первич­ные гео­мет­рич. све­де­ния поя­ви­лись на са­мых ран­них сту­пе­нях раз­вития об­ще­ст­ва. За­чат­ка­ми лю­бой нау­ки мож­но счи­тать ус­та­нов­ле­ние пер­вых об­щих за­ко­но­мер­но­стей, в дан­ном слу­чае – за­ви­си­мо­стей ме­ж­ду гео­мет­рич. ве­ли­чи­на­ми. Са­мое ран­нее со­чи­не­ние, со­дер­жа­щее за­чат­ки Г., дош­ло до нас из Егип­та и от­но­сит­ся при­мер­но к 17 в. до н. э. Гео­мет­рич. све­де­ния это­го пе­рио­да бы­ли не­мно­го­чис­лен­ны и сво­ди­лись пре­ж­де все­го к вы­чис­ле­нию не­ко­то­рых пло­ща­дей и объ­ё­мов. Они из­ла­га­лись в ви­де пра­вил, по-ви­ди­мо­му, в боль­шой ме­ре эм­пи­рич. про­ис­хо­ж­де­ния, ло­ги­че­ские же до­ка­за­тель­ст­ва бы­ли, ве­ро­ят­но, очень при­ми­тив­ны­ми. Г., по сви­де­тель­ст­ву греч. ис­то­ри­ков, бы­ла пе­ре­не­се­на в Гре­цию из Егип­та в 7 в. до н. э. Здесь на про­тя­же­нии мно­гих по­ко­ле­ний она скла­ды­ва­лась в строй­ную сис­те­му, на­ка­п­ли­ва­лись но­вые гео­мет­рич. зна­ния, вы­яс­ня­лись свя­зи ме­ж­ду раз­ны­ми гео­мет­рич. фак­та­ми, фор­ми­ро­ва­лись по­ня­тия о фи­гу­ре, о гео­мет­рич. пред­ло­же­нии и о до­ка­за­тель­ст­ве. Этот про­цесс при­вёл к ка­че­ст­вен­но­му из­ме­не­нию – Г. пре­вра­ти­лась в са­мо­сто­ят. ма­те­ма­тич. нау­ку, по­я­ви­лись сис­те­ма­тич. из­ло­же­ния Г., в ко­то­рых её пред­ло­же­ния по­сле­до­ва­тель­но до­ка­зы­ва­лись. С это­го вре­ме­ни на­чи­на­ет­ся вто­рой пе­ри­од раз­ви­тия Г.

Из­вест­ны упо­ми­на­ния о сис­те­ма­тич. из­ло­же­нии Г., сре­ди ко­то­рых дан­ное Гип­по­кра­том Хи­ос­ским. Со­хра­ни­лись и сыг­ра­ли ре­шаю­щую роль в раз­ви­тии Г. «На­ча­ла» Евк­ли­да, где Г. пред­став­ле­на так, как её в осн. по­ни­ма­ют и те­перь, ес­ли ог­ра­ни­чи­вать­ся эле­мен­тар­ной Г.: это нау­ка о про­стей­ших про­стран­ст­вен­ных фор­мах и от­но­ше­ни­ях, раз­ви­вае­мая в ло­гич. по­сле­до­ва­тель­но­сти, ис­хо­дя из яв­но сфор­му­ли­ро­ван­ных осн. по­ло­же­ний – ак­си­ом и осн. про­стран­ст­вен­ных пред­став­ле­ний. Г., раз­ви­вае­мую на этих ак­сио­мах, на­зы­ва­ют евк­ли­до­вой Г. Ещё в Гре­ции к ней до­ба­ви­лись но­вые ре­зуль­та­ты, воз­ник­ли но­вые ме­то­ды оп­ре­де­ле­ния пло­ща­дей и объ­ё­мов (Ар­хи­мед), уче­ние о ко­нич. се­че­ни­ях (Апол­ло­ний Перг­ский), на­ча­ла три­го­но­мет­рии (Гип­парх) и Г. на сфе­ре (Ме­не­лай). Упа­док ан­тич­но­го об­ще­ст­ва при­вёл к срав­ни­тель­но­му за­стою в раз­ви­тии Г., од­на­ко она про­дол­жа­ла раз­ви­вать­ся в Ин­дии, Ср. Азии, стра­нах араб­ско­го Вос­то­ка.

Воз­ро­ж­де­ние на­ук и ис­кусств в Ев­ро­пе при­ве­ло к даль­ней­ше­му раз­ви­тию Г. Прин­ци­пи­аль­но но­вый шаг был сде­лан в 1-й пол. 17 в. Р. Де­кар­том, ко­то­рый ввёл в Г. ме­тод ко­ор­ди­нат. Этот ме­тод по­зво­лил свя­зать Г. с раз­ви­вав­шей­ся то­гда ал­геб­рой и за­ро­ж­даю­щим­ся ма­те­ма­тич. ана­ли­зом. При­ме­не­ние ме­то­дов этих на­ук в Г. по­ро­ди­ло ана­ли­ти­че­скую гео­мет­рию, а по­том и диф­фе­рен­ци­аль­ную гео­мет­рию, Г. пе­ре­шла на ка­че­ст­вен­но но­вую сту­пень по срав­не­нию с Г. древ­них: в ней ста­ли рас­смат­ри­вать­ся го­раз­до бо­лее об­щие фи­гу­ры и при­ме­нять­ся но­вые ме­то­ды. С это­го вре­ме­ни на­чи­на­ет­ся тре­тий пе­ри­од раз­ви­тия Г. Ана­ли­тич. Г. изу­ча­ет фи­гу­ры и пре­об­ра­зо­ва­ния, за­да­вае­мые ал­геб­ра­ич. урав­не­ния­ми в пря­мо­уголь­ных ко­ор­дина­тах, ис­поль­зуя при этом ме­то­ды алгеб­ры. Диф­фе­рен­ци­аль­ная Г., воз­ник­шая в 18 в. в ра­бо­тах Л. Эй­ле­ра, Г. Мон­жа и др., ис­сле­ду­ет уже лю­бые дос­та­точ­но глад­кие кри­вые ли­нии и по­верх­но­сти, их се­мей­ст­ва (в т. ч. их не­пре­рыв­ные со­во­куп­но­сти) и пре­об­ра­зова­ния. Её на­зва­ние свя­за­но в осн. с ис­поль­зуе­мы­ми ме­то­да­ми, бе­ру­щи­ми на­ча­ло в диф­фе­рен­ци­аль­ном ис­чис­ле­нии. К 1-й пол. 17 в. от­но­сит­ся за­ро­ж­де­ние про­ек­тив­ной гео­мет­рии в ра­бо­тах Ж. Де­зар­га и Б. Пас­ка­ля. Она воз­ник­ла из за­дач изо­бра­же­ния тел на плос­ко­сти; её пер­вой за­да­чей бы­ло изу­че­ние тех свойств пло­ских фи­гур, ко­торые со­хра­ня­ют­ся при про­ек­ти­ро­ва­нии с од­ной плос­ко­сти на дру­гую. Окон­ча­тель­ное оформ­ле­ние и сис­те­ма­тич. из­ло­же­ние этих но­вых на­прав­ле­ний Г. бы­ли да­ны Эй­ле­ром для ана­ли­тич. Г. (1748), Мон­жем для диф­фе­рен­ци­аль­ной Г. (1795), Ж. Пон­се­ле для про­ек­тив­ной Г. (1822), при­чём са­мо уче­ние о гео­мет­рич. изо­бра­же­нии (в свя­зи с за­да­ча­ми чер­че­ния) бы­ло раз­ви­то Мон­жем (1799) в ви­де на­чер­та­тель­ной Г. Во всех этих новых дис­ципли­нах ос­но­вы (ак­сио­мы, ис­ход­ные по­ня­тия) Г. ос­та­ва­лись не­из­мен­ны­ми, круг же изу­чае­мых фи­гур и их свойств, а так­же при­ме­няе­мых ме­тодов рас­ши­рял­ся.

Чет­вёр­тый пе­ри­од в раз­ви­тии Г. на­чи­на­ет­ся с по­строе­ния Н. И. Ло­ба­чев­ским но­вой, не­евк­ли­до­вой Г. (1826), по­лу­чив­шей назв. Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рии. Не­за­ви­си­мо от Ло­ба­чев­ско­го ту же Г. по­стро­ил Я. Боль­яй (1832) (те же идеи раз­ви­вал К. Га­усс, но он не опуб­ли­ко­вал свои ре­зуль­та­ты). Сущ­ность идей Ло­ба­чев­ско­го сво­дит­ся к сле­дую­ще­му. В Г. Евк­ли­да име­ет­ся ак­сио­ма о па­рал­лель­ных, ко­то­рая со­сто­ит в том, что через точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, мож­но про­вес­ти лишь од­ну пря­мую, па­рал­лель­ную дан­ной. Мн. гео­мет­ры пы­та­лись до­ка­зать это ут­вер­жде­ние, ис­хо­дя из др. ак­си­ом Г. Евк­ли­да, но без­ус­пеш­но. Ло­ба­чев­ский при­шёл к мыс­ли, что та­кое до­ка­за­тель­ст­во не­воз­мож­но, и ес­ли за­ме­нить ак­сио­му па­рал­лель­но­сти Евк­ли­да её от­ри­ца­ни­ем, то мы не при­дём к про­ти­во­ре­чию. В Г. Ло­ба­чев­ско­го ут­вер­жде­ние, про­ти­во­по­лож­ное ак­сио­ме Евк­ли­да, со­сто­ит в том, что че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, в плос­ко­сти, про­хо­дя­щей че­рез эти пря­мую и точ­ку, мож­но про­вес­ти, по край­ней ме­ре, две пря­мые, не пе­ре­се­каю­щие дан­ной. За­ме­на ак­сио­мы па­рал­лель­но­сти Евк­ли­да ак­сио­мой па­рал­лель­но­сти Ло­ба­чев­ско­го при­во­дит к ло­ги­че­ски безу­преч­ным вы­во­дам. Сис­те­ма этих вы­во­дов и об­ра­зу­ет но­вую, не­евк­ли­до­ву Г. За­слу­га Ло­ба­чев­ско­го со­сто­ит в том, что он не толь­ко вы­сказал эту идею, но дей­ст­ви­тель­но по­стро­ил и все­сто­рон­не раз­вил но­вую Г., ока­зав­шую­ся ло­ги­че­ски столь же совер­шен­ной и бо­га­той вы­во­да­ми, как евк­лидо­ва, не­смот­ря на её не­со­от­вет­ствие обыч­ным на­гляд­ным пред­став­ле­ниям.

