Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МНОГООБРА́ЗИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 20. Москва, 2012, стр. 546

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




МНОГООБРА́ЗИЕ, мно­го­мер­ное обоб­ще­ние по­ня­тий ли­нии и по­верх­но­сти без осо­бых то­чек. То­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зи­ем раз­мер­но­сти $n$ на­зы­ва­ет­ся то­по­ло­ги­че­ское про­стран­ст­во $M$, ка­ж­дая точ­ка ко­то­ро­го об­ла­да­ет ок­ре­ст­но­стью, го­мео­морф­ной от­кры­то­му ша­ру $x^2_1+ ...+x^2_n< 1$ $n$-мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва ${\bf R}^n$. Обыч­но пред­по­ла­га­ют так­же, что $M$ по­кры­ва­ет­ся ко­неч­ным или счёт­ным чис­лом ок­ре­ст­но­стей та­ко­го ро­да и что $M$ от­де­ли­мо, т. е. лю­бые две его точ­ки об­ла­да­ют не­пе­ре­се­каю­щи­ми­ся ок­ре­ст­но­стя­ми.

Раз­но­об­раз­ные при­ме­ры М. раз­мер­но­стей 1, 2 и 3 встре­ча­ют­ся в гео­мет­рии. Пря­мая, от­кры­тый ин­тер­вал, па­ра­бо­ла, ок­руж­ность, эл­липс – од­но­мер­ные М. Лю­бая об­ласть на плос­ко­сти, са­ма плос­кость, па­ра­бо­ло­ид, сфе­ра, эл­лип­со­ид, тор и т. п. – дву­мер­ные М. По­верх­ность ко­ну­са не яв­ля­ет­ся М., т. к. вер­ши­на ко­ну­са, в ко­то­рой схо­дят­ся две его по­лос­ти, не име­ет ок­ре­ст­но­сти, го­мео­морф­ной кру­гу. Обыч­ное трёх­мер­ное евк­ли­до­во про­стран­ст­во, а так­же лю­бая об­ласть в нём – трёх­мер­ное мно­го­об­ра­зие.

Рис. 1.

Вве­де­ние в ма­те­ма­ти­ку по­ня­тия М. лю­бо­го чис­ла из­ме­ре­ний бы­ло вы­зва­но весь­ма раз­но­об­раз­ны­ми по­треб­но­стя­ми гео­мет­рии, ма­те­ма­тич. ана­ли­за, ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Это по­ня­тие при­ме­ни­мо прак­ти­че­ски во всех си­туа­ци­ях, ко­гда рас­смат­ри­вае­мые объ­ек­ты мо­гут быть па­ра­мет­ри­зо­ва­ны сис­те­ма­ми дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Точ­ка­ми воз­ни­каю­щих при этом М. мо­гут быть объ­ек­ты лю­бой при­ро­ды – пря­мые, сфе­ры, мат­ри­цы, со­стоя­ния ме­ха­нич. сис­те­мы и пр.

Рис. 2.

М. на­зы­ва­ет­ся замк­ну­тым, ес­ли оно ком­пакт­но, и от­кры­тым в про­тив­ном слу­чае. Ка­ж­дое замк­ну­тое М. раз­мер­но­сти 1 го­мео­морф­но ок­руж­но­сти, а ка­ж­дое от­кры­тое – пря­мой (на рис. 1 изо­бра­же­ны од­но­мер­ные М. и ок­ре­ст­но­сти точ­ки $P$ на ка­ж­дом из них). В слу­чае двух из­ме­ре­ний уже замк­ну­тые М. до­воль­но раз­но­об­раз­ны. Они рас­па­да­ют­ся на бес­ко­неч­ное чис­ло то­по­ло­гич. ти­пов: сфе­ра – по­верх­ность ро­да 0 (рис. 2, а), тор – по­верх­ность ро­да 1 (рис. 2, б), «крен­дель» – по­верх­ность ро­да 2 (рис. 2, в), во­об­ще «сфе­ра с $n$ руч­ка­ми» – по­верх­ность ро­да $n$ (на рис. 2, г изо­бра­же­на та­кая по­верх­ность при $n=3$). Эти­ми при­ме­ра­ми ис­чер­пы­ва­ют­ся все то­по­ло­гич. ти­пы замк­ну­тых дву­мер­ных ори­ен­ти­ро­ван­ных М. Су­ще­ст­ву­ет ещё бес­ко­неч­ное чис­ло замк­ну­тых дву­мер­ных не­ори­ен­ти­руе­мых М. – од­но­сто­рон­них по­верх­но­стей, напр. про­ек­тив­ная плос­кость, Клей­на по­верх­ность. Име­ет­ся клас­си­фи­ка­ция от­кры­тых дву­мер­ных М. Пол­ная клас­си­фи­ка­ция М. трёх из­ме­ре­ний не най­де­на (да­же для слу­чая замк­ну­тых М.).

