Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МЕДИА́НА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 479-480

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




МЕДИА́НА (от лат. mediana – сре­дин­ная) в гео­мет­рии, от­ре­зок, со­еди­няю­щий од­ну из вер­шин тре­уголь­ни­ка с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны. Три М. тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, ко­то­рую ино­гда на­зы­ва­ют цен­тром тя­же­сти тре­уголь­ни­ка, т. к. имен­но в этой точ­ке на­хо­дит­ся центр тя­же­сти од­но­род­ной тре­уголь­ной пла­стин­ки (а так­же центр тя­же­сти сис­те­мы трёх рав­ных масс, по­ме­щён­ных в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка). Точ­ка пе­ре­се­че­ния М. де­лит ка­ж­дую из них в от­но­ше­нии 2 : 1 (счи­тая от вер­ши­ны к ос­но­ва­нию).

М. в тео­рии ве­ро­ят­но­стей – од­на из ха­рак­те­ри­стик рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны, ино­гда её на­зы­ва­ют се­ре­дин­ным зна­че­ни­ем слу­чай­ной ве­ли­чи­ны. М. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло $m$ та­кое, что ве­роят­но­сти $P\{X ⩾ m\} ⩾ ^1/_2$ и $P\{X ⩽ m\} ⩾ ^1/_2$. М. су­ще­ст­ву­ет все­гда, но мо­жет быть не един­ст­вен­ной; напр., ес­ли слу­чай­ная ве­ли­чи­на при­ни­ма­ет зна­че­ния –1 и +1 с ве­ро­ят­но­стя­ми $^1/_2$ ка­ж­дое, то М. яв­ля­ет­ся лю­бая точ­ка из от­рез­ка [–1, 1]. Для слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ с не­пре­рыв­ной функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $F(x)$ М. яв­ля­ет­ся ко­рень урав­не­ния $F(m)=^1/_2$ (т. е. m – кван­тиль по­ряд­ка $^1/_2$); та­ким об­ра­зом, слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ при­ни­ма­ет с ве­ро­ят­но­стью $^1/_2$ как зна­че­ния, боль­шие $m$, так и зна­че­ния, мень­шие $m$. Ес­ли функ­ция $F(x)$ стро­го мо­но­тон­на, то М. един­ст­вен­на. В сим­мет­рич­ном слу­чае, т. е. в слу­чае, ко­гда для не­ко­то­ро­го чис­ла $a$ ве­ли­чи­ны $X-a$ и $-(X-a)$ оди­на­ко­во рас­пре­де­ле­ны, М., ес­ли она един­ст­вен­на, сов­па­да­ет с ма­те­ма­ти­че­ским ожи­да­ни­ем, ес­ли оно су­ще­ст­ву­ет, при этом $m=\mathbf{E}X=a$.

В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке для оцен­ки М. к.-л. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны по не­за­ви­си­мым ре­зуль­та­там на­блю­де­ний $X_1,...,X_n$ ис­поль­зу­ют М. со­от­вет­ст­вую­ще­го ва­риа­ци­он­но­го ря­да $X_{(1)},...,X_{(n)}$ (вы­бо­роч­ную М.): ве­ли­чи­ну $X_{(k)}$, ес­ли $n=2k+1$ не­чёт­ное, или $(X_{(k)}+X_{(k+1)})/2$, ес­ли $n=2k$ чёт­ное.

Вернуться к началу