До от­кры­тия не­евк­ли­до­вой Г. не воз­ни­кал во­прос о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти си­с­те­мы ак­си­ом, ле­жа­щих в ос­но­ве Г. Счи­та­лось, что по­сколь­ку ак­сио­мы Г. от­ра­жа­ют со­от­но­ше­ния ме­ж­ду оп­ре­де­лён­ны­ми ре­аль­ны­ми объ­ек­та­ми, то они не мо­гут при­вес­ти к вы­во­дам, со­дер­жащим в се­бе про­ти­во­ре­чия. Н. И. Ло­ба­чев­ский был уве­рен в том, что даль­ней­шее раз­ви­тие но­вой Г. не при­ве­дёт к по­яв­ле­нию про­ти­во­ре­чий. Эта уве­рен­ность, од­на­ко, име­ла субъ­ек­тив­ный ха­рак­тер и не мог­ла пол­но­стью убе­дить всех со­вре­мен­ни­ков Ло­ба­чев­ско­го. До­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти его Г. бы­ло по­лу­че­но пу­тём по­строе­ния ин­терпре­та­ций Г. (мо­де­лей Г.) Ло­ба­чев­ско­го, осу­ще­ст­в­лён­но­го Э. Бельт­ра­ми и Ф. Клей­ном. Бельт­ра­ми по­ка­зал, что на вся­кой по­верх­но­сти по­сто­ян­ной от­ри­ца­тель­ной кри­виз­ны реа­ли­зу­ет­ся Г. Ло­ба­чев­ско­го. При­ме­ры та­ких по­верх­но­стей бы­ли из­вест­ны. Для та­ких по­верх­но­стей Бельт­ра­ми оп­ре­де­лил не­ко­то­рую спец. сис­те­му ко­ор­ди­нат. Раз­вивая ис­сле­до­ва­ние Бельт­ра­ми, Клейн по­стро­ил пер­вую мо­дель Г. Ло­ба­чев­ско­го в кру­ге ра­диу­са 1 на обыч­ной евк­ли­до­вой плос­ко­сти. В мо­де­ли Клей­на ка­ж­дой точ­ке плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го от­веча­ет точ­ка это­го кру­га, пря­мым на плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го от­ве­ча­ют хор­ды кру­га, вся­ко­му дви­же­нию плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го от­ве­ча­ет про­ек­тив­ное пре­об­ра­зо­ва­ние евк­ли­до­вой плос­ко­сти, пре­об­ра­зую­щее ука­зан­ный круг в се­бя. Вся­ко­му ут­вер­жде­нию Г. Ло­ба­чев­ско­го от­ве­ча­ет не­ко­то­рое ут­вер­жде­ние евк­ли­до­вой Г. При этом про­ти­во­ре­чие в Г. Ло­ба­чев­ско­го ав­то­ма­ти­че­ски при­во­дит к про­ти­во­ре­чию в евк­ли­до­вой Г. Во­прос о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти не­евк­ли­до­вой Г. тем са­мым сво­дит­ся к во­про­су о не­проти­во­ре­чи­во­сти обыч­ной евк­ли­до­вой Г. Ин­тер­пре­та­ция Бельт­ра­ми – Клей­на мо­жет быть по­лу­че­на кон­ст­рук­ци­ей в рам­ках Г. Ло­ба­чев­ско­го.

Ме­тод мо­де­лей, ис­точ­ни­ком ко­то­ро­го яви­лись ис­сле­до­ва­ния Н. И. Ло­ба­чев­ско­го, ис­поль­зу­ет­ся в та­ких об­лас­тях совр. ма­те­ма­ти­ки, как ма­те­ма­тич. ло­ги­ка и функ­цио­наль­ный ана­лиз. Ме­тод ко­ор­ди­нат Р. Де­кар­та, по­зво­ляя пред­став­лять в ал­геб­ра­ич. фор­ме со­от­но­ше­ния ме­ж­ду гео­мет­рич. объ­ек­та­ми, фак­ти­че­ски да­ёт не­ко­то­рую ал­геб­ра­ич. мо­дель обыч­ной евк­ли­до­вой Г.

Глав­ная осо­бен­ность но­во­го пе­рио­да в ис­то­рии Г., на­чав­ше­го­ся с ра­бот Н. И. Ло­ба­чев­ско­го, со­сто­ит в раз­ви­тии но­вых гео­мет­рич. тео­рий – но­вых «гео­мет­рий» и в со­от­вет­ст­вую­щем обоб­ще­нии пред­ме­та Г.; воз­ни­ка­ет по­ня­тие о раз­но­го ро­да про­стран­ст­вах. При этом од­ни тео­рии скла­ды­ва­лись внут­ри евк­ли­до­вой Г. в ви­де её осо­бых раз­де­лов и лишь по­том по­лу­ча­ли са­мо­сто­ят. зна­че­ние. Так скла­ды­ва­лись про­ек­тив­ная, аф­фин­ная, кон­форм­ная Г. и др., пред­ме­том ко­то­рых слу­жат свой­ст­ва фи­гур, со­хра­няю­щие­ся при со­от­вет­ст­вую­щих (про­ек­тив­ных, аф­фин­ных, кон­форм­ных и др.) пре­об­ра­зо­ва­ни­ях. Дру­гие тео­рии, по­доб­но Г. Ло­ба­чев­ско­го, с са­мо­го на­ча­ла строи­лись на ос­но­ве из­ме­не­ния и обоб­ще­ния по­ня­тий евк­ли­до­вой Г. Так, соз­да­ва­лась, напр., мно­го­мер­ная Г.; пер­вые от­но­ся­щие­ся к ней ра­бо­ты (Г. Грассман­ и А. Кэ­ли, 1844) пред­став­ля­ли фор­маль­ное обоб­ще­ние обыч­ной ана­литич. Г. с трёх на про­из­воль­ное чис­ло ко­ор­ди­нат. Не­ко­то­рый итог раз­ви­тия всех этих но­вых Г. под­вёл Ф. Клейн (1872), ука­зав об­щий прин­цип их по­строе­ния. Прин­ци­пи­аль­ный шаг был сде­лан Б. Ри­ма­ном в лек­ции 1854 (опубл. в 1867), ко­то­рый, во-пер­вых, явно сфор­му­ли­ро­вал обоб­щён­ное пред­став­ле­ние о про­стран­ст­ве как о не­пре­рыв­ной со­во­куп­но­сти лю­бых од­но­род­ных объ­ек­тов или яв­ле­ний, а во-вто­рых, ввёл по­ня­тие про­стран­ст­ва с лю­бым за­ко­ном из­ме­ре­ния рас­стоя­ний бес­ко­неч­но ма­лы­ми ша­га­ми. Это по­ло­жи­ло на­ча­ло раз­ви­тию об­шир­ной об­лас­ти Г., т. н. ри­ма­но­вой гео­мет­рии и её обоб­ще­ний, на­шед­шей важ­ные при­ло­же­ния в тео­рии от­но­си­тель­но­сти, в ме­ха­ни­ке и др. нау­ках. В то же вре­мя на­ча­ла раз­ви­вать­ся то­по­ло­гия как уче­ние о тех свой­ст­вах фи­гур, ко­то­рые за­ви­сят лишь от вза­им­но­го при­кос­но­ве­ния их час­тей и ко­то­рые со­хра­ня­ют­ся при лю­бых пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, не на­ру­шаю­щих и не вво­дя­щих но­вых при­кос­но­ве­ний, т. е. про­ис­хо­дя­щих без раз­ры­вов и склеи­ва­ний. В 20 в. то­по­ло­гия офор­ми­лась в са­мо­стоят. дис­ци­п­ли­ну. Так Г. пре­вра­ти­лась в раз­ветв­лён­ную со­во­куп­ность ма­те­ма­тич. тео­рий, изу­чаю­щих раз­ные про­стран­ст­ва (евк­ли­до­во, Ло­ба­чев­ско­го, про­ек­тив­ное, ри­ма­но­вы и др.) и фи­гу­ры в этих про­стран­ст­вах. Од­но­вре­мен­но с раз­ви­ти­ем но­вых гео­мет­рич. тео­рий ве­лась раз­ра­бот­ка уже сло­жив­ших­ся об­лас­тей евк­ли­до­вой Г.– эле­мен­тар­ной, ана­ли­ти­че­ской и диф­фе­рен­ци­аль­ной Г. Вме­сте с тем пред­мет Г. рас­ши­рил­ся в том смыс­ле, что рас­ши­рил­ся круг ис­сле­дуе­мых фи­гур и круг изу­чае­мых свойств этих фи­гур; рас­ши­ри­лось са­мо по­ня­тие о фи­гу­ре. На сты­ке ана­ли­за и Г. в 1870-х гг. воз­ник­ла об­щая тео­рия то­чеч­ных мно­жеств, ко­то­рая, од­на­ко, уже не при­чис­ля­ет­ся к Г., а со­став­ля­ет осо­бую дис­ци­п­ли­ну – мно­жеств тео­рию. Фи­гу­ра ста­ла оп­ре­де­лять­ся в Г. как мно­же­ст­во то­чек. Раз­ви­тие Г. бы­ло тес­но свя­за­но с ана­ли­зом тех свойств про­стран­ст­ва, ко­то­рые ле­жат в ос­но­ве евк­ли­до­вой Г. Ины­ми сло­ва­ми, оно бы­ло свя­за­но с уточ­не­ни­ем ос­но­ва­ний са­мой евк­ли­до­вой Г. Эта ра­бо­та при­ве­ла в кон. 19 в. к точ­ной фор­му­ли­ров­ке ак­си­ом евк­ли­до­вой Г., а так­же дру­гих гео­мет­рий.

