Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НЕСМЕЩЁННАЯ ОЦЕ́НКА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 22. Москва, 2013, стр. 509

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. В. Прохоров

НЕСМЕЩЁННАЯ ОЦЕ́НКА, ста­ти­стич. оцен­ка па­ра­мет­ра рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний, ли­шён­ная сис­те­ма­тич. ошиб­ки. Точ­нее, ес­ли оце­ни­вае­мое рас­пре­де­ле­ние за­ви­сит от па­ра­мет­ра $\Theta$, то функ­ция $\Theta^*(X_1, X_2, ..., X_n)$ от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний $X_1, X_2,..., X_n$ на­зы­ва­ет­ся Н. о. для па­ра­мет­ра $\Theta$, ес­ли при лю­бых до­пус­ти­мых зна­че­ни­ях $\Theta$ ма­те­ма­тич. ожи­да­ние$$\text{E}\Theta^*(X_1,X_2,...,X_n)=\Theta.$$Напр., ес­ли ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний $X_1,X_2,...,X_n$ суть вза­им­но не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие оди­на­ко­вое нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние, за­дан­ное плот­но­стью$$p(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi }} e^{-(x-a)^2/2 \sigma ^2}$$

 
с не­из­вест­ны­ми па­ра­мет­ра­ми $a$ и $\sigma ^{2}$, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское$$\overline{X} = (X_1+X_2+...+X_n)/n\tag1$$бу­дет Н. о. для $a$. Час­то ис­поль­зуе­мая для оцен­ки $\sigma ^{2}$ вы­бо­роч­ная дис­пер­сия$$ s^2=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}(X_i-\overline {X})^2$$не яв­ля­ет­ся не­сме­щён­ной оцен­кой. Н. о. для $\sigma ^{2}$ слу­жит ве­ли­чи­на$$s_0^2=\frac{1}{(n-1)}\sum(X_i-\overline {X})^2,\tag2$$Н. о. квад­ра­тич. от­кло­не­ния $σ$ име­ет бо­лее слож­ное вы­ра­же­ние$$\sqrt{\cfrac{n-1}{2}}\cfrac {\Gamma \left ( \cfrac{n-1}{2}{} \right )}{\Gamma\left ( \cfrac{n}{2} \right )}s.\tag3$$

Оцен­ка (1) для ма­те­ма­тич. ожи­да­ния и оцен­ка (2) для дис­пер­сии яв­ля­ют­ся Н. о. и при рас­пре­де­ле­ни­ях, от­лич­ных от нор­маль­но­го; оцен­ка (3) для квад­ра­тич. от­кло­не­ния, во­об­ще го­во­ря (при рас­пре­де­ле­ни­ях, от­лич­ных от нор­маль­но­го), мо­жет быть сме­щён­ной. Оцен­ка $s^2$ дис­пер­сии при­над­ле­жит клас­су т. н. асим­пто­ти­че­ски не­сме­щён­ных оце­нок, ко­то­рый оп­ре­де­ля­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $\text{E}\Theta^*(X_1,...,X_n)→\Theta$ при $n→\infty$.

Ис­поль­зо­ва­ние Н. о. не­об­хо­ди­мо при оцен­ке не­из­вест­но­го па­ра­мет­ра по боль­шо­му чис­лу се­рий, ка­ж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из не­боль­шо­го чис­ла на­блю­де­ний. Пусть, напр., име­ет­ся $k$ се­рий$$X_{i1},X_{i2},...,X_{in},\; i = 1,2,...,k,$$по $n$ на­блю­де­ний в ка­ж­дой и пусть $s_i^2$ – Н. о. для $\sigma ^{2}$, по­лу­чен­ная по $i$-й серии­ на­блю­де­ний. То­гда при боль­шом $k$ в си­лу за­ко­на боль­ших чи­сел $(s_1^2+s_2^2+...+s_k^2)/k∼\sigma ^{2}$, да­же ко­гда $n$ не­ве­ли­ко. Наи­луч­шие оцен­ки па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ний, как пра­ви­ло, на­хо­дят­ся сре­ди не­сме­щён­ных оце­нок. См. Ста­ти­сти­че­ская оцен­ка.

Вернуться к началу