Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 355-356

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: С. М. Никольский

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны (функ­ции и их обоб­ще­ния) изу­ча­ют­ся с ис­поль­зо­ва­ни­ем пре­де­лов. По­ня­тие пре­де­ла свя­за­но с по­ня­ти­ем бес­ко­неч­но ма­лой ве­ли­чи­ны, и ино­гда го­во­рят, что М. а. изу­ча­ет функ­ции и их обоб­ще­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем ме­то­да бес­ко­неч­но ма­лых. Ста­рое назв. М. а. – «Ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых», точ­нее бы­ло бы: ана­лиз по­сред­ст­вом бес­ко­неч­но ма­лых. В клас­сич. М. а. объ­ек­та­ми изу­че­ния яв­ля­ют­ся пре­ж­де все­го функ­ции. Раз­ви­тие М. а. при­ве­ло к воз­мож­но­сти изу­че­ния с по­мо­щью его ме­то­дов бо­лее слож­ных объ­ек­тов, чем функ­ции, напр. функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров. В при­ро­де и тех­ни­ке всю­ду встре­ча­ют­ся дви­же­ния и про­цес­сы, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми; за­ко­ны и яв­ле­ния при­ро­ды так­же опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми. От­сю­да сле­ду­ет важ­ность М. а. как сред­ст­ва изу­че­ния функ­ций.

М. а. в ши­ро­ком по­ни­ма­нии это­го тер­ми­на ох­ва­ты­ва­ет весь­ма большyю часть ма­те­ма­ти­ки. В не­го вхо­дят диф­фе­рен­ци­аль­ное ис­чис­ле­ние, ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние, тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, ком­плекс­ный ана­лиз, при­бли­же­ние функ­ций, тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, тео­рия ин­те­граль­ных урав­не­ний, диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние, функ­цио­наль­ный ана­лиз и не­ко­то­рые др. ма­те­ма­тич. дис­ци­п­ли­ны. Совр. чи­сел тео­рия и ве­ро­ят­но­стей тео­рия при­ме­ня­ют и раз­ви­ва­ют ме­то­ды М. а. Ино­гда тер­мин «М. а.» упот­реб­ля­ют толь­ко для ос­нов М. а., объ­е­ди­няю­щих в се­бе тео­рию дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, тео­рию пре­де­лов, тео­рию ря­дов, диф­фе­рен­ци­аль­ное и ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние и их не­по­средств. при­ло­же­ния, та­кие как тео­рия мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов, тео­рия не­яв­ных функ­ций, Фу­рье ря­ды, Фу­рье ин­те­гра­лы.

Функ­ция. В М. а. ис­хо­дят из оп­реде­ле­ния функ­ции, ко­то­рое в слу­чае чи­сло­вых функ­ций од­но­го пе­ре­мен­но­го фор­му­ли­ру­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: ес­ли ка­ж­до­му чис­лу $x$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва чи­сел по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие чис­ло $y$, то этим оп­ре­де­ле­на функ­ция $y=f(x)$ пе­ре­мен­но­го $x$, на­зы­вае­мо­го ар­гу­мен­том функ­ции. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся функ­ции $n$ пе­ре­мен­ных $f(x) =f(x_1,x_2,...,x_n)$, где $x= (x_1,x_2,...,x_n)$ – точ­ки $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва, рас­смат­ри­ва­ют так­же функ­ции $f(x)=f(x_1,x_2,..)$ то­чек $x=(x_1,x_2,...)$ бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств, та­кие функ­ции ча­ще на­зы­ва­ют функ­цио­на­ла­ми.

Эле­мен­тар­ные функ­ции. Фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ют эле­мен­тар­ные функ­ции, ими, в ча­ст­но­сти, при­бли­жа­ют функ­ции бо­лее слож­ной при­ро­ды. Эле­мен­тар­ные функ­ции рас­смат­ри­ва­ют не толь­ко для дей­ст­ви­тель­ных, но и для компле́ксных ар­гу­мен­тов.

Дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Изу­че­ние функ­ций ба­зи­ру­ет­ся на по­ня­тии дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла, ко­то­рое окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лось в кон. 19 в. В ча­ст­но­сти, бы­ла ус­та­нов­ле­на ло­ги­че­ски безу­преч­ная связь ме­ж­ду чис­ла­ми и точ­ка­ми пря­мой, при­вед­шая к фор­маль­но­му обос­но­ва­нию идей Р. Де­кар­та (сер. 17 в.), ко­то­рый ввёл в ма­те­ма­ти­ку пря­мо­уголь­ную сис­те­му ко­ор­ди­нат (Де­кар­то­ва сис­те­ма ко­ор­ди­нат) и пред­став­ле­ние функ­ций гра­фи­ка­ми.