Эле­мен­тар­ная Г. в це­лом мо­жет счи­тать­ся за­кон­чен­ной об­ла­стью ма­те­ма­ти­ки. Это, од­на­ко, не ис­клю­ча­ет от­кры­тия в ней но­вых фак­тов, в пер­вую оче­редь бла­го­да­ря ис­поль­зо­ва­нию но­вых об­щих гео­мет­рич. кон­цеп­ций. При­ме­ром мо­гут слу­жить не­ко­то­рые тео­ре­мы тео­рии вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, ко­то­рые по сво­ей фор­му­ли­ров­ке во мно­гих слу­ча­ях мо­гут быть от­не­се­ны к эле­мен­тар­ной Г., хо­тя их до­ка­за­тель­ст­ва час­то ос­но­ва­ны на при­ме­не­нии ма­те­ма­тич. ап­па­ра­та, ле­жа­ще­го за пре­де­ла­ми эле­мен­тар­ной ма­те­ма­ти­ки. Воз­мож­ны так­же и на­ход­ки но­вых гео­мет­рич. ре­зуль­та­тов в сти­ле «На­чал» Евк­ли­да.

Обобщение предмета геометрии

Воз­мож­ность обоб­ще­ния и ви­до­из­ме­не­ния гео­мет­рич. по­ня­тий лег­че все­го по­яс­нить на при­ме­ре. Так, на по­верх­но­сти ша­ра мож­но со­еди­нять точ­ки крат­чай­ши­ми ли­ния­ми – ду­га­ми боль­ших кру­гов, мож­но из­ме­рять уг­лы и пло­ща­ди, стро­ить разл. фи­гу­ры. Их изу­че­ние со­став­ля­ет пред­мет Г. на сфе­ре, по­доб­но то­му как пла­ни­мет­рия есть Г. на плос­ко­сти. За­ко­ны Г. на сфе­ре от­лич­ны от за­ко­нов пла­ни­мет­рии; так, напр., дли­на ок­руж­но­сти здесь не про­пор­цио­наль­на ра­диу­су и дос­ти­га­ет мак­си­му­ма для эк­ва­то­ра; сум­ма уг­лов тре­уголь­ни­ка на сфе­ре за­ви­сит от тре­уголь­ни­ка и все­гда боль­ше двух пря­мых. На лю­бой по­верх­но­сти мож­но про­во­дить ли­нии, из­ме­рять их дли­ны, уг­лы ме­ж­ду ни­ми, оп­ре­де­лять ог­ра­ни­чен­ные ими пло­ща­ди. Раз­ви­вае­мая так Г. на по­верх­но­сти на­зы­ва­ет­ся внут­рен­ней гео­мет­ри­ей (К. Га­усс, 1827). Воз­мож­ность по­строе­ния раз­ных Г. на­во­дит на мысль, что свой­ст­ва ре­аль­но­го про­стран­ст­ва мо­гут лишь при­бли­жён­но опи­сы­вать­ся евк­ли­до­вой Г. Эта идея, впер­вые вы­ска­зан­ная Н. И. Ло­ба­чев­ским, на­шла под­твер­жде­ние в об­щей тео­рии от­но­си­тель­ности.

Г. аб­ст­ракт­но­го про­стран­ст­ва мо­жет ма­ло по­хо­дить на Г. трёх­мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, по­сколь­ку аб­ст­ракт­ное про­стран­ст­во мо­жет быть, напр., не­од­но­род­ным по сво­им гео­мет­рич. свой­ст­вам и ко­неч­ным, по­доб­но замк­ну­той по­верх­но­сти.

Про­стей­шим при­ме­ром аб­ст­ракт­ной гео­мет­рич. тео­рии, наи­бо­лее близ­кой к евк­ли­до­вой Г., мо­жет слу­жить Г. $n$-мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва. Она стро­ит­ся пу­тём про­сто­го обоб­ще­ния осн. по­ло­же­ний обыч­ной Г., при­чём для это­го име­ет­ся неск. воз­мож­но­стей: мож­но, напр., обоб­щать ак­сио­мы обыч­ной Г., но мож­но ис­хо­дить и из за­да­ния то­чек ко­ор­ди­на­та­ми. При вто­ром под­хо­де $n$-мер­ное про­стран­ст­во оп­ре­де­ля­ют как мно­же­ст­во то­чек, за­да­вае­мых (ка­ж­дая) $n$ чис­ла­ми $x_1, ..., x_n$, ко­ор­ди­на­та­ми точек. Рас­стоя­ние $r $ ме­ж­ду точ­ка­ми $X=(x_1, ..., x_n)$ и $X′=(x'_1, ..., x'_n)$ оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой$$r=\sqrt{(x_1-x'_1)^2+ \ldots +(x_n-x'_n)^2},$$что яв­ля­ет­ся пря­мым обоб­ще­ни­ем из­вест­ной фор­му­лы для рас­стоя­ния в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве. Дви­же­ние оп­ре­де­ля­ют как пре­об­ра­зо­ва­ние фи­гу­ры, ко­то­рое не из­ме­ня­ет рас­стоя­ний ме­ж­ду её точ­ка­ми. Пред­мет $n$-мер­ной евк­ли­до­вой Г. – ис­сле­до­ва­ние тех свойств фи­гур, ко­то­рые не ме­ня­ют­ся при дви­же­ни­ях. На этой ос­но­ве лег­ко вво­дят­ся по­ня­тия пря­мой, плос­ко­стей разл. чис­ла из­ме­ре­ний от 2 до $n-1$, ша­ра и т. д. Та­ким обра­зом скла­ды­ва­ет­ся со­дер­жа­тель­ная тео­рия, во мно­гом ана­ло­гич­ная обыч­ной евк­ли­до­вой Г., но во мно­гом и от­лич­ная от неё. Не­ред­ко ут­вер­жде­ния, вер­ные для трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва, с со­от­вет­ст­вую­щи­ми из­ме­не­ния­ми вер­ны и для про­странств лю­бо­го чис­ла из­ме­ре­ний. Напр., тео­ре­ма о том, что сре­ди всех тел оди­на­ко­во­го объ­ё­ма наи­мень­шую пло­щадь по­верх­но­сти име­ет шар, ос­та­ёт­ся спра­вед­ли­вой в про­стран­ст­ве лю­бо­го чис­ла из­ме­ре­ний (нуж­но лишь иметь в ви­ду $n$-мер­ный шар, $n$-мер­ный объ­ём и ($n-1$)-мер­ную пло­щадь, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют­ся ана­ло­гич­но со­от­вет­ст­вую­щим по­ня­ти­ям обыч­ной Г.). Да­лее, в $n$-мер­ном про­стран­ст­ве объ­ём приз­мы ра­вен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объ­ём пи­ра­ми­ды – та­ко­му же про­из­ве­де­нию, де­лён­но­му на $n$. Та­кие при­ме­ры мож­но про­дол­жить.

Од­на и та же гео­мет­рическая тео­рия до­пус­ка­ет раз­ные при­ло­же­ния, раз­ные ис­тол­ко­ва­ния (осу­ще­ст­в­ле­ния, мо­де­ли, ин­тер­пре­та­ции). Воз­мож­ность раз­ных осу­ще­ст­в­ле­ний гео­мет­рической тео­рии яв­ля­ет­ся об­щим свой­ст­вом вся­кой ма­те­ма­тической тео­рии. Ма­те­ма­ти­ка рас­смат­ри­ва­ет лишь фор­му яв­ле­ния, от­вле­ка­ясь от со­дер­жания, а с точ­ки зре­ния фор­мы мно­гие ка­че­ст­вен­но различные яв­ле­ния фор­маль­но час­то ока­зы­ва­ют­ся ма­те­ма­ти­че­ски сход­ны­ми. Раз­но­об­ра­зие при­ло­же­ний ма­те­ма­ти­ки, и в ча­ст­но­сти Г., обес­пе­чи­ва­ет­ся имен­но её аб­ст­ракт­ным ха­рак­те­ром.

