Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НЕПРОТИВОРЕЧИ́ВОСТЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 22. Москва, 2013, стр. 480-481

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




НЕПРОТИВОРЕЧИ́ВОСТЬ, свой­ст­во ак­сио­ма­тич. тео­рии, со­стоя­щее в том, что в этой тео­рии нель­зя по­лу­чить про­ти­во­ре­чие, т. е. до­ка­зать не­ко­то­рое пред­ло­же­ние и вме­сте с тем его от­ри­ца­ние или до­ка­зать за­ве­до­мо аб­сурд­ное ут­вер­жде­ние. Для ши­ро­ко­го клас­са ак­сио­ма­тич. тео­рий (в ча­ст­но­сти, для тех, в ос­но­ве ко­то­рых ле­жит обыч­ная клас­сич. ло­ги­ка) Н. име­ет ме­сто то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда су­ще­ст­ву­ет пред­ло­же­ние, фор­му­ли­руе­мое в дан­ной тео­рии и не­до­ка­зуе­мое в ней.

По­ня­тие Н. и ме­то­ды до­ка­за­тель­ст­ва Н. ак­сио­ма­тич. тео­рий раз­ви­ва­лись и уточ­ня­лись вме­сте с раз­ви­ти­ем ак­сио­ма­ти­че­ско­го ме­то­да. Для т. н. ма­те­ри­аль­ных ак­сио­ма­тик, т. е. ак­сио­ма­тич. тео­рий, в ко­то­рых зна­че­ния ис­ход­ных тер­ми­нов счи­та­ют­ся за­дан­ны­ми с са­мо­го на­ча­ла, во­прос о Н. сколь­ко-ни­будь ост­ро не сто­ял. Напр., ин­туи­тив­ная убе­ж­дён­ность в Н. ак­сио­ма­тич. сис­те­мы евк­ли­до­вой гео­мет­рии ос­но­вы­ва­ет­ся на «опы­те», по­сколь­ку эти ак­сио­мы – оче­вид­ные пред­ло­же­ния о гео­мет­рич. объ­ек­тах. По­строе­ние не­евк­ли­до­вых гео­мет­рий и свя­зан­ное с ним воз­ник­но­ве­ние фор­маль­ных ак­сио­ма­тик впер­вые по­ста­ви­ло про­бле­му до­ка­за­тель­ст­ва Н. ак­сио­ма­тич. тео­рий. Так, Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия по­лу­ча­ет­ся из евк­ли­до­вой гео­мет­рии за­ме­ной ак­сио­мы о па­рал­лель­ных другим по­сту­ла­том, про­ти­во­ре­ча­щим тем ин­туи­тив­ным пред­став­ле­ни­ям, в си­лу ко­то­рых при­зна­ют­ся ис­тин­ны­ми ак­сио­мы Евк­ли­да. По­это­му Н. гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го не ус­мат­ри­ва­ет­ся не­по­сред­ст­вен­но из «опы­та» и тре­бу­ет сво­его обос­но­ва­ния. Пер­вые ре­зуль­та­ты о Н. ак­сио­ма­тич. тео­рий бы­ли по­лу­че­ны с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­пре­та­ций, ко­то­рый со­сто­ит в том, что ис­ход­ным по­ня­ти­ям ис­сле­дуе­мой тео­рии со­пос­тав­ля­ют­ся не­ко­то­рые кон­крет­ные ма­те­ма­тич. объ­ек­ты, при­чём ак­сио­мы ока­зы­ва­ют­ся ис­тин­ны­ми ут­вер­жде­ния­ми об этих объ­ек­тах. При­ме­ром при­ме­не­ния это­го ме­то­да мо­жет слу­жить ин­тер­пре­та­ция Клей­на для сис­те­мы ак­си­ом гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го. В этой ин­тер­пре­та­ции плос­кость трак­ту­ет­ся как внут­рен­ность кру­га на обыч­ной евк­ли­до­вой плос­ко­сти, а пря­мые – как хор­ды это­го кру­га.

