Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МНОГОЧЛЕ́Н

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 20. Москва, 2012, стр. 553

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: По материалам статьи А. И. Маркушевича из БСЭ-3

МНОГОЧЛЕ́Н (по­ли­ном), вы­ра­же­ние ви­да $\sum A_{k_1k_2...k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$, где $x_1, x_2,...,x_m$ – пе­ре­мен­ные, $\sum A_{k_1k_2...k_m}$ (ко­эффициенты многочлена), $k_1,k_2,...,k_m$ (по­ка­за­те­ли сте­пе­ней, це­лые не­от­ри­ца­тель­ные чис­ла) – по­сто­янные. Сла­гае­мые ви­да $\sum A_{k_1k_2...k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ назы­ва­ют­ся чле­на­ми М. Пред­по­ла­га­ет­ся, что ко­эф. М. при­над­ле­жат не­ко­то­ро­му по­лю, напр. по­лю ра­цио­наль­ных, дей­стви­тель­ных или ком­плекс­ных чи­сел. По­ря­док чле­нов, а так­же по­ря­док мно­жи­те­лей в ка­ж­дом чле­не мож­но ме­нять про­из­воль­но; мож­но вво­дить или опус­кать чле­ны с ну­ле­вы­ми ко­эф., а в ка­ж­дом отд. чле­не – сте­пе­ни с ну­ле­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми. В слу­чае ко­гда М. име­ет в точ­но­сти один, два или три чле­на, его на­зы­ва­ют од­но­чле­ном, дву­чле­ном или трёх­чле­ном.

Два чле­на М. на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли для них по­ка­за­те­ли сте­пе­ней при оди­на­ко­вых пе­ре­мен­ных по­пар­но рав­ны. По­доб­ные ме­ж­ду со­бой чле­ны $A' x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ и $A'' x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ мож­но за­ме­нить од­ним $(A'+A'') x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ (при­ве­де­ние по­доб­ных чле­нов). Два М. на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли по­сле при­ве­де­ния по­доб­ных все чле­ны с от­лич­ны­ми от ну­ля ко­эф. ока­зы­ва­ют­ся по­пар­но оди­на­ко­вы­ми (но, мо­жет быть, за­пи­сан­ны­ми в раз­ном по­ряд­ке), а так­же ес­ли все ко­эф. этих М. рав­ны ну­лю. В по­след­нем слу­чае М. на­зы­ва­ет­ся то­ж­де­ст­вен­ным ну­лём и обо­зна­ча­ет­ся зна­ком $0$. Мно­го­член от од­но­го пе­ре­мен­но­го $x$ мож­но все­гда за­пи­сать в ви­де $$P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{x-1}+...+a_{n-1}x+a_n=\sum_{k=0}^na_kx^{n-k},$$ где $a_0, a_1,...,a_n$ – ко­эффициенты, $a_n$ на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным чле­ном М. Кор­нем М. $P_n(x)$ с ко­эффициентами из не­ко­то­ро­го по­ля на­зы­ва­ет­ся ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ния $P_n(x)= 0$. Кор­ни М. свя­за­ны с его ко­эффициентами фор­му­ла­ми Вие­та (см. Ал­геб­раи­че­ское урав­не­ние).

Сум­му по­ка­за­те­лей сте­пе­ней к.-л. чле­на М. на­зы­ва­ют сте­пе­нью это­го чле­на. Ес­ли М. – не то­ж­де­ст­вен­ный нуль, то сре­ди чле­нов с от­лич­ны­ми от ну­ля ко­эф­фи­ци­ен­та­ми име­ет­ся один или несколько наи­боль­шей сте­пе­ни; эту наи­боль­шую сте­пень на­зы­ва­ют сте­пе­нью М. Для то­ж­дественного ну­ля по­ня­тие сте­пе­ни не оп­ре­де­ля­ет­ся. М. ну­ле­вой сте­пе­ни сво­дит­ся к од­но­му по­сто­ян­но­му, не рав­но­му ну­лю чле­ну. При­ме­ры: $xyz+x+y+z$ – М. 3-й сте­пе­ни, $2x+y-z+1$ – М. 1-й сте­пе­ни (ли­ней­ный М.), $5x_2-2x_2-3x_2$ не име­ет сте­пе­ни, т. к. это то­ж­дествен­ный нуль. М., все чле­ны ко­то­ро­го име­ют од­ну и ту же сте­пень, на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ным М. или фор­мой; фор­мы 1-й, 2-й и 3-й сте­пе­ней на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ли­ней­ны­ми, квад­ра­тич­ны­ми, ку­би­че­ски­ми, а по чис­лу пе­ре­мен­ных (два, три) – би­нар­ны­ми, тер­нар­ны­ми (напр., $x^2+y^2+z^2-xy-yz+xz$ есть тер­нар­ная квад­ра­тич­ная фор­ма).