Ис­тол­ко­ва­ние од­ной ма­те­ма­тич. тео­рии по­сред­ст­вом дру­гой ста­ло ме­то­дом обос­но­ва­ния но­вых тео­рий, приё­мом до­ка­за­тель­ст­ва их не­про­ти­во­ре­чи­во­сти, по­сколь­ку про­ти­во­ре­чие в но­вой тео­рии по­ро­ж­да­ло бы про­ти­во­ре­чие в той тео­рии, в ко­то­рой она ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся. Но тео­рия, по­сред­ст­вом ко­то­рой про­из­во­дит­ся ис­тол­ко­ва­ние, в свою оче­редь, ну­ж­да­ет­ся в обос­но­ва­нии. Для до­ка­за­тель­ст­ва не­про­ти­во­ре­чи­во­сти гео­мет­рич. тео­рии ча­ще все­го при­бе­га­ют к по­строе­нию ана­ли­тич. ин­тер­пре­та­ции. Напр., точ­кам евк­ли­до­вой плос­ко­сти мо­гут со­пос­тав­лять­ся па­ры чи­сел.

Современная геометрия

При­ня­тое в совр. ма­те­ма­ти­ке фор­маль­но ма­те­ма­тич. оп­ре­де­ле­ние по­ня­тий про­стран­ст­ва и фи­гу­ры ис­хо­дит из по­ня­тия мно­же­ст­ва. Про­стран­ст­во оп­ре­де­ля­ет­ся как мно­же­ст­во к.-л. эле­мен­тов (объ­ек­тов, то­чек) с ус­ло­ви­ем, что в этом мно­же­ст­ве ус­та­нов­ле­ны не­ко­то­рые от­но­ше­ния, сход­ные с обыч­ны­ми про­стран­ст­вен­ны­ми от­но­ше­ния­ми. Напр., мно­же­ст­во со­стоя­ний фи­зич. сис­те­мы и мно­же­ст­во не­пре­рывных функ­ций, за­дан­ных на от­рез­ке [0, 1], об­ра­зу­ют про­стран­ст­ва, где точ­ка­ми бу­дут со­от­вет­ст­вен­но со­стоя­ния и функ­ции. Точ­нее, эти мно­же­ст­ва по­ни­ма­ют­ся как про­стран­ст­ва, ес­ли толь­ко в них оп­ре­де­ля­ют­ся со­от­вет­ст­вую­щие от­но­ше­ния, напр. рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми. Так, рас­стоя­ние ме­ж­ду функ­ция­ми мож­но оп­ре­де­лить как мак­си­мум абсо­лют­ной ве­ли­чи­ны их раз­но­сти. Фи­гу­ра оп­ре­де­ля­ет­ся как мно­же­ст­во то­чек в дан­ном про­стран­ст­ве. Ино­гда про­стран­ст­во – это сис­те­ма из мно­жеств эле­мен­тов; напр., в про­ек­тив­ной Г. при­ня­то рас­смат­ри­вать точ­ки, пря­мые и плос­ко­сти как рав­но­прав­ные ис­ход­ные гео­мет­рич. объ­ек­ты, свя­зан­ные от­но­ше­ния­ми со­еди­не­ния. Мож­но рас­смат­ри­вать про­стран­ст­ва, точ­ки ко­то­рых са­ми суть не­ко­то­рые про­стран­ства.

Осн. прин­ци­пы, ко­то­рые при­во­дят ко все­му раз­но­об­ра­зию про­странств совр. Г., сле­дую­щие.

1) Об­щи­ми от­но­ше­ния­ми, имею­щи­ми­ся во вся­ком мно­же­ст­ве, яв­ля­ют­ся от­но­ше­ния при­над­леж­но­сти (точ­ка при­над­ле­жит мно­же­ст­ву) и вклю­че­ния (од­но мно­же­ст­во есть часть дру­го­го). Ес­ли при­ня­ты во вни­ма­ние толь­ко эти от­но­ше­ния, то «гео­мет­рия» ещё не оп­ре­де­ле­на и мно­же­ст­во не рас­смат­ри­ва­ет­ся как про­стран­ст­во. Од­на­ко ес­ли вы­де­ле­ны не­ко­то­рые спец. фи­гу­ры (мно­же­ст­ва то­чек), то «гео­мет­рия» про­стран­ст­ва мо­жет оп­ре­де­лять­ся за­ко­на­ми свя­зи то­чек с эти­ми фи­гу­ра­ми. Та­кую роль иг­ра­ют ак­сио­мы со­че­та­ния в эле­мен­тар­ной, аф­фин­ной, про­ек­тив­ной Г., в ко­то­рых спец. мно­же­ст­ва­ми слу­жат пря­мые и плос­ко­сти.

Тот же прин­цип вы­де­ле­ния не­ко­то­рых спец. мно­жеств по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить по­ня­тие то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва – про­стран­ст­ва, в ко­то­ром в ка­че­ст­ве спец. мно­жеств вы­де­ле­ны ок­ре­ст­но­сти то­чек (с ус­ло­ви­ем, что точ­ка при­над­ле­жит сво­ей ок­ре­ст­но­сти и ка­ж­дая точ­ка име­ет хо­тя бы од­ну ок­ре­ст­ность; даль­ней­шие тре­бо­ва­ния на ок­ре­ст­но­сти оп­ре­де­ля­ют разл. клас­сы то­по­ло­гич. про­странств). Ес­ли лю­бая ок­ре­ст­ность точ­ки со­дер­жит эле­мен­ты не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва, то эта точ­ка на­зы­ва­ет­ся точ­кой при­кос­но­ве­ния дан­но­го мно­же­ст­ва. Два мно­же­ст­ва на­зы­ва­ют­ся со­при­ка­саю­щи­ми­ся, ес­ли хо­тя бы од­но из них со­дер­жит точ­ку при­кос­но­ве­ния дру­го­го; про­стран­ст­во или фи­гу­ра на­зы­ва­ется не­пре­рыв­ной или связ­ной, ес­ли её нель­зя пред­ста­вить как объ­е­ди­не­ние двух не­со­при­ка­саю­щих­ся час­тей; пре­об­ра­зо­ва­ние на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ным, ес­ли оно не на­ру­ша­ет со­при­кос­но­ве­ний. Т. о., по­ня­тие то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва слу­жит для ма­те­ма­тич. вы­ра­же­ния по­ня­тия не­пре­рыв­но­сти. По­ня­тие то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва мож­но оп­ре­де­лять и др. спо­со­ба­ми. То­по­ло­гич. про­стран­ст­ва как та­ко­вые, мно­же­ст­ва в них и их пре­об­ра­зо­ва­ния слу­жат пред­ме­том то­по­ло­гии. Пред­мет соб­ст­вен­но Г. (в зна­чи­тель­ной её час­ти) со­став­ля­ет ис­сле­дова­ние то­по­ло­гич. про­странств и фи­гур в них, на­де­лён­ных до­пол­ни­тель­ны­ми свой­ст­ва­ми.

2) Важ­ней­ший прин­цип по­строе­ния и ис­сле­до­ва­ния разл. про­странств ос­но­ван на вве­де­нии ко­ор­ди­нат. Мно­го­об­ра­зи­ем на­зы­ва­ет­ся та­кое связ­ное то­по­ло­гич. про­стран­ст­во, в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки ко­то­ро­го мож­но вве­сти ко­ор­ди­на­ты, по­ста­вив точ­ки ок­ре­ст­но­сти во вза­им­но од­но­знач­ное и вза­им­но не­пре­рыв­ное со­от­вет­ст­вие с сис­те­ма­ми из $n$ дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x_1,x_2, …, x_n$. Чис­ло $n$ есть раз­мер­ность мно­го­об­ра­зия. Про­стран­ст­ва, изу­чае­мые в боль­шин­ст­ве гео­мет­рич. тео­рий, яв­ля­ют­ся мно­го­об­ра­зи­я­ми; про­стей­шие гео­мет­рич. фи­гу­ры (от­рез­ки, час­ти по­верх­но­стей, ог­ра­ни­чен­ные кри­вы­ми, и т. п.) обыч­но пред­став­ля­ют со­бой кус­ки мно­го­об­ра­зий. Ес­ли сре­ди всех сис­тем ко­ор­ди­нат, ко­то­рые мож­но вве­сти в кус­ках мно­го­об­ра­зия, вы­де­ля­ют­ся сис­те­мы ко­ор­ди­нат та­кие, что од­ни ко­ор­ди­на­ты вы­ра­жа­ют­ся че­рез дру­гие диф­фе­рен­ци­руе­мы­ми (то или иное чис­ло раз) или ана­ли­тич. функ­ция­ми, то по­лу­ча­ют т. н. глад­кое (ана­ли­ти­че­ское) мно­го­об­ра­зие. Это по­ня­тие обоб­ща­ет на­гляд­ное пред­став­ле­ние о глад­кой по­верх­но­сти. Изу­че­ние глад­ких мно­го­об­ра­зий со­став­ля­ет пред­мет диф­фе­рен­ци­аль­ной то­по­ло­гии. В Г. глад­кие мно­го­об­ра­зия на­де­ля­ют­ся раз­но­го ро­да до­пол­ни­тель­ны­ми струк­ту­ра­ми. Ко­ор­ди­на­ты с при­ня­тым ус­ло­ви­ем диф­фе­рен­ци­руе­мо­сти их пре­об­ра­зо­ва­ний да­ют ос­но­ву для ши­ро­ко­го при­ме­не­ния ана­ли­тич. ме­то­дов – диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния, а так­же век­тор­но­го и тен­зор­но­го ана­лиза. Со­во­куп­ность гео­мет­рич. тео­рий, раз­ви­вае­мых эти­ми ме­то­да­ми, об­ра­зу­ет об­щую диф­фе­рен­ци­аль­ную Г., про­стей­шим раз­де­лом ко­то­рой яв­ля­ет­ся клас­сич. тео­рия глад­ких кри­вых и по­верх­но­стей, пред­став­ляю­щих со­бой од­но- и дву­мер­ные диф­фе­рен­ци­руе­мые мно­го­об­ра­зия.

