МОДА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МОДА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА, раздел логики, в котором наряду с обычными высказываниями рассматриваются модальные высказывания, т. е. высказывания типа «необходимо, что», «возможно, что» и т. п. В математич. логике рассматриваются разл. формальные системы М. л., выявляется взаимосвязь между этими системами, изучаются их интерпретации. Большое разнообразие систем М. л. объясняется тем, что понятия «возможно» и «необходимо» можно уточнять разл. способами и, кроме того, по-разному трактовать сложные модальности типа «необходимо возможно» и взаимоотношения модальностей с логич. связками. Большинство изучавшихся систем М. л. опирается на классич. логику.
В классич. системах М. л. (для которых справедлив исключённого третьего закон A∨⌉A или закон снятия двойного отрицания $⌉ ⌉ A⊃A$) для модальностей имеют место соотношения двойственности, аналогичные законам де Моргана $$ ⌉(A∨B)≡(⌉A \And ⌉B) \quad и \quad ⌉(A\And B)≡(⌉A∨⌉B)$$
алгебры логики и соответствующим эквивалентностям для кванторов, связывающие операторы возможности $◊$ и необходимости $□$ с отрицанием $⌉$: $$□ A≡⌉◊⌉A \quad и \quad ◊A≡⌉ ◊⌉A.$$
Поэтому в аксиоматич. системах М. л. в качестве исходной вводят обычно одну модальную операцию (используя к.-л. из этих эквивалентностей в качестве определения др. операции). Аналогично вводятся и др. модальные операции (не входящие в число логич. операций и невыразимые через них).
Системы М. л. могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (напр., как трёхзначные – «истина», «ложь», «возможно»).
Элементы М. л. имелись по существу у Аристотеля. Впервые М. л. была формализована К. И. Льюисом. Важную роль в развитии М. л. имели работы Я. Лукасевича.