Дру­гой ме­тод до­ка­за­тель­ст­ва Н. (ме­та­ма­те­ма­тич. ме­тод) был пред­ло­жен Д. Гиль­бер­том. Он свя­зан с пред­став­ле­ни­ем ак­сио­ма­тич. тео­рии в ви­де фор­маль­ной сис­те­мы. Ут­вер­жде­ние о Н. не­ко­то­рой фор­маль­ной сис­те­мы оз­на­ча­ет, что сре­ди до­ка­за­тельств, воз­мож­ных в этой сис­те­ме, нет двух та­ких, од­но из ко­то­рых яв­ля­ет­ся до­ка­за­тель­ст­вом не­ко­то­рой фор­му­лы, а дру­гое – до­ка­за­тель­ст­вом её от­ри­ца­ния. Вы­дви­ну­тая Гиль­бер­том про­грам­ма обос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­ки со­стоя­ла в ус­та­нов­ле­нии Н. её раз­де­лов пу­тём ана­ли­за до­ка­за­тельств в со­от­вет­ст­вую­щих фор­маль­ных сис­те­мах. Тео­рия, объ­ек­та­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся про­из­воль­ные ма­те­ма­тич. до­ка­за­тель­ст­ва, на­зы­ва­ет­ся тео­ри­ей до­ка­за­тельств или ме­та­ма­те­ма­ти­кой. При­ме­ром при­ме­не­ния ме­та­ма­те­ма­тич. ме­то­да мо­жет слу­жить пред­ло­жен­ное нем. ма­те­ма­ти­ком Г. Ген­це­ном до­ка­за­тель­ст­во Н. фор­маль­ной сис­те­мы ариф­ме­ти­ки.

Лю­бое ма­те­ма­тич. до­ка­за­тель­ст­во Н. яв­ля­ет­ся от­но­си­тель­ным: оно лишь сво­дит во­прос о Н. од­ной тео­рии к во­про­су о Н. др. тео­рии. Это осо­бен­но на­гляд­но про­яв­ля­ет­ся в ме­то­де ин­тер­пре­та­ций. Объ­ек­ты, слу­жа­щие для ин­тер­пре­та­ции ис­ход­ных по­ня­тий дан­ной ак­сио­ма­тич. тео­рии T, са­ми ока­зы­ва­ют­ся пред­ме­том рас­смот­ре­ния не­ко­то­рой др. ма­те­ма­тич. тео­рии T′, и по­лу­чен­ное этим ме­то­дом до­ка­за­тель­ст­во Н. тео­рии T дей­ст­ви­тель­но лишь в слу­чае, ес­ли тео­рия T′ не­про­ти­во­ре­чи­ва. Та­ким об­ра­зом, напр., бы­ла ус­та­нов­ле­на Н. гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го в пред­по­ло­же­нии Н. гео­мет­рии Евк­ли­да, а во­прос о Н. по­след­ней был све­дён к про­бле­ме Н. ариф­ме­ти­ки.

Ме­та­ма­те­ма­тич. ме­тод до­ка­за­тель­ст­ва Н. не тре­бу­ет по­строе­ния ин­тер­пре­та­ции для ка­ж­дой кон­крет­ной тео­рии. Ос­та­ва­ясь по су­ти сво­ей от­но­си­тель­ным, ме­та­ма­те­ма­тич. до­ка­за­тель­ст­во Н. сво­дит во­прос о Н. дан­ной тео­рии к во­про­су о на­дёж­но­сти ме­та­ма­те­ма­ти­ки, объ­ек­ты ко­то­рой не за­ви­сят от со­дер­жа­ния кон­крет­ной рас­смат­ри­вае­мой тео­рии. В этом со­сто­ит од­но из гл. пре­иму­ществ ме­та­ма­те­ма­тич. ме­то­да пе­ред ме­то­дом ин­тер­пре­та­ций. Про­грам­ма Д. Гиль­бер­та пре­ду­смат­ри­ва­ла ис­поль­зо­ва­ние в ме­та­ма­те­ма­ти­ке лишь та­ких по­ня­тий и ме­то­дов, на­дёж­ность ко­то­рых не вы­зы­ва­ет со­мне­ний.

Цель вся­ко­го до­ка­за­тель­ст­ва Н. – све­сти во­прос о Н. дан­ной тео­рии к ана­ло­гич­но­му во­про­су для та­кой тео­рии, Н. ко­то­рой пред­став­ля­ет­ся бо­лее обос­но­ван­ной. В этой свя­зи боль­шое зна­че­ние име­ет тео­ре­ма Гё­де­ля о не­пол­но­те, ко­то­рая ут­вер­жда­ет, что Н. ак­сио­ма­тич. тео­рии, со­дер­жа­щей ариф­ме­ти­ку, не­воз­мож­но до­ка­зать с по­мо­щью средств са­мой рас­смат­ри­вае­мой тео­рии. Та­ким об­ра­зом, во­прос о Н. дан­ной тео­рии мо­жет быть ре­шён лишь с при­вле­че­ни­ем средств не­ко­то­рой бо­лее силь­ной тео­рии.

Лит.: Но­ви­ков П. С. Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ло­ги­ки. 2-е изд. М., 1973.

Вернуться к началу