Вы­пол­няя над М. дей­ст­вия сло­же­ния, вы­чи­та­ния и ум­но­же­ния на ос­но­ва­нии пе­ре­мес­ти­тель­но­го, со­че­та­тель­но­го и рас­пре­де­ли­тель­но­го за­ко­нов, сно­ва по­лу­ча­ют М. Та­ким об­ра­зом, со­во­куп­ность всех М. с ко­эф. из дан­но­го по­ля об­ра­зу­ет коль­цо – коль­цо М. над дан­ным по­лем; это коль­цо не име­ет де­ли­те­лей ну­ля, т. е. про­из­ве­де­ние М., не рав­ных 0, не мо­жет дать 0.

Ес­ли для двух М. од­но­го пе­ре­мен­но­го $P(x)$ и $Q(x)$ мож­но най­ти та­кой М. $R(x)$, что $P=QR$, то го­во­рят, что $P$ де­лит­ся на $Q$. М. $Q$ на­зы­ва­ет­ся де­ли­те­лем, а $R$ – ча­ст­ным; при этом сте­пе­ни $Q$ и $R$ мень­ше сте­пе­ни $P$. Ес­ли $P$ не де­лит­ся на $Q$, сте­пень ко­то­ро­го мень­ше сте­пе­ни $P$, то мож­но най­ти та­кие М. $R(x)$ и $S(x)$, что $P=QR+S$, при­чём сте­пень $S(x)$ мень­ше сте­пе­ни $Q(x)$ (де­ле­ние с ос­тат­ком). По­сред­ст­вом по­втор­но­го при­ме­не­ния этой опе­ра­ции мож­но на­хо­дить наи­боль­ший об­щий де­ли­тель $P$ и $Q$, т. е. та­кой де­ли­тель $P$ и $Q$, ко­то­рый де­лит­ся на лю­бой об­щий де­ли­тель этих мно­го­чле­нов (см. Евк­ли­да ал­го­ритм). М., ко­то­рый мож­но пред­ста­вить в ви­де про­из­ве­де­ния М. низ­ших сте­пе­ней с ко­эф. из дан­но­го по­ля, на­зы­ва­ет­ся при­во­ди­мым (в дан­ном по­ле), в про­тив­ном слу­чае – не­при­во­ди­мым. Не­при­во­ди­мые М. иг­ра­ют в коль­це М. роль, сход­ную с про­сты­ми чис­ла­ми в коль­це це­лых чи­сел. Так, напр., вер­на тео­ре­ма: ес­ли про­из­ве­де­ние $PQ$ де­лит­ся на не­при­во­ди­мый М. $R$, а $P$ на $R$ не де­лит­ся, то $Q$ де­лит­ся на $R$. Ка­ж­дый М. сте­пе­ни, боль­шей ну­ля, раз­ла­га­ет­ся в дан­ном по­ле в про­из­ве­де­ние не­при­во­ди­мых мно­жи­те­лей един­ст­вен­ным об­ра­зом (с точ­но­стью до мно­жи­те­лей ну­ле­вой сте­пе­ни). Напр., М. $x^4+1$, не­при­во­ди­мый в по­ле ра­цио­наль­ных чи­сел, раз­ла­га­ет­ся на два мно­жи­те­ля $x^4+1=(x^2-x\sqrt{2}+1)(x^2+x\sqrt{2}+1)$ в по­ле дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и на че­ты­ре мно­жи­те­ля $$x^4+1=\left ( x-\frac{1-i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x-\frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x+\frac{1-i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x+\frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )$$в по­ле ком­плекс­ных чи­сел. Во­об­ще, ка­ж­дый М. от од­но­го пе­ре­мен­но­го $x$ раз­ла­га­ет­ся в по­ле дей­ст­ви­тель­ных чи­сел на мно­жи­те­ли 1-й и 2-й сте­пе­ни, в по­ле ком­плекс­ных чи­сел – на мно­жи­те­ли 1-й сте­пе­ни (осн. тео­ре­ма ал­геб­ры). Для двух и боль­ше­го чис­ла пе­ре­мен­ных это­го ут­вер­ждать нель­зя; напр., М. $x^3+yz+z^3$ не­при­во­дим в лю­бом чи­сло­вом по­ле.

