Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НЕПРЕРЫ́ВНАЯ ФУ́НКЦИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 22. Москва, 2013, стр. 478-479

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




НЕПРЕРЫ́ВНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, зна­че­ния ко­то­рой ма­ло из­ме­ня­ют­ся при ма­лых из­ме­не­ни­ях ар­гу­мен­та. Точ­нее, функ­ция $f(x)$, оп­ре­де­лён­ная на ин­тер­ва­ле $(a, b)$, на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной в точ­ке $x_0∈ (a, b)$, ес­ли для лю­бо­го $ε>0$ су­ще­ст­ву­ет $δ>0$ та­кое, что $|f(x)-f(x_0)|<ε$ для всех $x$ та­ких, что $|x-x_0|<δ$. В этом оп­ре­де­ле­нии чис­ло $δ$, за­ви­ся­щее от $ε$, мо­жет за­ви­сеть и от $x_0$. Это оп­ре­де­ле­ние рав­но­силь­но сле­дую­ще­му: для лю­бой по­сле­до­ва­тель­но­сти $x_1, x_2,\dots$ та­кой, что $x_n→x_0$ при $n→∞$, по­сле­до­ва­тель­ность $f(x_1), f(x_2),\dots$ та­ко­ва, что $f(x_n)→f(x_0)$ при $n→∞$. Ина­че го­во­ря, $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n)$ для всех по­сле­до­ва­тель­ностей, схо­дя­щих­ся к $x_0$.

Ес­ли ус­ло­вие, ука­зан­ное в оп­ре­де­ле­нии Н. ф., вы­пол­ня­ет­ся лишь при $x⩾x_0$ или лишь при $x⩽x_0$, то функ­ция $f(x)$ на­зы­ва­ет­ся со­от­вет­ст­вен­но не­пре­рыв­ной спра­ва или сле­ва в точ­ке $x_0$. Функ­ция $f(x)$ на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной на ин­тер­ва­ле $(a, b)$, ес­ли она не­пре­рыв­на в ка­ж­дой точ­ке $x∈ (a, b)$. Функ­ция $f(x)$ на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной на от­рез­ке $[a, b]$, ес­ли она не­пре­рыв­на на ин­тер­ва­ле $(a, b)$ и в точ­ке $a$ она не­пре­рыв­на спра­ва, а в точ­ке $b$ – сле­ва.

Рис. 1.

Од­на и та же функ­ция мо­жет быть не­пре­рыв­ной для од­них зна­че­ний ар­гу­мен­та и иметь раз­ры­ва точ­ки при др. зна­че­ни­ях. Так, дроб­ная часть чис­ла $x$ (её при­ня­то обо­зна­чать $\{x\}$, напр., $\{1,25\}=0,25,\: \:\{\pi\}=0,14159\dots,\: \{2\}=0$) яв­ля­ет­ся раз­рыв­ной функ­ци­ей при це­лых зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та и не­пре­рыв­ной при всех др. зна­че­ни­ях (рис. 1), при­чём в точ­ках раз­ры­ва она не­пре­рыв­на спра­ва.

Про­стей­шие эле­мен­тар­ные функ­ции $x^n,\: n=1, 2, \dots, a^x,\: a>0,\: \sin{x}, \:\cos{x}$ не­пре­рыв­ны при всех дей­ст­ви­тель­ных $x$. Сум­ма, раз­ность и про­из­ве­де­ние Н. ф. вновь яв­ля­ют­ся Н. ф. Ча­ст­ное двух Н. ф. яв­ля­ет­ся Н. ф. для тех зна­че­ний ар­гу­мен­та, где зна­ме­на­тель не об­ра­ща­ет­ся в нуль. Ес­ли функ­ция $g(x)$ не­пре­рыв­на в точ­ке $x_0$, а функ­ция $f(y)$ не­пре­рыв­на в точ­ке $y_0=g(x_0)$, то слож­ная функ­ция $f(g(x))$ не­пре­рыв­на в точ­ке $x_0$. Ес­ли функ­ция $f(x)$ не­пре­рыв­на и стро­го воз­рас­та­ет на $[a, b]$, то об­рат­ная функ­ция $f^{–1}(y)$ су­ще­ст­ву­ет, стро­го воз­рас­та­ет и не­пре­рыв­на на $[f(a), f(b)]$; ана­ло­гич­ное ут­вер­жде­ние спра­вед­ли­во для стро­го убы­ваю­щих функ­ций.