3) Обоб­ще­ние по­ня­тия дви­же­ния как пре­об­ра­зо­ва­ния од­ной фи­гу­ры в дру­гую при­во­дит к об­ще­му прин­ци­пу оп­ре­де­ления про­странств, впер­вые сфор­му­ли­ро­ван­но­му Ф. Клей­ном в его эр­лан­ген­ской про­грам­ме. Про­стран­ст­вом счи­та­ет­ся мно­же­ст­во эле­мен­тов (то­чек), в ко­то­ром за­да­на груп­па вза­им­но од­но­знач­ных пре­об­ра­зо­ва­ний это­го мно­же­ст­ва на се­бя. В Г. та­ких про­странств изу­ча­ют­ся те свой­ст­ва фи­гур, ко­то­рые со­хра­ня­ют­ся при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях из этой груп­пы. С точ­ки зре­ния та­кой Г. фи­гу­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли ка­ж­дая из них мо­жет быть пре­об­ра­зо­ва­на в дру­гую по­сред­ст­вом пре­об­ра­зо­ва­ния из дан­ной груп­пы. Напр., евк­ли­до­ва Г. изу­ча­ет свой­ст­ва фи­гур, со­хра­няю­щие­ся при дви­же­ни­ях, аф­фин­ная Г. – свой­ст­ва фи­гур, со­хра­няю­щие­ся при аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, то­по­ло­гия – свой­ст­ва фи­гур, со­хра­няю­щие­ся при лю­бых вза­им­но од­но­знач­ных и вза­им­но не­пре­рыв­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях. В эту же схе­му вклю­ча­ют­ся Г. Ло­ба­чев­ско­го и про­ек­тив­ная Г. Фак­ти­че­ски этот прин­цип со­еди­ня­ет­ся с вве­де­ни­ем ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­во оп­ре­де­ля­ет­ся как глад­кое мно­го­об­ра­зие, в ко­то­ром пре­об­ра­зо­ва­ния за­да­ют­ся функ­ция­ми, свя­зы­ваю­щи­ми ко­ор­ди­на­ты ка­ж­дой дан­ной точ­ки и той, в ко­то­рую она пе­ре­хо­дит (ко­орди­на­ты об­раза точ­ки за­да­ют­ся как функ­ции ко­ор­ди­нат са­мой точ­ки и па­ра­мет­ров, от ко­то­рых за­ви­сит пре­об­ра­зо­ва­ние). Об­щим ап­па­ра­том для так по­лу­чае­мых Г. яв­ля­ет­ся тео­рия не­пре­рыв­ных групп пре­об­ра­зо­ва­ний.

4) Ещё один об­щий прин­цип оп­ре­де­ле­ния про­странств, ука­зан­ный в 1854 Б. Ри­ма­ном, ис­хо­дит из обоб­ще­ния по­ня­тия о рас­стоя­нии. По Ри­ма­ну, про­стран­ст­во – это глад­кое мно­го­об­ра­зие, в ко­то­ром за­дан за­кон из­ме­ре­ния рас­стоя­ний (точ­нее, длин) бес­ко­неч­но ма­лы­ми ша­га­ми, т. е. с по­мо­щью за­да­ния диф­фе­рен­циа­ла дли­ны ду­ги кри­вой как функ­ции ко­ор­ди­нат точ­ки кри­вой. Это яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем внут­рен­ней Г. по­верх­но­стей, рас­смат­ри­вав­шей­ся К. Га­ус­сом. Про­стей­ший слу­чай пред­став­ля­ют т. н. ри­ма­но­вы про­стран­ст­ва, в ко­торых в бес­ко­неч­но ма­лом име­ет ме­сто тео­ре­ма Пи­фа­го­ра (т. е. в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки мож­но вве­сти ко­ор­ди­на­ты так, что в этой точ­ке квад­рат диф­фе­рен­циа­ла дли­ны ду­ги бу­дет ра­вен сум­ме квад­ра­тов диф­фе­рен­циа­лов ко­ор­динат; в про­из­воль­ных же ко­ор­ди­на­тах он вы­ра­жа­ет­ся об­щей по­ло­жи­тель­ной квад­ра­тич­ной фор­мой; см. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия). Та­кие про­стран­ст­ва евк­ли­до­вы в бес­ко­неч­но ма­лом, но в це­лом они мо­гут не быть евк­ли­до­вы­ми, по­доб­но то­му как глад­кая по­верх­ность лишь в бес­ко­неч­но ма­лом мо­жет быть све­де­на к плос­ко­сти с со­от­вет­ст­вую­щей точ­но­стью. Г. Евк­ли­да и Ло­ба­чев­ско­го ока­зы­ва­ют­ся ча­ст­ны­ми слу­чая­ми этой ри­ма­но­вой Г. Наи­бо­лее ши­ро­кое обоб­ще­ние по­ня­тия рас­стоя­ния при­ве­ло к по­ня­тию мет­рич. про­стран­ст­ва, как мно­же­ст­ва эле­мен­тов, в ко­то­ром за­да­на мет­ри­ка, т. е. функ­ция, оп­ре­де­лён­ная для ка­ж­дой па­ры эле­мен­тов (рас­стоя­ние ме­ж­ду ни­ми), под­чи­нён­ная весь­ма об­щим ус­ло­ви­ям. Мет­рич. про­стран­ст­ва иг­ра­ют важ­ную роль в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и ле­жат в ос­но­ве не­ко­то­рых гео­мет­рич. тео­рий та­ких, как внут­рен­няя Г. не­глад­ких по­верх­но­стей и обоб­ще­ния ри­ма­но­вой Г.

5) Со­еди­не­ние идеи Ри­ма­на об оп­ре­де­ле­нии Г. в бес­ко­неч­но ма­лых об­лас­тях мно­го­об­ра­зия с оп­ре­де­ле­ни­ем Г. по­сред­ст­вом груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний при­ве­ло (Э. Кар­тан, 1922–25) к по­ня­тию о про­стран­ст­ве, в ко­то­ром пре­об­ра­зо­ва­ния за­да­ют­ся лишь в бес­ко­неч­но ма­лых об­лас­тях; ины­ми сло­ва­ми, здесь пре­об­ра­зо­ва­ния ус­та­нав­ли­ва­ют связь толь­ко бес­ко­неч­но близ­ких кус­ков мно­го­об­ра­зия: один ку­сок пре­об­ра­зу­ет­ся в дру­гой, бес­ко­неч­но близ­кий. Это при­во­дит к по­ня­тию про­стран­ст­ва со связ­но­стью то­го или ино­го ти­па. Со­вре­мен­ная фор­ма кон­цеп­ций Кар­та­на ос­но­ва­на на при­ме­не­нии по­ня­тия рас­сло­ён­но­го про­стран­ст­ва, воз­ник­ше­го в сер. 20 в. Эти кон­цеп­ции вклю­ча­ют, в ча­ст­но­сти, свя­зан­ное с тео­ри­ей от­но­си­тель­но­сти об­обще­ние ри­ма­но­вой Г., ко­гда рас­смат­ри­ва­ют­ся про­стран­ст­ва, где мет­ри­ка зада­ёт­ся уже не по­ло­жи­тель­ной, а зна­ко­пе­ре­мен­ной квад­ра­тич­ной фор­мой (та­кие про­стран­ст­ва так­же на­зы­ва­ют ри­ма­но­вы­ми или псев­до­ри­ма­но­вы­ми, ес­ли хо­тят от­ли­чить их от ри­ма­но­вых в пер­во­на­чаль­ном смыс­ле). Эти про­стран­ст­ва яв­ля­ют­ся про­стран­ст­ва­ми со связ­ностью, оп­ре­де­лён­ной со­от­вет­ст­вую­щей груп­пой, от­лич­ной от груп­пы евк­ли­до­вых дви­же­ний. Для по­строе­ния ри­ма­но­вой гео­мет­рии ещё в кон. 19 в. был соз­дан ана­ли­тич. ап­па­рат, на­зы­вае­мый тен­зор­ным ис­чис­ле­ни­ем. В сер. 50-х гг. 20 в. тен­зор­ное ис­чис­ле­ние под­верг­лось оп­ре­де­лён­ной пе­ре­строй­ке, свя­зан­ной с оп­ре­де­ле­ни­ем тен­зо­ра, не тре­бую­щим ис­поль­зо­ва­ния сис­тем ко­ор­ди­нат. Но­вая фор­ма тен­зор­но­го ана­ли­за обыч­но при­ме­ня­ет­ся в свя­зи с кон­цеп­ция­ми тео­рии рас­сло­ён­ных про­странств.

