Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОГИБА́ЮЩАЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 23. Москва, 2013, стр. 651

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ОГИБА́ЮЩАЯ се­мей­ст­ва ли­ний на плос­ко­сти (по­верх­но­стей в про­стран­ст­ве), ли­ния (по­верх­ность), ко­то­рая в ка­ж­дой сво­ей точ­ке ка­са­ет­ся од­ной ли­нии (по­верх­но­сти) се­мей­ст­ва. Урав­не­ние О. се­мей­ст­ва ли­ний на плос­ко­сти, оп­ре­деляемо­го урав­не­ни­ем $f(x,y,C)=0$, со­дер­жа­щим па­ра­метр $С$ (ка­ж­дой кри­вой се­мей­ст­ва со­от­вет­ст­ву­ет своё зна­че­ние па­ра­мет­ра), мож­но по­лу­чить [в пред­по­ло­же­нии, что $f(x,y,C$) име­ет не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные пер­во­го по­ряд­ка по всем трём ар­гу­мен­там], ис­клю­чив па­ра­метр $С $ из сис­те­мы $$f(x,y,C)=0, \ f_C ′ (x,y,C)=0.$$

Рис. 1.

Это ис­клю­че­ние, во­об­ще го­во­ря, да­ёт не толь­ко О., но и мно­же­ст­во осо­бых то­чек ли­ний се­мей­ст­ва, т. е. точ­ки, для ко­то­рых од­но­вре­мен­но $f'_x =0, \ f'_y =0.$

Рис. 2.

При­ме­ры: а) се­мей­ст­во ок­руж­но­стей од­но­го и то­го же ра­диу­са, цен­тры ко­то­рых ле­жат на од­ной пря­мой, име­ет в ка­че­ст­ве О. па­ру пря­мых, па­рал­лель­ных ли­нии цен­тров и на­хо­дя­щих­ся от неё на рас­стоя­нии, рав­ном ра­диу­су ок­руж­но­стей (рис. 1); б) вся­кая кри­вая слу­жит О. для се­мей­ст­ва сво­их ка­са­тель­ных и се­мей­ст­ва сво­их кру­гов кри­визны; в) ес­ли в ка­ж­дой точ­ке кри­вой по­стро­ить нор­маль к ней, то для по­лучен­но­го се­мей­ст­ва пря­мых О. бу­дет эво­лю­та дан­ной кри­вой (на рис. 2 изо­бра­же­на эво­лю­та эл­лип­са).

В про­стран­ст­ве для се­мей­ст­ва по­верх­но­стей мо­гут су­ще­ст­во­вать О., ка­саю­щие­ся по­верх­но­стей се­мей­ст­ва в точ­ках или же вдоль не­ко­то­рых ли­ний.

При­ме­ры: а) се­мей­ст­во сфер ра­диу­са $R$ с цен­тра­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми на од­ной пря­мой, име­ет сво­ей О. круг­лый ци­линдр ра­диу­са $R$, ось ко­то­ро­го есть ли­ния цен­тров (ка­са­ние ци­лин­д­ра с ка­ж­дой сфе­рой – по ок­руж­но­сти); б) се­мей­ст­во сфер ра­диу­са $R$, цен­тры ко­то­рых ле­жат в од­ной плос­ко­сти, име­ет в ка­че­ст­ве О. па­ру плос­ко­стей, па­рал­лель­ных плос­ко­сти цен­тров и на­хо­дя­щих­ся от плос­ко­сти цен­тров на рас­стоя­нии $R$ (ка­са­ние плос­ко­стей с ка­ж­дой сфе­рой – в точ­ке).

По­ня­тие О. ис­поль­зу­ет­ся не толь­ко в гео­мет­рии, но и в не­ко­то­рых во­про­сах ма­те­ма­тич. ана­ли­за (осо­бые ре­ше­ния в тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний), фи­зи­ки (в оп­ти­ке – фронт вол­ны). Тер­мин «О.» стал об­ще­при­ня­тым по­сле лек­ций Г. Мон­жа (1795–1806).

Вернуться к началу