Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МЕ́РА МНО́ЖЕСТВА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 20. Москва, 2012, стр. 7

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. В. Прохоров

МЕ́РА МНО́ЖЕСТВА, по­ня­тие, обоб­щаю­щее дли­ну от­рез­ка, пло­щадь пло­ской фи­гу­ры и объ­ём те­ла на мно­же­ст­ва бо­лее об­щей при­ро­ды. При­ме­ром М. м. яв­ля­ет­ся ме­ра Ле­бе­га (вве­дён­ная А. Ле­бе­гом, 1902) для ог­ра­ни­чен­ных мно­жеств, ле­жа­щих на плос­ко­сти. При оп­ре­де­ле­нии ме­ры Ле­бе­га, так же как и при оп­ре­де­ле­нии пло­ща­ди пло­ских фи­гур в гео­мет­рии, ис­хо­дят из срав­не­ния час­ти плос­ко­сти, за­ни­мае­мой мно­же­ст­вом, с вы­бран­ной еди­ни­цей из­ме­ре­ния. При этом спо­соб срав­не­ния на­по­ми­на­ет обыч­ный про­цесс из­ме­ре­ния пло­ща­ди. Ме­ру Ле­бе­га $m(Δ)$ лю­бо­го квад­ра­та $Δ$ по­ла­га­ют рав­ной его пло­ща­ди в тех или иных еди­ни­цах из­ме­ре­ния. За­тем за­дан­ное мно­же­ст­во $А$ по­кры­ва­ют ко­неч­ным или бес­ко­неч­ным на­бо­ром квад­ра­тов $Δ_1, Δ_2,...;$ ниж­нюю грань чи­сел $\sum_{n=1}^\infty m(Δ_n)$, взятую по все­воз­мож­ным по­кры­ти­ям мно­же­ст­ва $А$, на­зы­ва­ют верх­ней (внеш­ней) ме­рой $m^*(А)$ мно­же­ст­ва $А$. Ниж­няя (внут­рен­няя) ме­ра $m_*(А)$ мно­же­ст­ва $А$ оп­ре­де­ля­ет­ся как раз­ность $m(Δ)-m^*(Ā)$, где $Δ$ – к.-л. квад­рат, со­дер­жа­щий мно­же­ст­во $А$, и $Ā$ – мно­же­ст­во всех то­чек квад­ра­та $Δ$, не со­дер­жа­щих­ся в $А$. Мно­же­ст­ва $А$, для ко­то­рых верх­няя ме­ра рав­на ниж­ней, на­зы­ва­ют из­ме­ри­мы­ми по Ле­бе­гу, а об­щее зна­че­ние $m(А)$ верх­ней и ниж­ней мер – ме­рой Ле­бе­га мно­же­ст­ва $А$. Гео­мет­рич. фи­гу­ры, имею­щие пло­щадь в эле­мен­тар­ном смыс­ле, из­ме­ри­мы, и их ме­ра Ле­бе­га сов­па­да­ет с их пло­ща­дью. Од­на­ко су­ще­ст­ву­ют не­квад­ри­руе­мые из­ме­ри­мые мно­же­ст­ва. Ана­ло­гич­но мож­но оп­ре­де­лить ме­ру Ле­бе­га на пря­мой. При этом верх­нюю ме­ру оп­ре­де­ля­ют, рас­смат­ри­вая по­кры­тия мно­же­ст­ва ин­тер­ва­ла­ми.

Осн. свой­ст­ва ме­ры Ле­бе­га со­сто­ят в том, что ме­ра лю­бо­го мно­же­ст­ва не­отри­ца­тель­на и ме­ра объ­е­ди­не­ния $A=\bigcup_{n-1}^\infty A_n$ ко­неч­ной или счёт­ной систе­мы по­пар­но не­пе­ре­се­каю­щих­ся мно­жеств $A_1, A_2, ...$ рав­на сум­ме их мер, т. е. $m(A)=\sum_{n=1}^\infty m(A_n)$.