Н. ф. об­ла­да­ют мно­ги­ми важ­ны­ми свой­ст­ва­ми, ко­то­ры­ми объ­яс­ня­ет­ся зна­че­ние этих функ­ций в ма­те­ма­ти­ке и её при­ло­же­ни­ях. Функ­ция, не­пре­рыв­ная на от­рез­ке, ог­ра­ни­че­на на нём и дос­ти­га­ет на нём наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний, кро­ме то­го, она при­ни­ма­ет на этом от­рез­ке все про­ме­жу­точ­ные зна­че­ния, ле­жа­щие ме­ж­ду её наи­мень­шим и наи­боль­шим зна­че­ния­ми. Для лю­бой функ­ции, не­пре­рыв­ной на от­рез­ке $[a, b]$, су­ще­ст­ву­ет мно­го­член, зна­че­ния ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся на этом от­рез­ке от зна­че­ний функ­ции ме­нее, чем на про­из­воль­ное сколь угод­но ма­лое, на­пе­рёд за­дан­ное чис­ло (тео­ре­ма Вей­ер­шт­рас­са о при­бли­же­нии Н. ф. мно­го­чле­на­ми). Функ­ции, не­пре­рыв­ные на от­рез­ке, об­ла­да­ют свой­ст­вом рав­но­мер­ной не­пре­рыв­но­сти.

Рис. 3.
Рис. 2.

Лю­бая функ­ция, не­пре­рыв­ная на не­ко­то­ром от­рез­ке, ин­тег­ри­руе­ма на нём. Од­на­ко не вся­кая Н. ф. име­ет про­из­вод­ную. Гео­мет­ри­че­ски это оз­на­ча­ет, что гра­фик Н. ф. не обя­за­тель­но об­ла­да­ет ка­са­тель­ной в ка­ж­дой точ­ке; это мо­жет быть свя­за­но с тем, что гра­фик име­ет уг­ло­вую точ­ку (рис. 2, функ­ция $y= |x|$), или с тем, что он со­вер­ша­ет в ок­ре­ст­но­сти к.-л. точ­ки бес­ко­неч­но мно­го ко­ле­ба­ний ме­ж­ду дву­мя пе­ре­се­каю­щи­ми­ся пря­мы­ми (рис. 3, функ­ция $y=x\sin{|1/x|}$ при $x≠0$ и $y=0$ при $x=0$). Су­ще­ст­ву­ют Н. ф., не имею­щие про­из­вод­ной ни в од­ной точ­ке, пер­вый при­мер та­ко­го ро­да был пред­ло­жен Б. Боль­ца­но в 1830.

Функ­ция $f(x, y, z,\dots)$ не­сколь­ких пе­ре­мен­ных, оп­ре­де­лён­ная в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $(x_0, y_0, z_0,\dots)$, на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной (по со­во­куп­но­сти пе­ре­мен­ных $x, y, z, \dots$) в этой точ­ке, ес­ли для лю­бо­го $ε>0$ мож­но ука­зать та­кое $δ> 0$, что при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии не­ра­венств$$|x-x_0|<δ,\: |y-y_0|<δ, \:|z-z_0|<δ, \:\dots$$вы­пол­ня­ет­ся так­же и не­ра­вен­ст­во$$|f(x, y, z, \dots)-f(x_0, y_0, z_0, \dots)|<ε.$$

Та­кая функ­ция яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ной по ка­ж­до­му ар­гу­мен­ту в от­дель­но­сти (ес­ли ос­таль­ным пе­ре­мен­ным при­да­ны оп­ре­де­лён­ные чи­сло­вые зна­че­ния). Об­рат­ное, во­об­ще го­во­ря, не вер­но: функ­ция $f(x, y, z, ...)$, не­пре­рыв­ная по ка­ж­до­му ар­гу­мен­ту в от­дель­но­сти, мо­жет и не быть Н. ф. по со­во­куп­но­сти ар­гу­мен­тов. Та­кой при­мер да­ёт функ­ция $f(x, y)$, рав­ная $\frac{xy}{x^2+y^2}$, ес­ли $x^2+y^2≠0$, и рав­ная $0$ при $x=y=0$. Она не­пре­рыв­на по $x$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $y$ и не­пре­рыв­на по $y$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $x$. В ча­ст­но­сти, она не­пре­рыв­на по $x$ при $y=0$ и по $y$ при $x=0$. Ес­ли же по­ло­жить $y=x$, то зна­че­ние функ­ции будет при всех $x≠0$ рав­ным $\frac{x^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}$, и для $0<ε<1/2$ нель­зя ука­зать та­кое чис­ло $δ>0$, что­бы при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии не­ра­венств $|x|<δ , |y|<δ$ вы­полня­лось не­ра­вен­ст­во $\bigg|\frac{xy}{x^2+y^2}\bigg|<ε$. На Н. ф. не­сколь­ких пе­ре­мен­ных рас­про­стра­ня­ют­ся все осн. тео­ре­мы, от­но­ся­щие­ся к Н. ф. од­но­го пе­ре­мен­но­го.

Вернуться к началу