6) Ак­сио­ма­тич. ме­тод в его чис­том ви­де слу­жит ли­бо для оформ­ле­ния уже го­то­вых тео­рий, ли­бо для оп­ре­де­ле­ния об­щих ти­пов про­странств с вы­де­лен­ны­ми спец. мно­же­ст­ва­ми. Ес­ли же тот или иной тип кон­крет­ных про­странств оп­ре­де­ля­ют, фор­му­ли­руя их свой­ст­ва как ак­сио­мы, то обыч­но ис­поль­зу­ют ли­бо ко­ор­ди­на­ты, ли­бо мет­ри­ку. Не­про­ти­во­ре­чи­вость и тем са­мым ос­мыс­лен­ность ак­сио­ма­тич. тео­рии про­ве­ря­ет­ся ука­за­ни­ем мо­де­ли, на ко­то­рой она реа­ли­зу­ет­ся, как это впер­вые бы­ло сде­ла­но для Г. Ло­ба­чев­ско­го. Са­ма мо­дель стро­ит­ся из аб­ст­ракт­ных ма­те­ма­тич. объ­ек­тов, по­это­му окон­ча­тель­ное обос­но­ва­ние лю­бой гео­мет­рич. тео­рии ухо­дит в об­ласть ос­но­ва­ний ма­те­ма­ти­ки.

Пе­ре­чис­лен­ные прин­ци­пы в раз­ных со­че­та­ни­ях и ва­риа­ци­ях по­ро­ж­да­ют об­шир­ное раз­но­об­ра­зие гео­мет­рич. тео­рий. Зна­че­ние ка­ж­дой из них и сте­пень вни­ма­ния к её за­да­чам оп­ре­де­ля­ют­ся со­дер­жа­тель­но­стью этих за­дач и по­лу­чае­мых ре­зуль­та­тов, её свя­зя­ми с др. гео­мет­рич. тео­рия­ми, с др. об­лас­тя­ми ма­те­ма­ти­ки, с ес­те­ст­во­зна­ни­ем и за­да­ча­ми тех­ни­ки. Ка­ж­дая гео­мет­рич. тео­рия оп­ре­де­ля­ет­ся, во-пер­вых, тем, ка­ко­го ти­па про­стран­ст­ва в ней рас­смат­ри­ва­ют­ся, во-вто­рых, в оп­ре­де­ле­ние тео­рии вхо­дит ука­за­ние на ис­сле­дуе­мые фи­гу­ры. Так, раз­ли­ча­ют тео­рии мно­го­гран­ни­ков, кри­вых, по­верх­но­стей, вы­пук­лых тел и т. д. Ка­ж­дая из этих тео­рий мо­жет раз­ви­вать­ся в том или ином про­стран­ст­ве. Напр., мож­но рас­смат­ри­вать тео­рию мно­го­гран­ни­ков в обыч­ном евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве, в $n$-мер­ном евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве, в про­стран­ст­ве Ло­ба­чев­ско­го. Мож­но раз­ви­вать обыч­ную тео­рию по­верх­но­стей, про­ек­тив­ную, в про­стран­ст­ве Ло­ба­чев­ско­го. В-треть­их, име­ет зна­че­ние ха­рак­тер рас­смат­ри­вае­мых свойств фи­гур; так, мож­но изу­чать свой­ст­ва по­верх­но­стей, со­хра­няю­щие­ся при тех или иных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, изу­чать кри­виз­ну по­верх­но­стей, из­ги­ба­ния (т. е. де­фор­ма­ции, не ме­няю­щие длин кри­вых на по­верх­но­сти), внут­рен­нюю Г. На­ко­нец, в оп­ре­де­ле­ние тео­рии мож­но вклю­чать её осн. ме­тод и ха­рак­тер по­ста­нов­ки за­дач. Так, раз­ли­ча­ют эле­мен­тар­ную, ана­ли­ти­че­скую, диф­фе­рен­ци­аль­ную Г.; мож­но го­во­рить об эле­мен­тар­ной или ана­ли­тич. Г. про­ст­ран­ст­ва Ло­ба­чев­ско­го. Раз­ли­ча­ют Г. в ма­лом, рас­смат­ри­ваю­щую лишь свой­ст­ва сколь угод­но ма­лых кус­ков гео­мет­рич. об­раза (кри­вой, по­верх­но­сти, мно­го­об­ра­зия), и Г. в це­лом, изу­чаю­щую гео­мет­рич. об­ра­зы в це­лом. Раз­ли­ча­ют ана­ли­тич. ме­то­ды и соб­ст­вен­но гео­мет­рич. ме­то­ды, ино­гда на­зы­вае­мые ме­то­да­ми син­те­тич. Г. Пер­вые ис­поль­зу­ют сред­ст­ва со­от­вет­ст­вую­щих ис­чис­ле­ний – диф­фе­рен­ци­аль­но­го, тен­зор­но­го и др., вто­рые опе­ри­ру­ют не­по­сред­ст­вен­но гео­мет­рич. об­раз­ами. Из все­го раз­но­об­ра­зия гео­мет­рич. тео­рий бо­лее все­го раз­ви­ва­ют­ся $n$-мер­ная евк­ли­до­ва Г. и ри­ма­но­ва Г. (вклю­чая псев­до­ри­ма­но­ву Г.). В пер­вой раз­ра­ба­ты­ва­ет­ся гл. обр. тео­рия кри­вых и по­верх­но­стей (в т. ч. ги­пер­по­верх­но­стей раз­но­го чис­ла из­ме­ре­ний), при­чём осо­бое раз­ви­тие по­лу­чи­ло ис­сле­до­ва­ние по­верх­но­стей в це­лом и по­верх­но­стей, су­ще­ст­вен­но бо­лее об­щих, чем глад­кие, изу­чав­шие­ся в клас­сич. диф­фе­рен­ци­аль­ной Г.; сю­да же вклю­ча­ют­ся мно­го­гран­ни­ки (мно­го­гран­ные по­верх­но­сти). Сю­да же сле­ду­ет вклю­чить тео­рию вы­пук­лых тел, ко­то­рая в боль­шой час­ти мо­жет быть от­не­се­на к тео­рии по­верх­но­стей в це­лом, т. к. те­ло оп­ре­де­ля­ет­ся сво­ей по­верх­но­стью, а так­же тео­рию пра­виль­ных сис­тем фи­гур, т. е. сис­тем, до­пус­каю­щих дви­же­ния, пе­ре­во­дя­щие всю сис­те­му са­му в се­бя и к.-л. её фи­гу­ру в лю­бую дру­гую. Раз­ви­ти­ем это­го на­прав­ле­ния Г. яв­ля­ют­ся ис­сле­до­ва­ния, по­свя­щён­ные изу­че­нию дис­крет­ных под­групп не­пре­рыв­ных групп. Зна­чит. чис­ло важ­ней­ших ре­зуль­та­тов в этих об­лас­тях при­над­ле­жит рос. гео­мет­рам: пол­ная раз­ра­бот­ка тео­рии вы­пук­лых по­верх­но­стей и су­ще­ст­вен­ное раз­ви­тие тео­рии об­щих не­вы­пук­лых по­верх­но­стей, раз­но­об­раз­ные тео­ре­мы о по­верх­но­стях в це­лом (су­ще­ст­во­ва­ния и един­ст­вен­но­сти вы­пук­лых по­верх­но­стей с за­дан­ной внут­рен­ней мет­ри­кой или с за­дан­ной функ­ци­ей кри­виз­ны, тео­ре­ма о не­воз­мож­но­сти су­ще­ст­во­ва­ния пол­ной по­верх­но­сти с кри­виз­ной, всю­ду мень­шей к.-л. от­ри­ца­тель­но­го чис­ла), ис­сле­до­ва­ние т. н. пра­виль­но­го де­ле­ния про­стран­ст­ва. В тео­рии ри­ма­но­вых про­странств ис­сле­ду­ют­ся во­про­сы, ка­саю­щие­ся свя­зи их мет­рич. свойств с их то­по­ло­гич. строе­ни­ем, по­ве­де­ние гео­де­зи­че­ских (крат­чай­ших на ма­лых уча­ст­ках) ли­ний в це­лом, напр. во­прос о су­ще­ст­во­ва­нии замк­ну­тых гео­де­зи­че­ских, во­про­сы по­гру­же­ния, т. е. реа­ли­за­ции дан­но­го $m$-мер­но­го ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва в ви­де $m$-мер­ной по­верх­но­сти в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве бoльшего чис­ла из­ме­ре­ний, во­про­сы псев­до­ри­ма­но­вой Г., свя­зан­ные с об­щей тео­ри­ей от­но­си­тель­но­сти. Гео­мет­рич. трак­тов­ка за­дач тео­ре­тич. ме­ха­ни­ки при­ве­ла к соз­да­нию сим­плек­тич. Г. – но­во­го на­прав­ле­ния диф­фе­рен­ци­аль­ной Г., сфор­ми­ро­вав­ше­го­ся в осн. во 2-й пол. 20 в. К это­му мож­но до­ба­вить раз­ви­тие раз­но­об­раз­ных обоб­ще­ний ри­ма­но­вой Г. как в ду­хе об­щей диф­фе­рен­циаль­ной Г., так и в ду­хе обоб­ще­ний син­те­тич. Г., а так­же ал­геб­ра­ич. Г., раз­вив­шую­ся из ана­ли­тич. Г. и ис­сле­дую­щую пре­ж­де все­го гео­мет­рич. об­ра­зы, за­да­вае­мые ал­геб­ра­ич. урав­не­ния­ми; она за­ни­ма­ет осо­бое ме­сто, т. к. вклю­ча­ет не толь­ко гео­мет­рич., но так­же ал­геб­ра­ич. и ариф­ме­тич. про­бле­мы. Ис­сле­до­ва­ния бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств, ко­то­рые мож­но бы­ло бы от­не­сти к Г., не при­чис­ля­ет­ся к ней, а вклю­ча­ют­ся в функ­цио­наль­ный ана­лиз, т. к. бес­ко­неч­но­мер­ные про­стран­ст­ва кон­крет­но оп­ре­де­ля­ют­ся как про­стран­ст­ва, точ­ка­ми ко­то­рых слу­жат те или иные функ­ции. Тем не ме­нее в этой об­лас­ти есть мно­го ре­зуль­та­тов и про­блем, но­ся­щих гео­мет­рич. ха­рак­тер и ко­то­рые по­это­му мож­но от­но­сить к Г.