Оп­ре­де­ле­ние то­по­ло­гич. М. не да­ёт воз­мож­но­сти оп­ре­де­лить диф­фе­рен­ци­руе­мые функ­ции и др. по­ня­тия ма­те­ма­тич. ана­ли­за на М. Что­бы эти по­ня­тия при­об­ре­ли смысл, не­об­хо­ди­мо вве­сти на М. до­пол­нит. струк­ту­ру. В ок­ре­ст­но­сти лю­бой точ­ки $n$-мер­но­го то­по­ло­гич. М. су­ще­ст­ву­ют ло­каль­ные ко­ор­ди­на­ты $x_1,...,x_n$, од­но­знач­но оп­ре­де­ляю­щие по­ло­же­ние точ­ки этой ок­ре­ст­но­сти. Ес­ли вы­брать ло­каль­ные ко­ор­ди­на­ты в ок­ре­ст­но­сти лю­бой точ­ки М. та­ким об­ра­зом, что две раз­ные сис­те­мы ло­каль­ных ко­ор­ди­нат в пе­ре­се­каю­щих­ся ок­ре­ст­но­стях вы­ра­жа­ют­ся друг че­рез дру­га при по­мо­щи функ­ций клас­са $C^k, k⩾1$, то по­лу­чит­ся глад­кая струк­ту­ра клас­са $k$. Обыч­но бе­рут $k=∞$ и М. с глад­кой струк­ту­рой на­зы­ва­ют диф­фе­рен­ци­руе­мым (или глад­ким) М. Диф­фе­рен­ци­руе­мые М. име­ют боль­шое зна­че­ние в совр. ма­те­ма­ти­ке, по­сколь­ку имен­но они наи­бо­лее ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в при­ло­же­ни­ях и смеж­ных об­лас­тях (см. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия). На од­ном и том же то­по­ло­гич. М. мо­гут су­ще­ст­во­вать разл. (и да­же не изо­морф­ные) глад­кие струк­ту­ры. Ана­ло­гич­но вво­дит­ся по­ня­тие ана­ли­тич. М. Ес­ли счи­тать ло­каль­ные ко­ор­ди­на­ты ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми и по­тре­бо­вать, что­бы они вы­ра­жа­лись друг че­рез дру­га при по­мо­щи ана­ли­тич. функ­ций, то по­лу­чит­ся по­ня­тие ком­плекс­но­го (ана­ли­ти­че­ско­го) мно­го­об­ра­зия.

По­ня­тие мно­го­мер­но­го М. впер­вые сфор­му­ли­ро­ва­но Б. Ри­ма­ном в его лек­ции «О ги­по­те­зах, ле­жа­щих в ос­но­ва­нии гео­мет­рии» (1854). В 1913 Г. Вейль ввёл по­ня­тие (аб­ст­ракт­ной) ри­ма­но­вой по­верх­но­сти, т. е. од­но­мер­но­го ком­плекс­но­го М. (с ка­ж­дой ана­ли­тич. функ­ци­ей ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го свя­зы­ва­ет­ся та­кое М., на­зы­вае­мое ри­ма­но­вой по­верх­но­стью этой функ­ции).

В совр. ма­те­ма­ти­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же разл. обоб­ще­ния по­ня­тия М. Та­ко­вы, напр., М. с кра­ем (ти­пич­ным при­ме­ром ко­то­рых яв­ля­ет­ся замк­ну­тый шар $x^2_1+ ...+x^2_n⩽ 1$ в про­стран­ст­ве ${\bf R}^n$), а так­же ана­ли­тич. про­стран­ст­ва (вклю­чаю­щие в се­бя ве­ще­ст­вен­ные или ком­плекс­ные ана­ли­тич. по­верх­но­сти с осо­бы­ми точ­ка­ми).

Лит.: Бол­тян­ский В. Г., Еф­ре­мо­вич ВА. На­гляд­ная то­по­ло­гия. М., 1982; Вве­де­ние в то­по­ло­гию. 2-е изд. М., 1995; Дуб­ро­вин Б. А., Но­ви­ков С. П., Фо­мен­ко А. Т. Со­вре­мен­ная гео­мет­рия. 5-е изд. М., 2001. Т. 2.

Вернуться к началу