Пре­дел. В М. а. при изу­че­нии функ­ций ис­поль­зу­ет­ся пре­дель­ный пе­ре­ход, с по­мо­щью ко­то­ро­го оп­ре­де­ля­ют­ся разл. пре­де­лы, напр. пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти и пре­дел функ­ции. Эти по­ня­тия окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лись толь­ко в 19 в., хо­тя пред­став­ле­ние о них име­ли ещё древ­ние гре­ки. Так, Ар­хи­мед умел вы­чис­лять пло­щадь сег­мен­та па­ра­бо­лы при по­мо­щи про­цес­са, ко­то­рый сей­час на­зы­ва­ет­ся пре­дель­ным пе­ре­хо­дом.

Не­пре­рыв­ные функ­ции. Важ­ный класс функ­ций, изу­чае­мых в М. а., со­став­ля­ют не­пре­рыв­ные функ­ции. Од­но из воз­мож­ных оп­ре­де­ле­ний это­го по­ня­тия со­сто­ит в сле­дую­щем: функ­ция $y=f(x)$ од­но­го пе­ре­мен­но­го $x$, за­дан­ная на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной в точ­ке $x$, $x∈(a,b)$, ес­ли $$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = 0,$$

где $Δy=f(x+Δx)-f(x)$. Функ­ция на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли она не­пре­рыв­на во всех его точ­ках; гра­фик не­пре­рыв­ной функ­ции пред­став­ля­ет со­бой кри­вую, не­пре­рыв­ную в обы­ден­ном по­ни­ма­нии это­го сло­ва.

Про­из­вод­ная и диф­фе­рен­ци­ал. Сре­ди не­пре­рыв­ных функ­ций вы­де­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ную. Про­из­вод­ная функ­ции $y=f(x)$, $a < x < b$, в точ­ке $x$ – это ско­рость из­ме­не­ния $f$ в точ­ке $x$, т. е. пре­дел

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},\tag 1$$

ес­ли он су­ще­ст­ву­ет, обо­зна­чае­мый обыч­но $f'(x)$. Ес­ли $y$ – ко­ор­ди­на­та в мо­мент вре­ме­ни $x$ точ­ки, дви­жу­щей­ся по оси ор­ди­нат, то $f'(x)$ – мгно­вен­ная ско­рость точ­ки при дан­ном зна­че­нии $x$.

По зна­ку про­из­вод­ной $f'(x)$ мож­но су­дить о ха­рак­те­ре из­ме­не­ния $f(x)$: ес­ли $f'(x) > 0$ (или $f'(x) < 0$) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$, при­над­ле­жа­щем $(a,b)$, то функ­ция $f$ воз­рас­та­ет (со­от­вет­ст­вен­но, убы­ва­ет) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$. Ес­ли функ­ция $f$ в точ­ке $x_0$, $a < x_0 < b$, дос­ти­га­ет экс­тре­му­ма (мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма) и име­ет в этой точ­ке про­из­вод­ную, то $f'(x_0)=0$, ина­че го­во­ря, ско­рость из­ме­не­ния $f(x)$ при $x=x_0$ рав­на ну­лю.

Ра­вен­ст­во (1) мож­но за­ме­нить эк­ви­ва­лент­ным ра­вен­ст­вом $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+ \varepsilon (\Delta x),$$

или

$$Δy=f'(x)Δx+Δxε(Δx),$$

где $ε(Δx)→0$ при $Δx→0$, т. е. $ε(Δx)$ есть бес­ко­неч­но ма­лая, ко­гда $Δx→0$. Т. о., ес­ли функ­ция $f$ име­ет про­из­вод­ную в точ­ке $x$, то при­ра­ще­ние $f$ в этой точ­ке мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы двух сла­гае­мых. Пер­вое из них,

$$dy =f'(x)Δx,\tag 2$$

dy=f(x)Δx,(2)

 

есть ли­ней­ная функ­ция от $Δx$ (про­пор­цио­наль­ная $Δx$), а вто­рое стре­мит­ся к ну­лю бы­ст­рее, чем $Δx$. Ве­ли­чи­на (2) на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­циа­лом функ­ции, со­от­вет­ст­вую­щим при­ра­ще­нию $Δx$. При ма­лых $Δx$ мож­но счи­тать $Δy$ при­бли­жён­но рав­ным $dy$. При­ве­дён­ные рас­су­ж­де­ния о диф­фе­рен­циа­ле ха­рак­тер­ны для все­го М. а. Они рас­про­стра­ня­ют­ся на функ­ции мн. пе­ре­мен­ных и на функ­цио­на­лы.