Ес­ли пе­ре­мен­ным $x_1,x_2,...,x_m$ при­дать оп­ре­де­лён­ные чи­сло­вые зна­че­ния (напр., дей­ст­ви­тель­ные или ком­плекс­ные), то М. так­же по­лу­чит оп­ре­де­лён­ное чи­сло­вое зна­че­ние. Т. о., ка­ж­дый М. мож­но рас­смат­ри­вать как функ­цию со­от­вет­ст­вую­щих пе­ре­мен­ных. Эта функ­ция не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­руе­ма при лю­бых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных; она яв­ля­ет­ся це­лой ра­цио­наль­ной функ­ци­ей, т. е. функ­ци­ей, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся из пе­ре­мен­ных и не­ко­то­рых по­сто­ян­ных (ко­эффициентов) с по­мо­щью вы­пол­нен­ных в оп­ре­де­лён­ном по­ряд­ке дей­ст­вий сло­же­ния, вы­чи­та­ния и ум­но­же­ния. Це­лые ра­цио­наль­ные функ­ции вхо­дят в бо­лее ши­ро­кий класс ра­цио­наль­ных функ­ций, где к пе­ре­чис­лен­ным дей­ст­ви­ям при­со­еди­ня­ет­ся де­ле­ние: лю­бую ра­цио­наль­ную функ­цию мож­но пред­ста­вить в ви­де ча­ст­но­го двух мно­го­чле­нов.

К чис­лу важ­ней­ших свойств М. от­но­сит­ся то, что лю­бую не­пре­рыв­ную функ­цию мож­но с про­из­воль­но ма­лой ошиб­кой за­ме­нить М. (тео­ре­ма Вей­ер­шт­рас­са; точ­ная её фор­му­ли­ров­ка тре­бу­ет, что­бы дан­ная функ­ция бы­ла не­пре­рыв­на на к.-л. ог­ра­ни­чен­ном, замк­ну­том мно­же­ст­ве то­чек, напр. на от­рез­ке чи­сло­вой оси). Этот факт, до­ка­зы­вае­мый сред­ст­ва­ми ма­те­ма­тич. ана­ли­за, по­зво­ля­ет при­бли­жён­но вы­ра­жать мно­го­чле­на­ми лю­бую связь ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми, при­бли­же­ния дос­та­точ­но ши­ро­ких клас­сов функ­ций мно­го­чле­на­ми да­ют так­же от­рез­ки Тей­ло­ра ря­да.

Спец. сис­те­мы М. – ор­то­го­наль­ные мно­го­чле­ны ис­поль­зу­ют­ся в тео­рии при­бли­же­ний как сред­ст­во пред­став­ле­ния функ­ций в ви­де ря­дов.

С точ­ки зре­ния тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го М. яв­ля­ют­ся про­стей­шим клас­сом це­лых функ­ций. М. сте­пе­ни $n$ ото­бра­жа­ет рас­ши­рен­ную ком­плекс­ную плос­кость на се­бя так, что ка­ж­дая точ­ка об­раза $w=P_n(z)$ име­ет $n$ про­об­ра­зов $z_1,z_2,...,z_n$.

Вернуться к началу