Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

НЕЛИНЕ́ЙНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 22. Москва, 2013, стр. 345-346

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




НЕЛИНЕ́ЙНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, ал­геб­раи­че­ское или транс­цен­дент­ное урав­не­ние ви­да $$f(x)=0,\tag1$$где $x$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, $f(x)$ – не­ли­ней­ная функ­ция. Сис­те­мой Н. у. на­зы­ва­ет­ся сис­те­ма$$\begin{matrix}f_1(x_1, x_2,..., x_n)=0,\\ f_2(x_1, x_2,..., x_n)=0,\\ .....................\\ f_n(x_1, x_2,..., x_n)=0,\end{matrix}\tag2$$ не яв­ляю­щая­ся сис­те­мой ли­ней­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний. Урав­не­ние (1) и сис­те­ма (2) мо­гут трак­то­вать­ся как не­ли­ней­ное опе­ра­тор­ное урав­не­ние$$L (u)=g\tag3$$с не­ли­ней­ным опе­ра­то­ром $L$, дей­ст­вую­щим из ко­неч­но­мер­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва $R^n$ в $R^n$.

Для не­ко­то­рых Н. у. из­вест­ны фор­му­лы, даю­щие их ре­ше­ния. Напр., квад­рат­ное урав­не­ние $$ax^2+bx+c=0,$$где $a≠0,\: b$ и $c$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, в слу­чае ко­гда дис­кри­ми­нант $D=b^2-4ac$ не­от­ри­ца­те­лен, име­ет два дей­ст­ви­тель­ных кор­ня (при $D=0$ кор­ни сов­па­да­ют). Од­на­ко яв­ные фор­му­лы для ре­ше­ния Н. у. мож­но по­лу­чить лишь в ис­клю­чи­тель­ных слу­ча­ях.

В об­щем слу­чае при­хо­дит­ся ог­ра­ни­чи­вать­ся чис­лен­ны­ми ре­ше­ния­ми Н. у. (3), ко­то­рые на­хо­дят­ся ите­ра­ци­он­ны­ми ме­то­да­ми. В этих ме­то­дах при ка­ж­дой ите­ра­ции пе­ре­хо­дят от од­но­го при­бли­же­ния $u_n$ ре­ше­ния Н. у. (3) к дру­го­му при­бли­же­нию $u_{n+1}, \: n=0,1,2,\dots,$ и при боль­шом чис­ле ите­ра­ций ре­ше­ние Н. у. мож­но по­лу­чить с нуж­ной точ­но­стью.

Од­ним из рас­про­стра­нён­ных ме­то­дов ре­ше­ния Н. у. (3) яв­ля­ет­ся ме­тод про­стой ите­ра­ции, в ко­то­ром пред­по­ла­га­ет­ся воз­мож­ность за­ме­ны (3) эк­ви­ва­лент­ным урав­не­ни­ем$$u=P(u),\tag4$$где $u∈\boldsymbol R^n$, а опе­ра­тор $P$, ото­бра­жаю­щий $\boldsymbol R^n$ в $\boldsymbol R^n$, яв­ля­ет­ся опе­ра­то­ром сжа­тия, т. е. су­ще­ст­ву­ет та­кое чис­ло $q,\; 0< q< 1$, что для лю­бых $u,\; v∈\boldsymbol R^n$$$||P(u)-P(v)||⩽q||u-v||,$$где $||.||$ – нор­ма в $\boldsymbol R^n$. В си­лу т. н. прин­ци­па сжа­тых ото­бра­же­ний урав­не­ние (4) име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние $u^*$, по­сле­до­ва­тель­ность ите­ра­ций$$u_{n+1}=P(u_n),\: n=0, 1,...,$$схо­дит­ся к $u^*$ при лю­бом на­чаль­ном при­бли­же­нии $u_0$, и для по­греш­но­сти на $n$-й ите­ра­ции спра­вед­ли­ва оцен­ка$$||u_n-u^*||⩽q^n(1-q)^{–1}||u_0-u_1||.$$

Для два­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мых функ­ций $f_i,\: i=1, 2,..., n$, при на­ли­чии хо­ро­ше­го на­чаль­но­го при­бли­же­ния $u_0$ к ре­ше­нию сис­те­мы (2) час­то эф­фек­тив­ным ме­то­дом ре­ше­ния яв­ля­ет­ся ме­тод Нью­то­на – Кан­то­ро­ви­ча (см. Нью­то­на ме­тод), ко­то­рый мо­жет быть от­не­сён к груп­пе т. н. ме­то­дов ли­неа­ри­за­ции. Дру­гим пред­ста­ви­те­лем этой груп­пы ме­то­дов яв­ля­ет­ся се­ку­щих ме­тод.

Боль­шое чис­ло ите­ра­ци­он­ных ме­то­дов (т. н. ме­то­дов спус­ка) ос­но­ва­но на за­ме­не за­да­чи ре­ше­ния Н. у. (3) за­да­чей ми­ни­ми­за­ции не­ко­то­ро­го функ­цио­на­ла, напр. функ­цио­на­ла $$||L(u)-g||^2.$$

О ме­то­дах ре­ше­ния по­след­ней за­да­чи см. Без­ус­лов­ной ми­ни­ми­за­ции ме­то­ды.

Лит.: Бах­ва­лов Н. С., Жид­ков Н. П., Ко­бель­ков Г. М. Чис­лен­ные ме­то­ды. 7-е изд. М., 2007; Са­мар­ский А. А. Вве­де­ние в чис­лен­ные ме­то­ды. 5-е изд. М., 2009. 

Вернуться к началу