Ин­те­грал. На­ря­ду с про­из­вод­ной, фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ет по­ня­тие ин­те­гра­ла. Го­во­рят, что функ­ция $F(x)$ яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли на этом ин­тер­ва­ле $F'(x)=f(x)$. Не­оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом от функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$ на­зы­ва­ет­ся про­из­воль­ная пер­во­об­раз­ная функ­ции $f(x)$ на этом ин­тер­ва­ле. Его обо­зна­ча­ют $$\int f(x)dx.$$

Оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом (Ри­ма­на) от функ­ции $f$ на от­рез­ке $[a,b]$ на­зы­ва­ет­ся пре­дел

$$\lim_{}\sum_{j=0}^{N-1}f(\xi _j)(x_{j+1}-x_j)\tag 3$$

при $max_j(x_{j+1}-x_j)→0$. Здесь

$$a=x_0 < x_1 <...< x_{N-1} < x_N=b$, $x_j ⩽ ξ_j ⩽ x_{j+1}.$$

Этот пре­дел обо­зна­ча­ет­ся $$\int_{a}^{b}f(x)dx.$$

Ес­ли функ­ция $f(x)$ по­ло­жи­тель­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке $[a,b]$, то ин­те­грал от неё на этом от­рез­ке ра­вен пло­ща­ди фи­гу­ры, ог­ра­ни­чен­ной кри­вой $y=f(x)$, осью $Ox$ и пря­мы­ми $x=a$ и $x=b$. О су­ще­ст­во­ва­нии пре­де­ла (3) и о др. оп­ре­де­ле­ни­ях ин­те­гра­ла см. в ст. Ин­те­грал.

Фор­му­ла Нью­то­на – Лейб­ни­ца. Ме­ж­ду про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом име­ет­ся связь, вы­ра­жае­мая фор­му­лой Нью­то­на – Лейб­ни­ца $$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Здесь $f(x)$ – не­пре­рыв­ная на $[a,b]$ функ­ция, а $F(x)$ – её пер­во­об­раз­ная.

Фор­му­ла и ряд Тей­ло­ра. На­ря­ду с про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом важ­ней­шим по­ня­ти­ем и ин­ст­ру­мен­том ис­сле­до­ва­ния в М. а. яв­ля­ет­ся Тей­ло­ра фор­му­ла и Тей­ло­ра ряд. Ес­ли функ­ция $f(x)$, $a < x < b$, име­ет в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$, $a < x_0 < b$, не­пре­рыв­ные про­из­вод­ные до по­ряд­ка $n$ вклю­чи­тель­но, то её мож­но при­бли­зить в этой ок­ре­ст­но­сти мно­го­чле­ном по сте­пе­ням $x-x_0$ $$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$$

на­зы­вае­мым её мно­го­чле­ном Тей­ло­ра (сте­пе­ни $n$), т. е.

$$f(x)≈P_n(x)$$

(фор­му­ла Тей­ло­ра). При этом ошиб­ка при­бли­же­ния

$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$$

стре­мит­ся к ну­лю при $x→x_0$ бы­ст­рее, чем $(x-x_0)^n$. Т. о., функ­ция $f(x)$ в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ мо­жет быть при­бли­же­на весь­ма про­стой функ­ци­ей (мно­го­чле­ном), для вы­чис­ле­ния ко­то­рой тре­бу­ют­ся толь­ко ариф­ме­тич. опе­ра­ции.

Осо­бо важ­ны­ми яв­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ные всех по­ряд­ков в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ та­кие, что для них в этой ок­ре­ст­но­сти $R_n(x)→ 0$ при $n→∞$. Они мо­гут быть пред­став­ле­ны в ви­де бес­ко­неч­но­го сте­пен­но­го ря­да Тей­ло­ра $$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...$$

Раз­ло­же­ния Тей­ло­ра при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях воз­мож­ны и для функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, а так­же для функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров.

Историческая справка

До 17 в. М. а. пред­став­лял со­бой со­во­куп­ность ре­ше­ний раз­роз­нен­ных ча­ст­ных за­дач. Напр., в ин­те­граль­ном ис­чис­ле­нии – это за­да­чи на вы­чис­ле­ние пло­ща­дей фи­гур, объ­ё­мов тел с кри­вы­ми гра­ни­ца­ми, ра­бо­ты пе­ре­мен­ной си­лы и т. д. Ка­ж­дая за­да­ча или ча­ст­ная груп­па за­дач ре­ша­лась сво­им ме­то­дом, под­час слож­ным и гро­мозд­ким. М. а. как еди­ное и сис­те­ма­тич. це­лое сло­жил­ся в тру­дах И. Нью­то­на, Г. В. Лейб­ни­ца, Л. Эй­ле­ра, Ж. Ла­гран­жа и др. учё­ных 17–18 вв., а его ба­за – тео­рия пре­де­лов – бы­ла раз­ра­бо­та­на О. Ко­ши в нач. 19 в. Глу­бо­кий ана­лиз ис­ход­ных по­ня­тий М. а. был свя­зан с раз­ви­ти­ем в 19–20 вв. мно­жеств тео­рии, тео­рии ме­ры, тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и при­вёл к раз­но­об­раз­ным обоб­ще­ни­ям.

Лит.: Ла Вал­ле-Пус­сен Ш.-Ж. Курс ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых: В 2 т. Л.; М., 1922–1933; Ни­коль­ский С. М. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 2001; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за: В 2 ч. М., 2004; Иль­ин В. А., Са­дов­ни­чий В. А., Сен­дов Бл. Х. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 3-е изд.: В 2 ч. М., 2004; Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. 9-е изд.: В 3 т. СПб. и др., 2004; Куд­ряв­цев Л. Д. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 3-е изд.: В 3 ч. М., 2008.

Вернуться к началу