По­ня­тия вы­пук­ло­го те­ла и вы­пук­лой функ­ции воз­ник­ли в Г. По­ня­тие вы­пукло­сти име­ет фун­дам. зна­че­ние для функ­цио­наль­но­го ана­ли­за и для при­ло­же­ний ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти для тео­рии оп­ти­ми­за­ции.

Значение геометрии

Евк­ли­до­ва Г. при­ме­ня­ет­ся всю­ду, где име­ют де­ло с фи­гу­ра­ми и те­ла­ми, их пло­ща­дя­ми и объ­ё­ма­ми; напр., Г. ис­поль­зу­ет­ся в кар­то­гра­фии, гео­де­зии, ас­тро­но­мии, ме­ха­ни­ке, тех­ни­ке. Гео­мет­рич. ме­то­ды на­шли при­ме­не­ние в то­мо­гра­фии – эф­фек­тив­ном ин­ст­ру­мен­те мед. ди­аг­но­сти­ки. Ма­те­ма­ти­че­ски за­да­ча, ре­шае­мая в то­мо­гра­фии, сво­дит­ся к оты­ска­нию не­ко­то­рой не­из­вест­ной функ­ции по зна­че­ни­ям ин­те­гра­лов от неё вдоль все­воз­мож­ных пря­мых на плос­ко­сти. Этой и дру­ги­ми, по­хо­жи­ми на неё за­да­ча­ми за­ни­ма­ет­ся раз­дел Г., на­зы­вае­мый ин­те­граль­ной Г. Не­ко­то­рые эко­но­ми­ко-ма­те­ма­тич. мо­де­ли сво­дят­ся к ре­ше­нию гео­мет­рич. за­да­чи оп­ре­де­ле­ния плос­ко­сти, па­рал­лель­ной не­ко­то­рой за­дан­ной плос­ко­сти и яв­ляю­щей­ся опор­ной для за­дан­но­го вы­пук­ло­го мно­же­ст­ва, т. е. та­кой плос­ко­сти, что вы­пук­лое мно­же­ст­во ле­жит по од­ну сто­ро­ну от неё и име­ет с ней об­щую точ­ку при­кос­но­ве­ния. Раз­дел при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки, за­ни­маю­щий­ся изу­че­ни­ем ме­то­дов ре­ше­ния та­ко­го ро­да задач на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным про­грам­ми­ро­ва­ни­ем. Ещё од­но при­ме­не­ние Г. свя­за­но с гео­мет­рич. кри­стал­ло­гра­фи­ей, по­слу­жив­шей ис­точ­ни­ком и об­ла­стью при­ло­же­ния тео­рии пра­виль­ных сис­тем фи­гур. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние, из­на­чаль­но по­стро­ен­ное для нужд диф­фе­рен­ци­аль­ной Г., ста­ло ра­бо­чим язы­ком совр. фи­зи­ки и ме­ха­ни­ки. В тео­ре­тич. фи­зи­ке ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся тео­рия рас­сло­ён­ных про­странств.

Гео­мет­рич. тео­рии на­хо­дят ши­ро­кое при­ме­не­ние в ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке, ко­гда со­во­куп­ность со­стоя­ний к.-л. сис­те­мы рас­смат­ри­ва­ет­ся как не­ко­то­рое про­ст­ран­ст­во. Так, все воз­мож­ные кон­фи­гу­ра­ции (вза­им­ные рас­по­ло­же­ния эле­мен­тов) ме­ха­нич. сис­те­мы об­ра­зу­ют кон­фи­гу­ра­ци­он­ное про­стран­ст­во, из­ме­не­ние со­стоя­ния сис­те­мы изо­бра­жа­ет­ся дви­же­ни­ем точ­ки в этом про­стран­ст­ве. Со­во­куп­ность всех со­стоя­ний фи­зич. сис­те­мы (в про­стей­шем слу­чае – по­ло­же­ния и ско­ро­сти об­ра­зую­щих сис­те­му ма­те­ри­аль­ных то­чек, напр. мо­ле­кул га­за) рас­смат­ри­ва­ет­ся как фа­зо­вое про­стран­ст­во сис­те­мы. Эта точ­ка зре­ния на­хо­дит, в ча­ст­но­сти, при­ме­не­ние в ста­ти­стич. фи­зи­ке. Впер­вые по­ня­тие о мно­го­мер­ном про­стран­ст­ве поя­ви­лось в свя­зи с ме­ха­ни­кой в ра­бо­тах Ж. Ла­гран­жа, ко­гда к трём про­стран­ст­вен­ным ко­ор­ди­на­там $х,у,z$ в ка­че­ст­ве чет­вёр­той фор­маль­но при­сое­ди­ня­ет­ся вре­мя $t$. Так по­яв­ля­ет­ся че­ты­рёх­мер­ное про­ст­ран­ст­во-вре­мя, где точ­ка оп­ре­де­ля­ет­ся че­тырь­мя ко­ор­ди­на­та­ми $х,у,z,t$. Этот взгляд по­лу­чил раз­ви­тие в гео­мет­ри­че­ской трак­тов­ке спец. тео­рии от­но­си­тель­но­сти (Г. Мин­ков­ский, 1908), а за­тем в по­строе­нии об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти (А. Эйн­штейн, 1916), где ис­поль­зо­ва­лась че­ты­рёх­мер­ная псев­до­ри­ма­но­ва Г.

В са­мой ма­те­ма­ти­ке по­ло­же­ние и роль Г. оп­ре­де­ля­ют­ся пре­ж­де все­го тем, что че­рез неё в ма­те­ма­ти­ку вво­ди­лась не­пре­рыв­ность. Ма­те­ма­ти­ка как нау­ка стал­ки­ва­ет­ся пре­ж­де все­го с дис­крет­но­стью и не­пре­рыв­но­стью. Счёт отд. пред­ме­тов да­ёт ариф­ме­ти­ку, про­стран­ст­вен­ную не­пре­рыв­ность изу­ча­ет Г. Де­ле­ние не­пре­рыв­ных ве­ли­чин на час­ти и из­ме­ре­ние пред­став­ля­ют со­пос­тав­ле­ние дис­крет­но­го и не­пре­рыв­но­го; так, еди­ни­ца мас­шта­ба от­кла­ды­ва­ет­ся вдоль из­ме­ряе­мо­го от­рез­ка отд. ша­га­ми. В Древ­ней Гре­ции (ве­ро­ят­но, в 5 в. до н. э.) бы­ла от­кры­та не­со­из­ме­ри­мость сто­ро­ны и диа­го­на­ли квад­ра­та: дли­на диа­гона­ли квад­ра­та со сто­ро­ной 1 не вы­ра­жа­лась ни­ка­ким чис­лом, т. к. по­ня­тия ир­ра­цио­наль­но­го чис­ла ещё не су­ще­ст­во­ва­ло. По­тре­бо­ва­лось обоб­ще­ние по­ня­тия чис­ла, а имен­но, соз­да­ние по­ня­тия ир­ра­цио­наль­ных чис­ел, об­щая тео­рия ко­то­рых бы­ла соз­да­на в 1870-х гг. Пря­мая (а вме­сте с ней и вся­кая фи­гура) ста­ла рас­смат­ри­вать­ся как мно­же­ст­во то­чек. Те­перь эта точ­ка зре­ния яв­ля­ет­ся гос­под­ствую­щей. В из­вест­ном смыс­ле, поч­ти всю ма­те­ма­ти­ку мож­но рас­смат­ри­вать как нау­ку, раз­ви­ваю­щую­ся из взаи­мо­дей­ст­вия ал­геб­ры (пер­во­на­чаль­но ариф­ме­ти­ки) и Г. Это вид­но уже в по­ня­тии со­во­куп­но­сти всех ве­щест­вен­ных чи­сел как чи­сло­вой пря­мой, со­еди­няю­щей ариф­ме­тич. свой­ст­ва чи­сел с не­пре­рыв­но­стью.

Мож­но от­ме­тить сле­дую­щие мо­мен­ты влия­ния Г. на раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки.