Класс мно­жеств, из­ме­ри­мых по Ле­бе­гу, дос­та­точ­но ши­рок; в ча­ст­но­сти, из­ме­ри­мы­ми по Ле­бе­гу яв­ля­ют­ся мно­же­ст­во $А$ ра­цио­наль­ных то­чек ин­тер­ва­ла $(0, 1)$ и мно­же­ст­во В ир­ра­цио­наль­ных то­чек то­го же ин­тер­ва­ла. Эти мно­же­ст­ва сход­ны в том смыс­ле, что ка­ж­дое из них плот­но на ин­тер­ва­ле $(0, 1)$, т. е. ме­ж­ду лю­бы­ми дву­мя точ­ка­ми ука­зан­но­го ин­тер­ва­ла най­дут­ся как точ­ки мно­же­ст­ва $А$, так и точ­ки мно­же­ст­ва $В$; в то же вре­мя они рез­ко раз­ли­ча­ют­ся по ме­ре, т. к. $m(А)=0$, а $m(В)=1$. Для бо­лее уз­ких клас­сов мно­жеств ме­ра, сов­па­даю­щая с ле­бе­гов­ской, бы­ла ра­нее оп­ре­де­ле­на М. Э. К. Жор­да­ном (1893) и Э. Бо­ре­лем (1898).

Раз­ви­тие ря­да раз­де­лов совр. ма­те­ма­ти­ки при­ве­ло к даль­ней­шим обоб­ще­ни­ям по­ня­тия М. м. – соз­да­нию т. н. аб­ст­ракт­ной тео­рии ме­ры. При этом М. м. оп­ре­де­ля­ют ак­сио­ма­ти­че­ски. Пусть $U$ – про­из­воль­ное мно­же­ст­во и $\mathfrak {M}$ – не­ко­то­рое се­мей­ст­во его под­мно­жеств. Не­от­ри­ца­тель­ную функ­цию $μ(A)$, оп­ре­де­лён­ную для всех $А$, вхо­дя­щих в $\mathfrak {M}$, на­зы­ва­ют ме­рой, ес­ли она впол­не ад­ди­тив­на, т. е. ес­ли для лю­бой по­сле­до­ва­тель­но­сти не­пе­ре­се­каю­щих­ся мно­жеств $A_1, A_2,...,$ вхо­дя­щих в $\mathfrak {M}$, сум­ма $А$ ко­то­рых так­же вхо­дит в $\mathfrak {M}$, име­ет ме­сто ра­вен­ст­во $μ(A)=\sum_{n=1}^\infty μ(A_n)$, и, кро­ме то­го, сис­те-ма $\mathfrak {M}$ удов­ле­тво­ря­ет оп­ре­де­лён­ным до­пол­нит. ус­ло­ви­ям. Мно­же­ст­ва, вхо­дя­щие в $\mathfrak {M}$, на­зы­ва­ют из­ме­ри­мы­ми. По­сле то­го как оп­ре­де­ле­на ме­ра $μ$, вво­дят по­ня­тие из­ме­ри­мых (по от­но­ше­нию к $μ$) функ­ций и опе­ра­цию ин­тег­ри­ро­ва­ния.

Мно­гие осн. ут­вер­жде­ния тео­рии ме­ры Ле­бе­га, тео­рии из­ме­ри­мых функ­ций и ин­те­гра­ла Ле­бе­га со­хра­ня­ют­ся с со­от­вет­ст­вую­щи­ми из­ме­не­ния­ми и в аб­ст­ракт­ной тео­рии ме­ры и ин­те­гра­ла. По­след­няя со­став­ля­ет ма­те­ма­тич. ос­но­ва­ние совр. тео­рии ве­ро­ят­но­стей, дан­ное А. Н. Кол­мо­го­ро­вым (1933). Спец. ин­те­рес для ря­да об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки пред­став­ля­ют ме­ры, ин­ва­ри­ант­ные по от­но­ше­нию к той или иной груп­пе пре­об­ра­зо­ва­ний мно­же­ст­ва $U$ в се­бя.

Лит.: Хал­мош П. Тео­рия ме­ры. М., 2003; Кол­мо­го­ров А. Н., Фо­мин С. В. Эле­мен­ты тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2009.

Вернуться к началу