МОДА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА

МОДА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА, раз­дел ло­ги­ки, в ко­то­ром на­ря­ду с обыч­ны­ми вы­ска­зы­ва­ния­ми рас­смат­ри­ва­ют­ся мо­даль­ные вы­ска­зы­ва­ния, т. е. вы­ска­зы­ва­ния ти­па «не­об­хо­ди­мо, что», «воз­мож­но, что» и т. п. В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся разл. фор­маль­ные сис­те­мы М. л., вы­явля­ет­ся взаи­мо­связь ме­ж­ду эти­ми сис­те­ма­ми, изу­ча­ют­ся их ин­тер­пре­та­ции. Боль­шое раз­но­об­ра­зие сис­тем М. л. объ­яс­ня­ет­ся тем, что по­ня­тия «воз­мож­но» и «не­об­хо­ди­мо» мож­но уточ­нять разл. спо­со­ба­ми и, кро­ме то­го, по-раз­но­му трак­то­вать слож­ные мо­даль­но­сти ти­па «не­об­хо­ди­мо воз­мож­но» и взаи­мо­от­но­ше­ния мо­даль­но­стей с ло­гич. связ­ка­ми. Боль­шин­ст­во изу­чав­ших­ся сис­тем М. л. опи­ра­ет­ся на клас­сич. ло­ги­ку.

В клас­сич. сис­те­мах М. л. (для ко­то­рых спра­вед­лив ис­клю­чён­но­го третье­го за­кон A∨⌉A или за­кон сня­тия двой­но­го от­ри­ца­ния $⌉  ⌉ A⊃A$) для мо­даль­но­стей име­ют ме­сто со­от­но­ше­ния двой­ст­вен­но­сти, ана­ло­гич­ные за­ко­нам де Мор­га­на $$ ⌉(A∨B)≡(⌉A \And ⌉B) \quad и \quad ⌉(A\And B)≡(⌉A∨⌉B)$$

 ал­геб­ры ло­ги­ки и со­от­вет­ст­вую­щим эк­ви­ва­лент­но­стям для кван­то­ров, свя­зы­ваю­щие опе­ра­то­ры воз­мож­но­сти $◊$ и не­об­хо­ди­мо­сти $□$ с от­ри­ца­ни­ем $⌉$: $$□ A≡⌉◊⌉A \quad и \quad ◊A≡⌉ ◊⌉A.$$

По­это­му в ак­сио­ма­тич. сис­те­мах М. л. в ка­че­ст­ве ис­ход­ной вво­дят обыч­но од­ну мо­даль­ную опе­ра­цию (ис­поль­зуя к.-л. из этих эк­ви­ва­лент­но­стей в ка­че­ст­ве опре­де­ле­ния др. опе­ра­ции). Ана­ло­гич­но вво­дят­ся и др. мо­даль­ные опе­ра­ции (не вхо­дя­щие в чис­ло ло­гич. опе­ра­ций и не­вы­ра­зи­мые че­рез них).

Сис­те­мы М. л. мо­гут быть ин­тер­пре­ти­ро­ва­ны в тер­ми­нах мно­го­знач­ной ло­ги­ки (напр., как трёх­знач­ные – «ис­ти­на», «ложь», «воз­мож­но»).

Эле­мен­ты М. л. име­лись по су­ще­ст­ву у Ари­сто­те­ля. Впер­вые М. л. бы­ла фор­ма­ли­зо­ва­на К. И. Льюи­сом. Важ­ную роль в раз­ви­тии М. л. име­ли ра­бо­ты Я. Лу­ка­се­ви­ча.