1) В воз­ник­но­ве­нии и раз­ви­тии ма­те­ма­тич. ана­ли­за Г. на­ря­ду с ме­ха­ни­кой име­ла ре­шаю­щее зна­че­ние. Ин­тег­ри­ро­ва­ние про­ис­хо­дит от за­да­чи вы­чис­ле­ния пло­ща­дей и объ­ё­мов, изу­чав­шей­ся ещё древ­ни­ми учё­ны­ми, при­чём пло­щадь и объ­ём как ве­ли­чи­ны счи­та­лись оп­ре­де­лён­ны­ми; ни­ка­кое ана­ли­тич. оп­ре­де­ле­ние ин­те­гра­ла не да­ва­лось до 1-й пол. 19 в. Про­ве­де­ние ка­са­тель­ных бы­ло од­ной из за­дач, по­ро­див­ших диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние. Гра­фич. пред­став­ле­ние функ­ций сыг­ра­ло важ­ную роль в вы­ра­бот­ке по­ня­тий ана­ли­за и до сих пор со­хра­ня­ет своё зна­че­ние. В са­мой тер­ми­но­ло­гии ана­ли­за ви­ден гео­мет­рич. ис­точ­ник его по­ня­тий, как, напр., в тер­ми­нах «точ­ка раз­ры­ва», «об­ласть из­ме­не­ния пе­ре­мен­ной» и т. п. Тео­рия обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в бoльшей час­ти трак­ту­ет­ся гео­мет­ри­че­ски, важ­ную роль в этой тео­рии иг­ра­ют т. н. ин­те­граль­ные кри­вые. Ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние воз­ник­ло и раз­ви­ва­ет­ся в боль­шой ме­ре на за­да­чах Г., и её по­ня­тия иг­ра­ют в нём важ­ную роль.

2) Ком­плекс­ные чис­ла окон­ча­тель­но ут­вер­ди­лись в ма­те­ма­ти­ке на ру­бе­же 18–19 вв. толь­ко вслед­ст­вие со­пос­тав­ле­ния их с точ­ка­ми плос­ко­сти, т. е. пу­тём по­строе­ния ком­плекс­ной плос­ко­сти. В тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го гео­мет­рич. ме­то­дам от­во­дит­ся су­ще­ст­вен­ная роль. По­ня­тия и ме­то­ды ри­ма­но­вой Г. на­хо­дят при­ме­не­ние как в тео­рии функ­ций од­ной ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной, так и в тео­рии функ­ций не­сколь­ких ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных.

3) Осн. идея функ­цио­наль­но­го ана­ли­за со­сто­ит в том, что функ­ции дан­но­го клас­са (напр., все не­пре­рыв­ные функ­ции, за­дан­ные на от­рез­ке [0,1]) рас­смат­ри­ва­ют­ся как точ­ки функ­цио­наль­но­го про­стран­ст­ва, при­чём от­но­ше­ния ме­ж­ду функ­ция­ми ис­тол­ко­вы­ва­ют­ся как гео­мет­рич. от­но­ше­ния ме­ж­ду со­от­вет­ст­вую­щи­ми точ­ка­ми (напр., схо­ди­мость функ­ций ис­тол­ко­вы­ва­ет­ся как схо­ди­мость то­чек, мак­си­мум аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны раз­но­сти функ­ций – как рас­стоя­ние). При этом мн. во­про­сы ана­ли­за по­лу­ча­ют гео­мет­рич. ос­ве­ще­ние, ока­зы­ваю­щее­ся пло­до­твор­ным во мно­гих слу­ча­ях. Во­об­ще, пред­став­ле­ние тех или иных ма­те­ма­тич. объ­ек­тов (функ­ций, фи­гур и др.) как то­чек не­ко­то­ро­го про­стран­ст­ва с со­от­вет­ст­вую­щим гео­мет­рич. тол­ко­ва­ни­ем от­но­ше­ний этих объ­ек­тов яв­ля­ет­ся од­ной из наи­бо­лее об­щих идей совр. ма­те­ма­ти­ки.

4) Г. ока­зы­ва­ет влия­ние на ал­геб­ру, где ис­поль­зу­ет­ся, напр., по­ня­тие век­тор­но­го про­стран­ст­ва, и на тео­рию чи­сел, где соз­да­но гео­мет­рич. на­прав­ле­ние, по­зво­ляю­щее ре­шать мн. за­да­чи, с тру­дом под­даю­щие­ся ре­ше­нию др. ме­то­да­ми.

5) Ло­гич. усо­вер­шен­ст­во­ва­ние и ана­лиз ак­сио­ма­ти­ки Г. сыг­ра­ли оп­ре­де­ляющую роль в вы­ра­бот­ке аб­ст­ракт­ной фор­мы ак­сио­ма­тич. ме­то­да с его пол­ным от­вле­че­ни­ем от при­ро­ды объ­ек­тов и от­но­ше­ний, фи­гу­ри­рую­щих в ак­сио­ма­ти­зи­руе­мой тео­рии. В Г. вы­ра­ба­ты­ва­лись по­ня­тия не­про­ти­во­ре­чи­во­сти, пол­но­ты и не­за­ви­си­мо­сти ак­си­ом.

6) Диф­фе­рен­ци­аль­ная то­по­ло­гия, в ко­то­рой изу­ча­ют­ся то­по­ло­гич. про­бле­мы глад­ких мно­го­об­ра­зий, во мно­гих слу­ча­ях тес­но пе­ре­пле­та­ет­ся с диф­фе­рен­ци­аль­ной Г. При изу­че­нии за­дач Г. в це­лом не­ред­ко воз­ни­ка­ют си­туа­ции, ко­гда не­ко­то­рые гео­мет­рич. ха­рак­те­ри­сти­ки рас­смат­ри­вае­мых объ­ек­тов мо­гут быть пред­став­ле­ны с по­мо­щью не­ко­то­рых то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов. Од­но из на­прав­ле­ний диф­фе­рен­ци­аль­ной то­по­ло­гии – тео­рия Ход­жа, по­стро­ен­ная в 1930-е гг. В этой тео­рии исполь­зу­ют­ся ме­то­ды и по­ня­тия ри­ма­но­вой Г., тео­рии урав­не­ний в ча­ст­ных про­из­вод­ных и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Лит.: Монж Г. При­ло­же­ние ана­ли­за к гео­мет­рии. М.; Л., 1936; Де­карт Р. Гео­мет­рия. М.; Л., 1938; Ло­ба­чев­ский Н. И. Полн. собр. соч.: В 3 т. М.; Л., 1946–1951; Евк­лид. На­ча­ла. Кн. 1–15. М.; Л., 1948–1950. Т. 1–3; Гиль­берт Д. Ос­но­ва­ния гео­мет­рии. М.; Л., 1948; Алек­сан­д­ров А. Д. Внут­рен­няя гео­мет­рия вы­пук­лых по­верх­но­стей. М.; Л., 1948; он же. Выпук­лые мно­го­гран­ни­ки. М.; Л., 1950; Ка­ган В. Ф. Ос­но­ва­ния гео­мет­рии. М.; Л., 1949; Фе­до­ров Е. С. Сим­мет­рия и струк­ту­ра кри­с­тал­лов. Ос­нов­ные ра­бо­ты. М., 1949; Боль­аи Я. Appendix. При­ло­же­ние, со­дер­жа­щее нау­ку о про­стран­ст­ве... М.; Л., 1950; Га­усс К. Ф. Об­щие ис­сле­до­ва­ния о кри­вых по­верх­но­стях // Об ос­но­ва­ни­ях гео­мет­рии. М., 1956; Клейн Ф. Срав­ни­тель­ное обо­зре­ние но­вей­ших гео­мет­ри­че­ских ис­сле­до­ва­ний («Эр­лан­ген­ская про­грам­ма») // Там же; Ри­ман Б. О ги­по­те­зах, ле­жа­щих в ос­но­ва­ни­ях гео­мет­рии // Там же; Коль­ман Э., Юш­ке­вич А. П. Ма­те­ма­ти­ка до эпо­хи Воз­ро­ж­де­ния. М., 1961. Т. 1–2; Ви­лейт­нер Г. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки от Де­кар­та до се­ре­ди­ны 19 сто­ле­тия. 2-е изд. М., 1966; Ра­шев­ский П. К. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия и тен­зор­ный ана­лиз. 3-е изд. М.; Л., 1967; Алек­сан­д­ров П. С. Лек­ции по ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии. М., 1968; По­го­ре­лов А. В. Внеш­няя гео­мет­рия вы­пук­лых по­верх­но­стей. М., 1969; он же. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия. 6-е изд. М., 1974; он же. Эле­мен­тар­ная гео­мет­рия. 3-е изд. М., 1977; он же. Ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия. 4-е изд. М., 1978; он же. Ос­но­ва­ния гео­мет­рии. 4-е изд. М., 1979; Ефи­мов Н. В. Выс­шая гео­мет­рия. 5-е изд. М., 1971; Сан­та­ло Л. Ин­те­граль­ная гео­мет­рия и гео­мет­ри­че­ские ве­ро­ят­но­сти. М., 1983; Гро­мов М. Л. Диф­фе­рен­ци­аль­ные со­от­но­шения с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми. М., 1990; Дуб­ро­вин Б. А., Но­ви­ков С. П., Фо­мен­ко А. Т. Со­вре­мен­ная гео­мет­рия: Ме­то­ды и при­ло­же­ния. 5-е изд. М., 2001. Ч. 1–3; Но­ви­ков С. П., Тай­ма­нов И. А. Со­вре­мен­ные гео­мет­ри­че­ские струк­ту­ры и по­ля. М., 2005.

Вернуться к началу